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13.3角的平分线 （1） 1.思考 (1)工人师傅经常用角尺平分一个任意角 .做法如下: 如图,AOB 是一个任意角,在边OA,OB上 分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相 同的刻度分别与M,N重合,过角尺顶点C 的射线OC便是AOB的平分线.为什么? 请用三角形全等的知识来说明画法的道 理. O A B M N C (2)如右图,是一个平分角的仪器,其中 AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB 和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射 线AE,AE就是角平分县.你能说明它的道 理吗? A D C B (3)你能用的类似方法说明画法的道理吗? A A 作法: :以O为圆心,适当长为半 径作弧,交OA于M,交OB于 N. 分别以M,N为圆心,大于 MN的长为半径作弧,两弧 在AOB的内部交于点C. 作射线OC,射线OC即为 所求. 1 2 2 .做一做 由上面的探究可以得出作已知角的方法. 已知:AOB. 求作:AOB的平分线. （2）用三角尺按下面方 法画角平分线：在已知的 AOB的两边上，分别取 OM=ON，再分别过点M ，N做OA，OB的垂线， 交点为P，画射线OP，则 OP平分AOB。为什么 ？再探究结果可得到： PMOA，PNOB，且 PM=PN。 A M N O P B 3.练一练: 平分平角AOB.通过上面的步骤得到射线OC以后,把它 反向延长得到直线CD,直线CD与直线AB是什么关系? 看一看 当拖动AOB平分线OC上的点P时，观察 PM,PN(PMOA,PNOB)度量值的变化 规律,发现: PM=PN,即“在角平分线上的点到角 的两边的距离相等”的事实”, A B O A O EB C P D 将AOB对折,在折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后 展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论? 可以看一看,第一条折痕是AOB的平分线OC,第二次折叠形成的 两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到AOB两边的距离,这两个 距离相等. 折一折 试一试 当拖动AOB内部的点P时，在保持 PM=PN（PMOA，PNOB）的前 提下，观察点P留下的痕迹，发现： 射线OP是AOB的平分线，要求学 生利用三角形全等知识解释 角的平分线上的点角到角的两边的距离相等。 由此得出角平分线的性质 由此得出角平分线的判定 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 由此得出角平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 要在S区建一个集贸市场,使它到公路,铁路距离相等,离公 路与铁路交叉处500米.这个集贸市场应建于何出(在图上表 出它的位置,比例尺为1:20 000)? 分析:把公路.铁路看成两条相交线, 先作其交角的平分线OB(O为顶点), 再在OB上作OS,使OS=2.5厘,点S即 为所求. 由此得出角平分线的判定定理 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 O B S 解一解 由此得出角平分线的性质 例 已知：如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、 F BM是ABC的角平分线，点P在BM上 PD=PE （在角平分线上的点到角的两边的距离相等） 同理 PE=PF. PD=PE=PF. 即点P到边AB、BC、 CA的距离相等 练一练 B A C P NM 应用与拓展 1.在ABC中,C=900,AD平分BAC交BC 于点D,若BC=8,BD=5,则点D到AB的 距离为多少? 2.能用尺规作出一个450的角吗? D A C E B 3.已知：OD平分AOB，在OA， OB边上取OA