信号与系统---第二章 连续系统的时域分析.ppt

第二章 连续系统的时域分析 绪论 第一节 LTI连续系统的响应 第二节 冲激响应和阶跃响应 第三节 卷积积分 第四节 卷积积分的性质 总结 绪论 本章将研究线性时不变（LTI）连续系统的分析方法， 即对于给定的激励，根据描述系统响应与激励之间关 系的微分方程求得其响应的方法，由于分析实在时间 域内进行的，称为时域分析。 本章将在用经典法求解微分方程的基础上，讨论零输 入响应，特别是零状态响应的求解。在引入系统的冲 激响应之后，零状态响应等于冲激响应与激励的卷积 积分。冲激响应和卷积积分概念的引入，使LTI系统分 析更加简捷，明晰，它们在系统理论中有重要作用 本章共分为四个部分 一.LTI连续系统的响应2.1.ppt 二.冲激响应和阶跃响应 三.卷积积分 四.卷积积分的性质 第一节 LTI连续系统的响应 一.微分方程的经典解： 连续时间系统 微分方程，线性LTI系统 常系数的线性微分方程 ，系统的阶次等于方程的阶次，一般表示： 方程的解，即全解y(t)= 齐次解 强迫响应 特解 自由响应 为常数 ， 1.齐次解： 为齐次方程，其解为其次解，它的形式为 的函数的线性组合，是特征 方程的解（即特征根），特征方程： 单根： 不同特征根对 r阶重根： 应其次解不同 一队共轭根 r重共轭根 ： 若方程为几个特征单根 则齐次解为 式中常数 将在求出全解时,由初始条件定出。 2.特解: 特解的形式与激励的形式有关,选定特解形式后把它带入方程定出其系数. 或 其中 特解形式 3.全解:常系数线性微分方程的全解为齐次解和特解之和. 中的特定系数可由几个初始条件求的. 所有特征根不等于0 有r重等于0 的特征根 不为特征根 等于特征单根 为r重特征根 或 或 其中 所有的特征根均不 等于 单特征根 例: 解： 由初始条件定 求 的全解 的全解 则： 输入为不为特征根 则代入方程 则全解为 得：也写为： 自由响应强迫响应 齐次解特解 特征方程相同则 输入为 ，-2为特征根则特解为 代入方程得： 不定，最后一块定，则全解 为： 由初始条件定系数 和 ： 例2： 全响应 零状态响应 自由响应（齐次解） 稳态响应（不变部分） 零输入响应 强迫响应（特解） 暂态响应（衰减） ，因 和 分不开故不能区分自由响应 与强迫响应 输入 的全响应 解得： 固有响应 (瞬态响应) 强迫响应 (稳态响应 ) 二.关于 和 初始值： 在用经典法求解时，要定系数需要初始条件。而初始条件有两种情况： 当信号在0时刻接入信号，应用的初始条件应为 而测出的初始条件是在信号未加入时的初始条件为 这两种情况不相同，因为在t=0处有信号作用，定系数时应用的初始条件为 ，而当给定的为 就需要由 的定出 的条件. 例： 上式在 也应成立，则在 区间两边的奇异函数应相同，右边有 则左边最高阶 应包含冲激函数 ，这样使得 为 积分在 处有跃变 ， 不含冲激函数，则 在 处为连续的。对上式 两边从 到 积分得： 当时 求 解： 输入 连续则： 在 处连续，则 这种方法比较麻烦，可利用 来求解 。 三. 零输入响应和零状态响应求解 1.零输入响应： 对系统来说，由于无输入，则方程为齐次方程，其零输入响应 的形为 （为特征单根时），又 由于无输入则初始条件在 两 侧不变， 则可由初始条件再定出系数得出 。 2.零状态响应： 由于有输入，故方程不为齐次的其解 的形式为： 得： 则 可由输入形式，代入得其系数 仍需要由 再定系数，比较麻烦，可由其他方法求解。 例4：求 解：零输入响应 虽，但 时有输入， 求 零输入 则 或 零状态响应 求零状态响应，则 ，而定 的系数需要 由于上式等号右边 有 项 故 应含 函数 就存在阶跃 即 而 不含 则 在 连续 对上式积分 由激励形式并代入方程得出系数，解得 并把 代入初始条件 代入 求，在方程为 则 中，定出则： 例5.方程形式同上题，而 求 不能求出 和 故不能直接定出 中的系数而先求 。 可先求 时（零状态）的响应 再求 根据上题求 的方法得 ，代入 得 ： 例6. 求 若 求系统的零状态响应 解：先求解 的解 再又上式 求出就可定 中系数得 则 第二节 冲激响应和阶跃响应 一.冲激响应： 处在零状态的系统输入一个特殊信号 时系统的响应叫单位冲激响应，简 称冲激响应。 t LTI系统 即：求其解以下面例题分析 例1： 求其冲激响 应。 解：在 时 ， 只在 作用使得 t0 时，特征方程： 定 ，t=0时有冲激，代入 后对方程积分得： 由初始条件定出 则冲激响应为： (t0.(t)=0.特解为零) 结论1：对于一般n阶微分方程，右边只有 项时，零状态响应 由上面的初始条件可定出 共n个系数，再求得 对应则在 有变化 阶跃 不对应则在处连续 结论2 ：对于一般n阶微分方程： 先求的冲激响应 再求出的 1，2 ，m的导数 最后根据线性组合求出方程的冲激响应 例2： 求其冲激响应 解： 选新变量其冲激响应 由上例得： 则 二.阶跃响应： 当零状态系统输入阶跃信号 时系统的响应为 如图： 即 ，n阶系统的阶跃响应 满足： 因为等号右边只含 而无冲激作用，故有： 若系统方程的特征根为单根时则阶跃响应的形式为： 式中的 为方程的特解，（因 ）。待定系数由式定出 若方程右边有 及其各阶导数的组合时，可根据LTI系统的线性和特性求。 也为 的组合。 1 t LTI系统 t 阶跃响应 与单位冲激响应 的关系： 例3：如图系统，求其阶跃响应。 解：设中间变量 微分方程： 先求其 的阶跃响应 输入无激励 则 方程的特征根 由输入 t0时 则 带入方程得 由线性系统的微分，积分特性则： - - + 1 - + 2 2 3 阶跃响应 冲激响应 例4.如图电路系统 求其冲激响应和 阶跃响应 + L + _ _ 解： 由电路 微分方程；由原理得： + 6 +25 =25 求冲激响应： +6 +25 =25 = =0 = = 0 = +25 特征方程： +6 +25=0 = 3 4i = Ccos4t+Dsin4t =0 C=0 则 因为 = =25 D=6.25 所以 = 6.25 sin4t 求阶跃响应： 可用 = = = = 也可用 来求，同学可自看 书上四个电路，其方程为 为常用的二阶系统，其特征根 对应 、 值的不同， 其冲激响应和阶跃响应可能出现 为过阻尼 , 如P59图 临界 为欠阻尼 为无阻尼，等幅振荡 题型：微分方程，框图，电路图 写出方程 求解 作业：14、8(2) 第三节 卷积积分 求 时需要由 的初始 求系统响应 条件定系数 可直接求出系数，而 求解仍很麻烦 我们能否找一种其他方法来求解 即卷积积分分解方法。思路： 一.卷积积分 1.思想：一个 函数的波形如图： 可分为许多宽度很窄的脉 冲（面积为单位脉冲的倍数） 脉冲宽度为 ，则： 当系统： LTI系统 tt 即： 则： 线性时不变系统成立 即：线性时不变系统输入的零状态响应 为输入与系统冲激响应的卷积积分，简称卷积。 2.卷积定义：对于两个函数 和 的如下积分： 成为 与 的卷积积分，简称卷积。写为： 卷积时，先换元，其中一个反转并平移t 后乘积积分。 三. 卷积的图示： 卷积为一种数学方法，我们可以通过图示来理解求解过程。 即： 例1： 2 4 t 与 1.5 2 t 的卷积 解：先换元 2 4 1.5 2 把其中之一反转： 将 平移 如图： t为变量，如图平移 时如图，求不同 与 的乘积。 连续移动就可得到任意时刻t的值积分后得卷积 .注意：由于t 平移时位置不同， 与 的乘积不同，故需区分不同卷 积区间分别求卷积。 如：当t0时，乘积为0， 积分为零：(t)=0 2 4 1.5 -2 例2：设 求 解： 一般简单的函数做反转 ，平移 根据函数的的形状定积分限。 一般对 函数，若它们为有始函数， 则 卷积存在。 上式在成立，故： 故： t0 t-20 例如： 几种常见的卷积在附录二： 当 时， 当 时，则卷积存在 因 不为有始函数，则 不存在 等等 第四节 卷积积分的性质 卷积积分是一种数学运算，可利用定义做，也可以利用其性质运算，使运 算更方便。 1.交换律： 证明： 定义积分限为：则 应用改变反转平移函数，可运算方便。 例1： 求 解： 2. 分配律： 证明： 即可用图形表示为： 3.结合律： 证明类似于分配律，自看一下：可表示为： + 为系统并联 为系统串联 二.函数与冲激函数的卷积： 例2：计算： 推论： 该式在t5-3才存在 也可用： . 例3.周期为T周期性单位冲激函数序列，可称为梳状函数， 或 它可写为： 也可以： m为整数 求： 波形如图： -T T 2T t t t -T0T2T 三.卷积的微分和积分： 例：求如图 与 的卷积。 解：直接求 比较烦,（分段） 可利用 定义：对于则有： 应用： 13 2 1 1 2 tt 四.系统的分解： 1 3 t 12 1 t 则 2 12 34 t波形如图： T 数乘器 延迟器 微分器 积分器 一般系统可由 这些子系统 组合而成 例：如图三个子系统组成的系统，其 中 如图。 求： 并画其波形用子系统 两个子系统。 解：取 则： 子系统的组合： + + 波形如图： 2 1 1 t 123 t t 11 123 T T T 1 1 tt 12 1 LTI连续系统的 线性常系数微分方程，系统分析即方程的求解 自由响应 由特征根定形式 系数先不定 强迫响应 由激励定形式 代入方程定系数 注意定系数需 的初始条件，当已知 条件