2010年高考数学试题分类汇编--三角函数.doc

第 - 1 - 页 共 20 页 三角函数 2010 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编三角函数三角函数 （2010 上海文数）上海文数）19.19.（本题满分（本题满分 1212 分）分） 已知，化简：0 2 x . 2 lg(costan1 2sin)lg 2cos()lg(1 sin2 ) 22 x xxxx 解析：原式lg(sinxcosx)lg(cosxsinx)lg(sinxcosx)20 （2010 湖南文数）湖南文数）16. （本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( )sin22sinf xxx （I）求函数的最小正周期。( )f x (II) 求函数的最大值及取最大值时 x 的集合。( )f x( )f x （2010 浙江理数）浙江理数） （18）(本题满分 l4 分)在ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c，已知 1 cos2 4 C (I)求 sinC 的值； ()当 a=2， 2sinA=sinC 时，求 b 及 c 的长 解析：本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。 （）解：因为 cos2C=1-2sin2C=，及 0C 1 4 所以 sinC=. 10 4 （）解：当 a=2，2sinA=sinC 时，由正弦定理，得 ac sinAsinC c=4 第 - 2 - 页 共 20 页 三角函数 由 cos2C=2cos2C-1=，J 及 0C 得 1 4 cosC= 6 4 由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC，得 b2b-12=06 解得 b=或 266 所以 b= b=66 c=4 或 c=4 （20102010 全国卷全国卷 2 2 理数）理数） （17） （本小题满分 10 分） ABC中，D为边BC上的一点，33BD ， 5 sin 13 B ， 3 cos 5 ADC，求AD 【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的 应用，考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况. 【参考答案】 由 cosADC=0，知 B. 由已知得 cosB=，sinADC=. 从而 sinBAD=sin（ADC-B）=sinADCcosB-cosADCsinB=. 由正弦定理得 ，所以=. 【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.这 类题型难度比较低，一般出现在 17 或 18 题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不 会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或 将边角互化. （20102010 陕西文数）陕西文数）17.（本小题满分 12 分） 在ABC 中，已知 B=45,D 是 BC 边上的一点， AD=10,AC=14,DC=6，求 AB 的长. 解在ADC 中，AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得 第 - 3 - 页 共 20 页 三角函数 cos=, 222 2 ADDCAC AD DC A 10036 1961 2 10 62 ADC=120, ADB=60 在ABD 中，AD=10, B=45, ADB=60， 由正弦定理得, sinsin ABAD ADBB AB=. 3 10 sin10sin60 2 5 6 sinsin452 2 ADADB B A （20102010 辽宁文数）辽宁文数） （17） （本小题满分 12 分） 在中，分别为内角的对边，ABCabc、ABC、 且2 sin(2)sin(2)sinaAbcBcbC （）求的大小；A （）若，试判断的形状.sinsin1BCABC 解：（）由已知，根据正弦定理得cbcbcba)2()2(2 2 即bccba 222 由余弦定理得Abccbacos2 222 故120, 2 1 cosAA （）由（）得.sinsinsinsinsin 222 CBCBA 又，得1sinsinCB 2 1 sinsinCB 因为，90 0 , 900CB 故BC 所以是等腰的钝角三角形。ABC （2010 辽宁理数）辽宁理数） （17） （本小题满分 12 分） 在ABC 中，a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边，且 2 sin(2)sin(2)sin.aAacBcbC （）求 A 的大小； （）求的最大值.sinsinBC 解： （）由已知，根据正弦定理得 2 2(2)(2)abc bcb c 即 222 abcbc 第 - 4 - 页 共 20 页 三角函数 由余弦定理得 222 2cosabcbcA 故 ，A=120 6 分 1 cos 2 A （）由（）得： sinsinsinsin(60)BCBB 31 cossin 22 sin(60) BB B 故当 B=30时，sinB+sinC 取得最大值 1。 12 分 （2010 全国卷全国卷 2 文数）文数） （17） （本小题满分 10 分） 中，为边上的一点，求。ABCADBC33BD 5 sin 13 B 3 cos 5 ADCAD 【 【解析解析】 】本本题题考考查查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础础知知识识。 。 由由与与的差求出的差求出，根据同角关系及差角公式求出，根据同角关系及差角公式求出的正弦，在三角形的正弦，在三角形 ADCBBADBAD ABD 中，由正弦定理可求得中，由正弦定理可求得 AD。 。 （20102010 江西理数）江西理数）17.（本小题满分 12 分） 已知函数 2 1 cotsinsinsin 44 f xxxmxx 。 (1) 当 m=0 时，求 f x 在区间 3 84 ， 上的取值范围； (2) 当tan 2a 时， 3 5 f a ，求 m 的值。 【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。依托三 角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等 题. 解：（1）当 m=0 时， 22 cos1 cos2sin2 ( )(1)sinsinsin cos sin2 xxx f xxxxx x ，由已知，得 1 2sin(2) 1 24 x 3 , 84 x 2 2,1 42 x 从而得：的值域为( )f x 12 0, 2 第 - 5 - 页 共 20 页 三角函数 （2） 2 cos ( )(1)sinsin()sin() sin44 x f xxmxx x 化简得： 11 ( )sin2(1)cos2 22 f xxmx 当，得：，tan2 222 2sincos2tan4 sin2 sincos1tan5 aaa a aaa 3 cos2 5 a 代入上式，m=-2. （2010 安徽文数）安徽文数）16、 （本小题满分 12 分） ABC的面积是 30，内角, ,A B C所对边长分别为, ,a b c，。 12 cos 13 A ()求AB AC A； ()若，求a的值。1cb 【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余 弦定理解三角形以及运算求解能力. 【解题指导】 （1）根据同角三角函数关系，由得的值，再根据面积 12 cos 13 A sin AABC 公式得；直接求数量积.由余弦定理，代入已知条156bc AB AC A 222 2cosabcbcA 件，及求 a 的值.1cb156bc 解：由，得. 12 cos 13 A 2 125 sin1 () 1313 A 又，. 1 sin30 2 bcA 156bc （）. 12 cos156144 13 AB ACbcA （）， 222 2cosabcbcA 2 12 ()2(1 cos)12 156 (1)25 13 cbbcA .5a 【规律总结】根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求的值，考虑已知ABC的bc 面积是 30，所以先求的值，然后根据三角形面积公式得的值.第二问 12 cos 13 A sin Abc 中求 a 的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可. （2010 重庆文数）(18).(本小题满分 13 分), ()小问 5 分，()小问 8 分.) 设的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,且 3+3-3=4bc .ABC 2 b 2 c 2 a2 () 求 sinA 的值； ()求的值. 2sin()sin() 44 1 cos2 ABC A 第 - 6 - 页 共 20 页 三角函数 （2010 浙江文数）浙江文数） （18） （本题满分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a,b,c,设 S 为 ABC 的面积，满足。 222 3 () 4 Sabc （）求角 C 的大小； （）求的最大值。sinsinAB （2010 重庆理数）重庆理数） （16） （本小题满分 13 分， （I）小问 7 分， （II）小问 6 分） 设函数。 2 2 cos2cos, 32 x f xxxR （I）求的值域； f x （II）记的内角 A、B、C 的对边长分别为 a，b，c，若=1，b=1,c=，ABC f B3 第 - 7 - 页 共 20 页 三角函数 求 a 的值。 （2010 山东文数）山东文数）(17)（本小题满分 12 分） 已知函数（）的最小正周期为， 2 ( )sin()coscosf xxxx0 （）求的值； （）将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到( )yf x 1 2 函数的图像，求函数在区间上的最小值.( )yg x( )yg x0,16 第 - 8 - 页 共 20 页 三角函数 （20102010 北京文数）北京文数） （15） （本小题共 13 分） 已知函数 2 ( )2cos2sinf xxx （）求的值；() 3 f （）求的最大值和最小值( )f x 解：（）= 2 2 ()2cossin 333 f 31 1 44 （） 22 ( )2(2cos1)(1 cos)f xxx 2 3cos1,xxR 因为,所以，当时取最大值 2；当时，cos1,1x cos1x ( )f xcos0x 去最小值-1。( )f x （20102010 北京理数北京理数） （15） （本小题共 13 分） 已知函数。(x)f 2 2cos2sin4cosxxx （）求的值；() 3 f 第 - 9 - 页 共 20 页 三角函数 （）求的最大值和最小值。(x)f 解：（I） 2 239 ()2cossin4cos1 333344 f （II） 22 ( )2(2cos1)(1 cos)4cosf xxxx = 2 3cos4cos1xx =, 2 27 3(cos) 33 xxR 因为，cosx 1,1 所以，当时，取最大值 6；当时，取最小值cos1x ( )f x 2 cos 3 x ( )f x 7 3 （2010 四川理数）四川理数） （19） （本小题满分 12 分） （）证明两角和的余弦公式； 1 C:cos()coscossinsin 由推导两角和的正弦公式. 2 C S:sin()sincoscossin （）已知ABC 的面积，且，求 cosC. 1 ,3 2 SABAC 3 5 cosB 本小题主要考察两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运 算能力。 解：(1)如图，在执教坐标系 xOy 内做单位圆 O，并作出角 、 与，使角 的始边为 Ox，交O 于点 P1，终边交O 于 P2；角 的始边为 OP2，终边交O 于 P3；角 的始边 为 OP1，终边交O 于 P4. 则 P1(1,0),P2(cos,sin) P3(cos(),sin(),P4(cos(),sin() w_w w. k#s5_u.c o*m 由 P1P3P2P4及两点间的距离公式，得 cos()12sin2()cos()cos2sin()sin2 展开并整理得：22cos()22(coscossinsin) cos()coscossinsin.4 分 由易得 cos()sin,sin()cos 2 2 sin()cos()cos()() 2 2 cos()cos()sin()sin() 2 2 sincoscossin6 分 (2)由题意，设ABC 的角 B、C 的对边分别为 b、c 第 - 10 - 页 共 20 页 三角函数 则 SbcsinA 1 2 1 2 bccosA30w_w w. k#s5_u.c o*mABAC A(0, ),cosA3sinA 2 又 sin2Acos2A1，sinA,cosA 10 10 3 10 10 由题意，cosB,得 sinB 3 5 4 5 cos(AB)cosAcosBsinAsinBw_w w. k#s5_u.c o*m 10 10 故 cosCcos(AB)cos(AB)12 分 10 10 （20102010 天津文数）天津文数） （17） （本小题满分 12 分） 在ABC 中，。 cos cos ACB ABC （）证明 B=C： （）若=-，求 sin的值。cos A 1 3 4B 3 【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角 的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力.满分 12 分. （）证明：在ABC 中，由正弦定理及已知得=.于是 sinBcosC- sinB sinC cosB cosC cosBsinC=0，即 sin（B-C）=0.因为，从而 B-C=0.BC 所以 B=C. （）解：由 A+B+C=和（）得 A=-2B,故 cos2B=-cos（-2B）=-cosA=. 1 3 又 0,ACOCOC ACAC故且对于线段上任意点P有O PO C， 航行速度只能达到 30 海里/小时，故轮船与小艇不可能在 A、C（包含 C）的任意位置相遇， 设，OD=，COD= (0 90 ),10 3tanRt CODCD 则在中， 10 3 cos 由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为和， 10 10 3tan 30 t 10 3 cos t v 所以，解得， 10 10 3tan 30 10 3 cosv 15 33 ,30,sin( +30 ) sin( +30 )2 vv 又故 从而值，且最小值为，于是3090 ,30tan 由于时，取得最小 3 3 当取得最小值，且最小值为。30 时， 10 10 3tan 30 t 2 3 此时，在中，故可设计航行方案如下：OAB20OAOBAB 航行方向为北偏东，航行速度为 30 海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。30 （2010 安徽理数）16、 （本小题满分 12 分） 设是锐角三角形，分别是内角所对边长，并且ABC, ,a b c, ,A B C 。 22 sinsin() sin() sin 33 ABBB ()求角的值；A ()若，求（其中） 。12,2 7AB ACa A, b cbc 第 - 18 - 页 共 20 页 三角函数 （2010 江苏卷）江苏卷）17、 （本小题满分 14 分） 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位：m） ，如示意图，垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m，仰角ABE=，ADE=。 (1)该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出 H 的值； (2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离 d（单位：m） ，使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔 的实际高度为 125m，试问 d 为多少时，-最大？ 解析 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。 （1），同理：，。tan tan HH AD AD tan H AB tan h BD ADAB=DB，故得，解得：。 tantantan HHh tan4 1.24 124 tantan1.24 1.20 h H 因此，算出的电视塔的高度 H 是 124m。 （2）由题设知，得，dABtan,tan HHhHh dADDBd 第 - 19 - 页 共 20 页 三角函数 2 tantan tan() () 1tantan() 1 HHh hdh dd HHhH Hh dH Hh d ddd ， （当且仅当时，取等号） () 2() H Hh dH Hh d ()125 12155 5dH Hh 故当时，最大。55 5d tan() 因为，则，所以当时，-最大。0 2 0 2 55 5d 故所求的是m。d55 5 （2010 江苏卷）23.（本小题满分 10 分） 已知ABC 的三边长都是有理数。 （1）求证 cosA 是有理数；（2）求证：对任意正整数 n，cosnA 是有理数。 解析 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、 解决问题的能力。满分 10 分。 （方法一） （1）证明：设三边长分别为，是有理数，, ,a b c 222 cos 2 bca A bc , ,a b c 是有理数，分母为正有理数，又