“去括号法则”的问题分析与研究.doc

“去括号法则”的问题分析与研究 “去括号法则”的问题分析与研究云南省瑞丽市第一民族中学 赵源【摘要】：“去括号法则”是各种版本初中数学教材上的教学内容，学生学习时会经常出现错用法则的现象。实验表明：完全可以用乘法分配律取代去括号法则.这是由于：“去括号法则”，增加了记忆负担和出错的机会，容易出错；去括号的法则增加了解题长度，降低了学习效率；用乘法分配律去括号的学习是同化而非顺应，易于理解与掌握；用乘法分配律去括号是回归本质，返璞归真，且既可减少学习时间，又能提高运算的正确率。【关键词】：去括号法则 问题分析 研究一、“去括号法则”教学中存在的问题我国各种版本的初中数学教材1-6上都有 “去括号法则” 一节的教学内容。而学生在学习“去括号法则”时经常会出现不能正确使用法则解题的错误，虽然通过教师多次纠正但仍不能彻底矫正。“能不能用其它去括号的方法来代替这一法则呢？”我在几届的授课中萌发了这一思考。二十多年的教学中，在授课内容为“去括号法则”时。（教材：义务教育课程标准实验教材）。讲完法则后出了一组练习题。有三个学生在做练习：“去括号 -8（3a-2ab+4）”。他们分别出现了以下解题过程：生1：-8(3a-2ab+4)=-3a+2ab-4；生2 ：-8(3a-2ab+4) =-83a+2ab-4 ；生3 ：-8(3a-2ab+4)= -（24a-16ab+32）=-24a+16ab-32.显然生1和生2的解都是错误的，而生3才正确。课后问生1和生2， “你们为什要这样解？”，“你们解法的依据是什么？”他俩都说“我们是用去括号法则来解。根据去括号法则，括号前面是负号，应将括号和它前面的符号去掉，括号里面的各项改变符号即可”。生3说“去括号法则是在括号前只有负号时才能用，这里出现了-8，要用法则必须先变为括号前只有负号才行”。看来他们都是记住了法则的，但理解的深度不同。生1和生2只是表面上记住了法则而机械地套用，生3是真正理解了法则且正确地运用了法则解题，结果也正确，但解题长度增加了。而这触发了我的如下思考：由于去括号法则的理论依据是乘法分配律，能否不讲去括号法则，而只用乘法分配律直接去括号呢？如果这一想法成立，则既可以避免学生的上述错误，又可缩短解题长度,节约了学生的学习时间和减少了教材的篇幅。因此，它既对学生的学习有利而且对中学数学教材的建设也很有价值。于是我在我所教的两个班进行了这一问题的教学实验探究。二、“去括号法则”教学中探究的过程与方法1、实验研究对象七年级314、315两个实验班各60人，共120名学生。2 、研究过程与方法我们采用的是对比实验研究和调查研究。整个研究分为两个阶段进行。第一阶段为对比实验研究；第二阶段为调查研究。在对比实验研究阶段，我在两个班分别采用 “用去括号法则” 去括号和“用乘法分配律” 去括号的教学实验。在314班则完全按课本上的内容和要求教学，并讲明去括号法则的依据是乘法分配律。在315班则不讲去括号法则，直接用乘法分配律去括号。对于形如“-（x-2y）”的情况，去括号时把括号前的符号看成“-1”再用分配律。在结束新课后我们编制了14道只涉及去括号内容的题对这两个班进行测试。目的是通过测试比较两种方法对学生解题正确率和解题速度两个方面所产生的影响。在调查研究阶段，我选择了各班学习较好的前5名的同学进行测试。由于学生在学习去括号法则时已明确了法则的理论依据就是乘法分配律，因此学生对两种方法都了解。我们这次测试的目的是调查了解学生在学了“去括号法则”一段时间后到底愿意选用那种方法进行去括号。测试时间选在学生学完“去括号法则”结束后，测试对象为该校七年级314、315两个班共120名学生。这次我编制了10道涉及综合运用去括号内容的习题。三、“去括号法则”教学中研究结果的统计分析 1 、对比试验测试的统计分析对“去括号法则”掌握的程度，我们根据学生作对题的个数分为成四类：（1）作对试题1到3个题的学生为掌握较差（差）；（2）作对4 到7 个题的学生为基本掌握（中）；（3）作对8 到11 个题的学生为较好掌握（良）；（4）作对 12到14 个题的学生为熟练掌握（优）。四类学生所占人数的百分比统计对比如下：第一次测试不同类学生所用方法对比表（百分比）作对题的个数1-3（差） 4-7（中）8-11（良） 12-14（优）去括号法则（314）121233 43乘法分配律（315）9 934 48用去括号法则所用时间为9到14分钟；用乘法分配律解题所用时间为7到10分钟。 由统计结果得，则315明显优于314班。在解题的时间上，315班最快的要比314班快2分钟，而最慢的则更显出优势，315班比314班少用4分钟。与此可以看出，用乘法分配律去括号比用去括号法则去括号正确率高而且解题速度快。2、调研测试情况的统计分析在第二次调查测试中，对“去括号法则”主要了解学生选用去括号方法的情况。对于解题时是否选择用“去括号法则”还是用“分配律”，以如下方式区分:解答过程为两步，如：a（mn）= （aman）= am an，视为应用“去括号法则”去括号；而解答过程只有一步，如：a（mn）=（a）m（a）（n ），视为应用“分配律”去括号。测试后，我们找到这两种解题过程的学生问其解题思路,他们的回答与我们的设想基本一致。这次有10人参加调研测试，其中8人选择了乘法分配律 ，有2人选择了去括号法则。其扇形统计图如下：统计图表明，即使学生学习了“去括号法则”，但到一定的时间后，都不愿意用去括号法则去括号（只有20采用去括号法则），而绝大多数学生都不由自主地选择用乘法分配律去括号（占80）。测试后我们与学生座谈时问，“为什么你们都要选用乘法分配律而不用去括号法则去括号？”学生们说：“用去括号法则去括号要两步才能算出，而用乘法分配律则一步就能得出结果，解题简单方便，适用快捷，特别是在综合运用时候用这种方法节省了很多时间，当然我们愿意用快的！”、“去括号实际上就是乘法分配律的应用，而分配律我们在小学就学过，在脑子里的印象很深，时间一长就只想到利用分配律”、 “用乘法分配律只需要运用有理数乘法运算的符号法则就可以了，而用去括号法则还要记住一套符号法则，久了容易混淆，因此我们不愿意用”。由以上统计和学生调查可以看出，乘法分配律去括号明显优于去括号法则去括号。其主要原因主要有以下几个方面：（1）“去括号法则”，增加了记忆负担和出错的机会，容易出错，因此错误率高。而且去括号法则是在有理数运算符号法则的基础上又增加了一套新的符号规则，容易给学生记忆上造成困难和负担。对于学生来说，学习有理数运算的符号法则就已经是一个难点，再增加一套符号法则，容易给学生记忆上造成混乱，学习上造成困难，因此解题时容易出错；（2）“去括号法则”增加了学习时间和解题长度，降低了学习效率。因为，去括号法则表述的是括号前系数的绝对值为1时的特殊情况，而对于系数不为1时的还要利用分配律转化才能利用，因此，用去括号法则去括号，增加了解题长度。同时，这一内容的学习至少要两个课时才能完成，所以又延长了学生的学习时间，相应地降低了学习效率；（3）用乘法分配律去括号的学习是同化而非顺应，易于理解与掌握。因为，学生在小学已学习并熟练掌握了分配律，此前又具有有理数的乘法法则的知识，学习用分配律去括号时直接与学生已有数学认知结构中的分配律和有理数的乘法法则发生联系，通过新旧知识之间的相互作用就能直接纳入到原有的数学认知结构之中去，因此，学生学习时会感到自然，容易接受和理解；（4）用乘法分配律去括号是回归本质，返璞归真，而且既可减少学习时间，又能提高运算的正确率。去括号法则本质上是乘法分配律的应用，因而直接用乘法分配律去括号是回归到本质。用乘法分配律去括号时没有中间转化的环节，可直达结果，从而减少了出现错误的机会，提高运算的正确率。因此，用乘法分配律去括号，减少了解题长度，节省了学习时间，相应地提高了学习效率。四、“去括号法则”的教学建议本节内容是在学习合并同类项的基础之上的一节内容，它既是对合并同类项的巩固，也是合并同类项的灵活运用，是整式的加减的基础，具有十分重要的作用。此节课的教学旨在通过对去括号的法则的探索，培养学生的感知、探索、发现、概括、应用、合作等综合能力，分层次照顾每个学生。 教学中创设了摆正方形的具体情境，引导学生产生解决问题的认知矛盾，从而激发学生的探索兴趣；在教学中为了突出重点，解决难点，采取了循序渐进的探索方式，从具体的数有关的去括号到有关式子的去括号再到括号前带数的去括号逐步深入，最终寻求去括号的法则；在巩固练习中，安排了学生比赛做题的活动，促使学生积极参加探索，并将练习题分了两个层次，以顾及学生学习的不同需求。其具体建议如下：1、寻找错因，解决方法对于典型错误(1)的学生，他们能记住法则，括号外的因数是负数，括号内的每项符号都要改变，但他们没理解透，每项还要与系数相乘。对于典型错误(2)的学生，他们所犯的错误与（1）也是一样。对于典型错误(3)的学生，他们对法则理解较前两种学生透彻，但由于项数较多，故最后一项又忘了改变符号针对学生经常所犯的这几种错误，我在去括号时让学生分了两步来做，如-3（2a+b-4）=-（6a+3b-12）=-6a-3b+12.先把括号外的系数与括号内的每一项相乘，这样就避免了学生漏乘的情况，然后再根据去括号的法则去括号，这样就可以减小符号出错的情况。对于基础较差的学生这种方法还是比较有效的2、因材施教，提高效率但这种方法也存在一个缺点，就是计算时步骤较多，解题所用时间较长。对于好的学生来说有点浪费时间，那如何能使基础较好的学生在去括号时能缩短时间呢？本人从去括号的法则依据，乘法分配律着手思考：能否只用乘法分配律直接去括号？带着这种疑问我尝试了用乘法分配律直接去括号。学生在小学已学习并熟练掌握了分配律，此前又具有有理数的乘法法则的知识，学习用分配律去括号时直接与学生已有数学认知结构中的分配律和有理数的乘法法则发生联系，通过新旧知识之间的相互作用就能直接纳入到原有的数学认知结构之中去，因此，学生学习时会感到自然，容易接受和理解。如-3（2a+b-4），学生就能直接运用乘法的分配律进行计算-3（2a+b-4）=-6a-3b+12。在计算过程中学生避免了漏乘和符号错误，用乘法分配律去括号时没有中间转化的环节，可直达结果，从而缩短了解题长度，减少了计算时间，这种方法对于基础较好的学生特别适用。但对于基础较差的学生，有理数的乘法还没过关的话，那直接用乘法分配律去括号就容易出错了，特别是异号相乘与两个因数都是负数的情况。如-3（2a+b-4）=-6a-3b-12。所以针对这种情况，我对基础好与基础差的学生进行了分层教学，也让学生选择了适合自己并且不容易出错的方法来去括号。为了巩固这一知识点，我们在课堂练习中还可以通过纠正错题来加深学生对于易错题的印象，从而避免了学生以后自己犯这样的错误五、结论综合上述几方面，我认为，教材专门一节讲述“去括号法则”的意义不大，相反还浪费了学生的学习时间和精力（至少多出了两个课时的学习时间），人为地造成了学生的学习负担，而且也增加了教材的成本。实验表明：完全可以用乘法分配律取代去括号法则去括号！所以我们建议，初中数学教学时可以不讲去括号法则，直接用乘法分配律去括号。这样既可以避免学生去括号时少犯错误，减轻学习负担，提高学习效率，又可也节省学生的学习时间。参考文献：1 数理化自学丛书 代数第一册M，人民出版社，2 人民教育出版社中学数学室编：初级中学课本 代数第一册M，人民教育出版社，1999年10月第二版.3 人民教育出版社中学数