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刚体的定轴转动 l刚体的基本概念 l刚体定轴转动的运动学规律；刚体定轴转动的 动力学规律：转动定律 l刚体定轴转动的动量矩定理；动量矩守恒 一一. . 刚体刚体 内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的 物体，即运动过程中不发生形变的物体。物体，即运动过程中不发生形变的物体。 刚体是实际物体的一种理想的模型刚体是实际物体的一种理想的模型 刚体的平动过程刚体的平动过程 b c a 刚体的平动过程刚体的平动过程 b c a b c a b 刚体的平动过程刚体的平动过程 b c a 刚体的平动过程刚体的平动过程 b c a 刚体的平动过程刚体的平动过程 b c a 刚体的平动过程刚体的平动过程 b c a 刚体的平动过程刚体的平动过程 b c a 刚体的平动过程刚体的平动过程 b c a 刚体的平动过程刚体的平动过程 1.1.平动：平动：运动过程中刚体内任意一条直线在运动过运动过程中刚体内任意一条直线在运动过 程中始终保持方向不变。程中始终保持方向不变。 特点：特点：刚体内所有点具有相同的位移、速度和加速度。刚体内所有点具有相同的位移、速度和加速度。 刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。 2. 2. 转动：转动：刚体上所有质点都绕同一轴线作圆周刚体上所有质点都绕同一轴线作圆周 运动。若转轴固定不变，则称为运动。若转轴固定不变，则称为定轴转动定轴转动。 特点：特点：刚体内所有点具有相同的角位移、角速度和角加速度。刚体内所有点具有相同的角位移、角速度和角加速度。 刚体上任一点作圆周运动的规律即代表了刚体定轴转动的刚体上任一点作圆周运动的规律即代表了刚体定轴转动的 规律。规律。 转动动能转动动能: : 质点运动的动能质点运动的动能: : 刚体是有许多质点组成的刚体是有许多质点组成的 总总动能动能: : I =miri2I 称为转动惯量 转动惯量的计算 单个质点的转动惯量：I =mr2 质点系的转动惯量： I =miri2 I = mr2dm 质量连续分布的刚体的转动惯量： 质量为线分布 质量为面分布 质量为体分布 、 分别为质量的线密度、面密度和体密度。 线分布体分布面分布 才能用积分计算出刚体的转动惯量。 只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体 转动惯量单位：kg.m2 *关于转动惯量的讨论： 转动惯量和转轴有关。 同一个物体对不同转轴的转动惯量是不同的。 转动惯量和质量分布有关。 转动惯量具有可加性，一个复杂形状刚体的转动惯 量等于刚体各个组成部分对同一轴转动惯量之和。 o o mr 1 2 2 I = o o ml 1 12 2 I = o o mr 1 4 2 I = o o ml 1 3 I = 2 例求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。 解: 若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。 轴与圆环平面垂直并通过圆心。 R dm 讨论： 若圆环质量分布不均匀，结果相同。 例求质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆盘的转动 解：取半径为r 宽为dr 的薄圆环, 可见，转动惯量与l 无关。所以，实心圆柱对其轴的转 动惯量也是mR2/2。 惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。 例求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的 A B L X A B L/2L/2 C X 解：取如图坐标，dm=dx 转动惯量。 平行轴定理：平行轴定理： mm R R 例：例： 二二. . 刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述 角位置：角位置： 1. 1. 定轴转动的角量描述定轴转动的角量描述 角位移：角位移： 角速度：角速度： 角加速度：角加速度： 2. 2. 角量和线量的关系角量和线量的关系 矢量表示：矢量表示： 对于匀加速转动,有下面公式: 例题1 一飞轮在时间t内转过角度at+bt3-ct4 , 式中a、b、c 都是常量。求它的角加速度。 解：飞轮上某点角位置可用表示为 at+bt3-ct4 将此式对t求导数，即得飞轮角速度的表达式为 角加速度是角速度对t的导数，因此得 由此可见飞轮作的是变加速转动。 例题2 一飞轮转速n=1500r/min，受到制动后均匀 地减速，经t=50 s后静止。 （1）求角加速度a 和飞轮从制动开始到静止所转过 的转数N； （2）求制动开始后t=25s 时飞 轮的加速度 ； （3）设飞轮的半径r=1m，求在 t=25s 时边缘上一点的速 度和加速度。 0 v an at a r O 解 （1）设初角度为0方向如图所示 ， 量值为0=21500/60=50 rad/s，对于匀变速 转动，可以应用以角量表示的运动方程，在t=50S 时刻 =0 ，代入方程=0+at 得 从开始制动到静止，飞轮的角位移 及转 数N 分别为 （2）t=25s 时飞轮的角速度为 （3）t=25s 时飞轮边缘上一点P 的速度。 的方向与0相同 ； 的方向垂直于 和 构成的平面，如 图所示相应的切向加速度和向心加速度分别为 由 边缘上该点的加速度 其中 的方向 与 的方向相反， 的方向指向轴心， 的大小 为 的方向几乎和 相同。 刚体的转动定律刚体的转动定律 1、力对转轴的力矩 转动平面 如果有几个外力矩作用在刚体上 积分得 力矩的大小等于力在作用点的切向分量与力的作用点 到转轴Z 的距离的乘积。 2、刚体定轴转动的转动定律 上式为刚体定轴转动的转动定律。表明刚体绕定轴 转动时，它的角加速度与作用于刚体上的合外力矩 成正比，与刚体对转轴的转动惯量成反比。 m 反映质点的平动惯性，I反映刚体的转动惯性 力矩是使刚体转动状态改变而产生角加速度的原因。 *关于转动定律的讨论： MI 与地位相当 例如图所示，两物体1和2的质量分别为m1与m2， m 2 2 T 1 T m 1 滑轮的转动惯量为J,半径为r 。 如物体2与桌面间的摩擦系数为，求系统的加速 度a 及绳中的张力 T1 与 T2（设绳子与滑轮间无相 对滑动）； 如物体2与桌面间为光滑接触，求系统的加速度a 及绳中的张力 T1与 T2 。 f = N gm2 = 1 T = m a 1 gm1 2 T=m a 2f a =r N g f 2 T m2 m 2 2 T 1 T a gm1 1 T m 1 解： 0N=gm2Ir= 1 T 2 T r + = r 2 + m 2 gm 1 m 2 I() r 2 + m1m2 I 1 T + = r 2 + m1gm 2 m1I() r 2 + m 1 m 2 I 2 T r 2 + a = gm2gm1 m1m2 I 解得： gm 1 r 2 + m 1 m 2 I a = + = r 2 gm 1 m 2I () r 2 + m 1 m 2 I 1 T = gm2m1 r 2 + m 1 m 2 I 2 T = 0 三、刚体定轴转动的功和能三、刚体定轴转动的功和能 1.1.力矩的功力矩的功 力 对P 点作功： 0 0 因 力矩作功： 对于刚体定轴转动 情形，因质点间无相对 位移，任何一对内力作 功为零。 0 0 2. 2. 力矩的功率力矩的功率 刚体的转动动能与重力势能刚体的转动动能与重力势能 1 1刚体的转动动能刚体的转动动能 O O 图图2626 Z Z 2 2刚体的重力势能刚体的重力势能 图图164164 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 刚体定轴转动的功能定理和机械能守恒定律刚体定轴转动的功能定理和机械能守恒定律 推广推广：对含有刚体和质点复杂系统，若外力不做功，对含有刚体和质点复杂系统，若外力不做功， 且内力都是保守力，则系统机械能守恒，即且内力都是保守力，则系统机械能守恒，即 图图163163 l l A A C C 解：解： 1. 1. 质点的角动量质点的角动量 质点对质点对OzOz轴的角动量轴的角动量： 刚体力学刚体力学1616 x x y y z z m m d d O O 角动量定理与角动量守恒定律角动量定理与角动量守恒定律 2. 2. 刚体对定轴的角动量刚体对定轴的角动量 O O 图图2626 Z Z 3. 3. 刚体定轴转动的的角动量定理和角动量守恒定律刚体定轴转动的的角动量定理和角动量守恒定律 角动量定理角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律 4 4物体系的角动量定理角动量守恒定律物体系的角动量定理角动量守恒定律 例题 工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相 同的转速一起转动。如图所示，A和B两飞轮的轴杆 在同一中心线上，A轮的转动惯量为IA=10kgm2，B 的转动惯量为IB=20kgm2 。开始时A轮的转速为 600r/min，B轮静止。C为摩擦啮合器。求两轮啮合 后的转速；在啮合过程中，两轮的机械能有何变化 ？ A A C B A C B 定轴转动刚体的角动量守恒定律 解 以飞轮A、B和啮合器C作为一系统来考虑，在 啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的 切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴 有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外 力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律 可得 为两轮啮合后共同转动的角速度，于是 以各量的数值代入得 定轴转动刚体的角动量守恒定律 或共同转速为 在啮合过程中，摩擦力矩作功，所以机 械能不守恒，部分机械能将转化为热量，损 失的机械能为 定轴转动刚体的角动量守恒定律 m2 m1 图133 R M 例题例题 如图，长为如图，长为l l，质量为，质量为MM的均匀细棒可饶过的均匀细棒可饶过OO点点 的转轴在竖直面内自由转动。一质量为的转轴在竖直面内自由转动。一质量为mm的质点以的质点以 初速初速v v 0 0 沿水平方向运动，与静止在竖直位置的细棒沿水平方向运动，与静止在竖直位置的细棒 的末端发生完全非弹性碰撞，碰撞后两者一起上的末端发生完全非弹性碰撞，碰撞后两者一起上 摆。求摆。求 （1 1）碰撞后瞬间两者一起上摆的角速度）碰撞后瞬间两者一起上摆的角速度 ， （2 2）两者一起上摆的最大角度）两者一起上摆的最大角度 。 O O l l m m 图图3535 例题 一长为l 、质量为m 的匀质细杆，可绕光滑轴O 在 铅直面内摆动。当杆静止时，一颗质量为m0 的子弹水 平射入与轴相距为a 处的杆内，并留在杆中，使杆能偏 转到=300，求子弹的初速v0。 解：分两个阶段进行考虑 其中 (1)子弹射入细杆,使细杆获得初速 度。因这一过程进行得很快,细杆 发生偏转极小,可认为杆仍处于竖 直状态。子弹和细杆组成待分析 的系统,无外力矩,满足角动量守 恒条件。子弹射入细杆前、后的 一瞬间,系统角动量分别为 定轴转动刚体的角动量守恒定律 (2)子弹随杆一起绕轴O 转 动。以子弹、细杆及地球构 成一系统，只有保守内力作 功，机械能守恒。选取细杆 处于竖直位置时子弹的位置 为重力势能零点，系统在始 末状态的机械能为： 由角动量守恒，得： (1) 势能零点 定轴转动刚体的角动量守恒定律 由机械能守恒，E=E0, 代入=300，得： 将上式与 联立，并代入I 值，得 定轴转动刚体的角动量守恒定律 直线运动与定轴转动规律对照 质点的直线运动刚体的定轴转动 定轴转动刚体的角动量守恒定律 a m m m R M h 例题1. 已知：M、R、m，绳质量不计，求：物体由 静止开始下落h 高度时的速度和滑轮的角速度。 T1 T2 mg T1=T2=T 0 +） m1 R m2 *例2. 物体 m1m2，滑轮（R，m）。阻力 矩Mf ， 绳子质量忽略，不伸长、不打滑。 求重物的加速度及绳中张力 解： m1g T1T2 m2g a1a2 T2 T1 Mf 1.不计轴上摩擦 Mf=0 3.不计轴上摩擦、不计滑轮质量(Mf=0, m=0) 2.不计滑轮质量 m=0 例3*：圆盘（R，M），人（m）开始静止，人走一 周，求盘相对地转动的角度 解： 系统对转轴 角动量守恒 人 ，盘 例题4* 一匀质细棒长为l ，质量为m，可绕通过其端点 O的水平轴转动，如图所示。当棒从水平位置自由释放 后，它在竖直位置上与放在地面上的物体相撞。该物体 的质量也为m ，它与地面的摩擦系数为 。相撞后物体 沿地面滑行一距离s而停止。求相撞后棒的质心C 离地面 的最大高度h，并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条 件。 解： 这个问题可分为三个阶段 进行分析。第一阶段是棒自由 摆落的过程。这时除重力外， 其余内力与外力都不作功，所 以机械能守恒。我们把棒在竖 直位置时质心所在处取为势能 C O 定轴转动刚体的角动量守恒定律 零点，用表示棒这时的角速度,则 （1） 第二阶段是碰撞过程。因碰撞时间极短，自由的 冲力极大，物体虽然受到地面的摩擦力，但可以忽略 。这样，棒与物体相撞时，它们组成的系统所受的对 转轴O的外力矩为零，所以，这个系统的对O轴的角 动量守恒。我们用v表示物体碰撞后的速度，则 （2） 式中 棒