《工学弹性力学》PPT课件.ppt

Chapter 2 应力分析 2-1. 力和应力 (Forces and Stresses) 1、力 (Forces) 外力 (External forces)： 面力(Surface forces)：指作用在物体表面上的力。 如风力静水压力等。 P点面力: (2-1) 在坐标系中的分量表示: (2-2) 量纲: 力 / 长度2 单位: 1N / m2 =1Pa 1 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 体力(Body forces)： 指分布在物体体积内的外作用力. 如重力惯性力磁力。 一点体力 (2-3) 在坐标系中的分量表示: (2-4) 量纲: 力 / 长度3 单位: N / m3 内力 (Internal forces): 2、应力 (Stresses) 应力概念：所谓物体内一点处的应力, 是指过该点的某一截 面C上内力分布的集度. 应指明: 2 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS dV dF 1该点位置P(x,y,z) (作用点) 2过P点截面方位(以截面外法线N(l,m,n) 表示). (方位) 3在P点处该截面N上的内力分布集度.(大小) 应力: (2-5) P称为P点过C截面上的全应力. (2-6) 3 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS x y z dS dP o P1 P2 P3 P4 应力分量: 1PN 可分解成沿截面法线的法向分量N 和在截面内的切向分量N , N 称为正应力； N 称为切应力； 为PN 与截面间的夹角； 下标N表示所在截面的外法线方向n。 2应力分量表示： 当N与y轴一致时, 全应力P y 在法向上分量y ， 在切向上分量y 。 切向应力分量y 又沿坐标轴分解成 x 方向切应力yx 和 z 方向切应力y z . 4 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS x y z PN o n 即 P y 沿坐标轴分解为 同理 P x 沿坐标轴分解为 P z 沿坐标轴分解为 一点的应力状态 ( The state of stress at a point ) 1要研究物体内一点 P(x,y,z) 处的应力情况， 由于过P点有无数多个面，即有无数变化的 几何方向，当知道这些面上的应力时，则 该点的应力状态为已知. 2要表示一点 P(x,y,z) 的应力状态,过P点沿坐 标轴x，y，z 方向取一微小的六面体单元(微元六面体)。 3在微元六面体的每个面上标出应力分量：如前述y面 5 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 于是，在三个坐标面的正面， 可表示为 6 正 面 负 面 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 同样，在三个坐标面的负面， 可表示为 4应力分量的标识： 5应力分量的符号规定： 7 正 面 负 面 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 应力所在面的外法线方向 正应力 切应力所指方向 应力所在截面的外法线方向 切应力 正面：截面外法线方向与坐标轴的正向一致. 负面：截面外法线方向与坐标轴的负向一致. 定义：正面上，应力方向与坐标轴指向一致时为正，反之为负. 负面上，应力方向与坐标轴指向相反时为正，反之为负. 3、一点应力状态的矩阵表示： (2-7) 8 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 4、补充: 符号 方程和求和的简记约定. 下标记号法: 1为简洁表示应力分量应变分量位移分量等各种物理量, 采用如下所示的下标记号约定: 坐标 xi, 表示一点坐标 (x1,x2,x3) 或 (x,y,z). 位移 ui, 表示位移分量 (u1,v2,w3) 或 (u,v,w). 应力 , 表示应力分量 或 2具有对坐标偏导数项的物理量的符号约定: 9 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 求和约定: 1当在同一项中，有一个下标出现两次时，则对此下标从1到3求 和。 2限定在同一项中不能有同一下标出现三次和三次以上。 例： 10 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 方程简记约定: (i, j=1,2,3)。 其中 i 是自由标号，j 是重复标号 表示如下三个方程： 11 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 12 2-2. 斜截面上的应力 (Stress Components on an arbitrary plane) 已知一点的应力状态（ij ） ,确定过该点任意截面上的应力。 设截面的外法线方向 n ： ： 斜截面上全应力 PN ： ： 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 13 考察四面体微元： 设斜截面面积 dS ， 则 OBC 面积为 ldS; OAC面积为 mdS; OAB面积为 ndS. 根据力的平衡方程: 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 14 得到斜截面上应力分量 (Cauchy stress formula) (2-8) 简记为： (2-8) 特别重要地，在边界上，若边界外力设为 (Tx , Ty, Tz )，且外边界 面的法线方向 (l,m,n), 则有 外力边界条件外力边界条件: : (2-9) 简记为: (2-9) 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 15 例：对于给定的坐标系Oxy，试列出图中各平面问题的受力边界和 自由边界的应力边界条件。 (1) 1AB边界：自由边界， 法线 n ： l=1，m=0 应力边界条件： 2AC边界：受均布载荷 q . 法线 n ： l=0，m=1 应力边界条件： 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS y x q A B C 16 （2） S 为自由边界： Tx= Ty= 0 法向 n ： 应力边界条件： (在边界S上) 即有： （3）边界上受静水压力： 应力边界条件： (在边界S上) 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS x y S y y x O S 17 2-3. 力的平衡方程 (The Equilibrium Equations) 设有受外力作用的物体，其面力T（Tx，Ty，Tz）,体力F（Fx，Fy，Fz) 若物体处于平衡状态，对物体内一点P(x,y,z)，取微元六面体研究， 微元六面体的体积 dV=dxdydz 1、微元体的受力分析： 1体力F(Fx, Fy, Fz)：三个方向体力分量 分别为： X方向：Fxdxdydz Y方向：Fydxdydz Z方向：Fzdxdydz 2面力： X面：PBEC(负面)： ADGF(正面)： 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS B A D C E GF 18 Y面：PAFC(负面)： BDGE(正面)： Z面：PBDA(负面)： CEGF(正面)： 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS B A D C E GF 19 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS A D B C G E F 20 2、力的平衡方程给出： 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS A D B C G E F A D B C G E F 21 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 考察：应力分量作为坐标的函数： 显然有 即有 类似地有： 且有 22 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 于是力的平衡方程给出： 简记为： （2-10） (2-10) 23 3力对微元体形心轴的矩的平衡方程给出： 注意到 忽略高阶微量，有： 即切应力互等。 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS （2-11） 24 2-4应力状态分析 由切应力互等定理，一点应力状态的九个分量组成的矩阵： 是一个对称矩阵, (2-12) 1. 斜截面上的应力： 若已知一点的应力状态 ，分析外法线为 的斜截面上 的应力。 1应力矢量：记 有： 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS （2-7） （2-13） 2斜截面上的正应力： 全应力矢量p N在外法线方向n上的投影即为斜截面上的正应力 N ： 25 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 即 （2-14） 3斜截面上的切应力： 全应力矢量pN在斜截面内的投影即斜截面上的切应力分量为： 或 （2-15） 4特例：平面应力状态 x ,y ,xy . 设有一点的平面应力状态，分析任一斜截面 上的应力。 26 在斜截面上建立坐标系xyz, 两个坐标系间（坐标轴之间夹角 的方向余弦）关系为： 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 斜截面上的应力矢量： 截面上的正应力： 27 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 考察 故斜截面上的切应力 在y斜截面上，即与 N 相垂直的N的斜截面上， 28 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 或 则有 2. 应力分量互换定理： 考察一点附近两个法线方向分别为 n 和 n的微元截面，已知 n 截面上应力矢量 则 在 n方向上的投影为 29 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 同理可知 n截面上应力矢量 在 n 方向上的投影为： 则显然有 这就是所谓的应力分量互换定理。 特别地，当 时，有切应力互等定理： （2-16） （2-17） 注意：上述结论是在一点应力状态的切应力互等的前提下，即 为对称矩阵的前提下得到的。它不能作为切应力互等定理的一个证 明。 3 、主应力状态. 主应力状态定义：一点的应力状态中, 切应力为零所对应的 应力状态，即只有正应力，没有切应力的应力状态。 主平面：切应力为零的截面，称为主平面。 主方向：主平面的法线方向，称为主方向。 主应力：主平面上的正应力，称为主应力。 *物体中任一点都有三个主应力，三个相互 垂直的主平面，三个主方向。 主应力定义: 定义主应力为满足方程 (2-18) 的特征值. 特征向量n为该主应力所在平面(主平面)外法线的方向余弦， n为一单位向量。 30 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 解释：由于在主平面上切应力分量为零, 则该截面上应力矢量pN 必沿截面的法线方向, 即有 31 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 从而 pN在坐标轴上的投影 N在坐标轴上的投影 则有： 主应力计算： 为求主应力的值及主平面的方位，把上式写成： 显然n是单位矢量。 或（2-19） 解得的特征值和特征向量n即为所求。式中的(E)为单位矩阵。 32 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 方程展开成： 或 由上述方程可求出一点应力状态的三个主应力值和对应的相互垂 直的三个主方向余弦。 论证：应力主平面互相垂直和主应力为实数。（？） (2-20) (2-20) 33 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 为了论证应力主平面互相垂直和主应力为实数，我们给出如下 结论：（代数学中的两个命题） （a） 相对于对称矩阵的不同特征值的特征向量正交。 （b） 实对称矩阵的特征值为实数。 事实上，设有 ， 和 ， 满足方程 即有 分别左乘 和 ，有 对第二式转置，有 显然有 当 时，必有 即 由是结论( a ) 得证，即主应力平面互相垂直。 34 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 为证明结论（b）成立，对方程 两端左乘 nT 的共 扼特征向量： 对其取共扼并转置，利用实对称矩阵的性质， 有 于是有 对于非零向量 n，显然 ，故必有： 即 为一实数。 35 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 主应力方程： 由 方程有非零解，必须有： （2-21） 行列式的展开式给出：（2-22） 应力特征方程其中： 分别称为第一、第二、第三应力不变量 （2-23） （2-24） （2-25） 36 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 显然： 分别为矩阵 的各阶代数余 子式。（？） 37 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 讨论： 1由应力特征方程： 可求出 的三个实根，即一点应力状态的三个主应力 按代数值排列 2 要求出主平面的方向余弦 n，利用方程 即 和联立求解 l, m, n 代入 ： 展开： 38 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 联立求解得到对应于 所在主平面的方向余弦： 同理可求得： 3 在主应力状态 下，应力特征方程为： 即有： 展开： 显然有： （2-26） （2-27） （2-28） （2-29） 39 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 考虑到主应力状态是由原应力状态求出的，或者说，很显然地， 两个应力特征方程有相同的解 ，故两个特征方程中的 必然是相同的。由此可知， 与坐标系的选取无 关，称为应力不变量，分别地称为第一、第二、第三应力不变量。 4 、主应力空间中任意斜截面上的应力： （1）主空间：以主应力 的方 向为坐标轴（记为1，2，3）的几何空 间称为主（应力）空间。 （2）任意斜截面上的应力： 斜截面上的应力矢量： 40 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 斜截面上的正应力 N 、切应力N ： 5、八面体应力：（等倾面上的正应力、切应力） 八面体：主应力空间中法线方向 的斜截面，当 时，是为等倾面。在八个象限中由等倾面围成的 八面体，每个面都称为八面体平面。 *由于方位的不同，等倾面外法线方向余弦的数值相同，符号 不一定相同。 由于即有等倾角 41 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 八面体平面上的正应力 和切应力 （2-33） （2-34） 由此可知，正八面体各面上的应力分量是不变量。 42 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 6、应力状态的坐标变换 1如前所述，我们考察一点的应力状态都是未加说明地 对于通常的直角坐标系而言的。诚然，一点的应力状态并不与 坐标系的选择有关系，但很显然，作为描述一点的应力状态的 六个（独立的）应力分量，它们必然随坐标系的改变而改变。 2设有空间的二组正交单位矢量 和 定义： 写成： 43 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 显然有：和 记方向余弦矩阵： 显然有： (2-35) 简记为： 和： (2-36) 简记为： *思考： C 为正交矩阵。 (2-35) (2-36) 44 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 3为了得出空间坐标系间的旋转变换 ，我们分别以 和 为基矢建立正交坐标系Oxyz和Oxyz， 于是各坐标轴间夹角的方向余弦亦可写 成上述的形式： 4今给定一空间矢量 设在Oxyz系中， 在Oxyz系中， 则有： (2-37) (2-39) (2-38) (2-40) 在式（2-36）两边同时点乘 有： （2-41） 简记为：（2-41） 或 45 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 同理可得到： 简记为： （2-42） 于是，按以上的分析，对空间任意矢量n经旋转变换后成为n， 便有： 和 特别地，当n为单位矢量时， n也为单位矢量。*（？） 46 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 5不同坐标系下一点的应力状态： 设一点的应力状态在坐标系Oxyz中为 ，在坐标系Oxyz中 为 ，由坐标系Oxyz到Oxyz 间的变换矩阵为C，则有： （2-43） （2-44） 或 证明：事实上，由前面讨论的应力分量互换定理，在不同的坐标系 中确定该点在 截面上的应力矢量在 方向上的投影 ： 比较知： *思考： 47 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 6上面给出的应力状态的转换关系对于主应力和主应变的讨论 是有帮助的。由： 我们根据定理，可找正交 矩阵C，使 成对角形矩阵 结论：对角形应力状态矩阵 是由应力状态的三个主应力组成的 对角矩阵。 这是很显然的，因为： 1 的对角线元素是 的特征行列式的全部特征值。 2 特征行列式的特征值定义为主应力。 由此： 注意到： 48 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 即（2-45） 显然有：把 变换成对角阵 的正交矩阵 C 是由应力主平面 的方位（对应于各特征值的特征向量）组成的矩阵。 *附注 定理：对于任意一个 n 级实对称矩阵 A ，都存在一个 n 级正交矩阵 T ，使 成对角形。 7由于应力状态具有的这些特性，根据数学上的定义，确定一 点的应力状态的九个应力分量 是一二阶张量，并且由切应力互等 定理， 是一个二阶对称张量。 2-5 球型应力张量和应力偏量： 1、形变：体积改变 + 形状改变 1体积改变：由于各向相等的正应力引起的。试验证明，在这 种应力状态作用下，固体材料一般表现为弹性性质。 2形状改变：材料的塑性变形主要是由物体产生形状改变时产 生的。 2、应力分解：任一点的应力状态 ，根据以上特点，可以分解成 两部分： 其中： 49 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 定义为球形应力张量，简称 球张量，引起体积改变。 定义为偏斜应力张量，或应 力偏量，引起形状改变。 3、应力状态的几何解释： 应力二次曲面： 考察一点应力状态的任意斜截面上的正应力表示式： 50 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 而 （2-14） 在直角坐标系中，由于 前式两边同乘以 r2 ，便有： （2-46） 令便有：（2-47） 展开得： 此式给出一空间二次曲面的方程，“+、-”号的选取以使曲面为实 面为原则。 （2-48） 讨论：1式（2-47）的几何解释： 即在Oxyz系中取一矢径 r ，其长度与该方向的正应力 存在关系 51 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 2应力二次曲面（2-48）的应用：给定一点的应力状态后，可用 几何方法求出所要求截面上的应力矢量、正应力和切应力。 步骤如下： a、作出应力二次曲面。 b、垂直与所给的截面S， 做矢量 r 交二次曲面 于Q点。 c、由式 ，算出 的值。在 上取一线段 ，使 K为常数。 Q d、过Q点做切面 QT（切面Q点的法线是N） e、过P0点做切平面 QT 的垂线与 QT 交于B 。 f、过A点作 P0Q 的垂线 AE 与 P0B 相交于E 。 则矢量 P0E 便代表 S 平面上的应力矢量， 切应力用矢量AE 来代表。 52 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 3论证截面 S 上的应力矢量 与 Q 点的法线方向 相一致。 事实上，我们只要令： （2-49） 便有： （2-50） Q T 显然 53 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS （2-51） 而我们可写Q 点的法向 其中 又 的方向可写成 则结论得证。 4由解析几何知，二次曲线的形状不随坐标系的不同而改变， 并且总可以经过坐标变换，把二次曲线 (2-48)化成标准型： (2-52) 5设有坐标变换 或 则（2-47）式成为： 特别地，当正交阵C为主应力变换阵（特征向量矩阵），有 （2-53） 则有 展开为： (2-54) 比较（2-52）式： 1 =A ，2 = B， 3 =C 6根据（2-54）式，可容易地做出应力二次曲面，此时坐标系的 三个坐标轴与应力主轴重合。 讨论应力二次曲面的形状： a、1 2 3 0 取正号，为一张力椭球。 长轴1 ，短轴3 b、 01 2 3 取负号，为一压力椭球。 长轴 3 ，短轴1 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 54 c、 1 2 0 3 取正号 单叶双曲面 取负号 双叶双曲面 d、 1 0 2 3 取正号 双叶双曲面 取负号 单叶双曲面 在渐近面上， （由正应力的连续性，若存在N 0 和N应力偏量： 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 应力偏量的三个不变量： 58 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 主应力状态下的应力偏量 *由 利用 即 故 2-6最大切应力： 1、问题的提出：强度计算的需要。不仅要知道一点的应力状态中 的最大主应力，同时也要了解最大切应力及其作用的截面位置。 2、最大切应力的确定： 问题 ：设已知一点的 主应力状态。以应力主轴建立坐标系 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 求 及其所在截面方位。 X Y Z N YN ZN XN 59 求任意截面 上的应力: (重复以前的讨论 ） 斜截面上应力矢量的分量： 斜截面上的正应力 斜截面上的切应力 满足： 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 或： 60 由 展开整理： 考察 也可有 求最大切应力及所在截面的方位： 由于 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 代入 61 为求 的极值，取 考察 可有： 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 当 时，有 62 讨论： 1若 l=m=0，有 n=1，为 的主平面， 显然有，2若 m=n=0，有 l=1，为 的主平面， 3若 n=l=0，有 m=1，为 的主平面， 4当 l=0，m0 时，由第二式： 即有 平分 2-3轴，即 yoz平面， 5当 l0，m=0 时，由第一式： 即有 平分 1-3轴，即 yoz平面， 6当 l0，m0，n=0 时， 可求出极值平面： 平分 1-2轴，xoy平面 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 63 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 123456 l=000 m=000 n=000 平分YOZ平分XOZ平分XOY 结论：在123时，存在三个主切应力： 其中 最大切应力发生在与1,3 所在截面成45的截面上。 64 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 2-7.圆柱坐标系中的平衡方程 1问题的提出：在前面的讨论中，都是不加说明地约定在直角坐 标系中。但对与工程实际的一些问题，如曲梁、圆环等，则采用 圆柱坐标系（平面问题采用极坐标）或球坐标系更为方便。 r r z 2圆柱坐标系中平衡方程： 建立圆柱坐标系，空间中一点M（r,z) 取单元体：