哈尔滨工业大学秋数值分析试题及答案.pdf

1 用 Newton 迭代法解方程 32 340f xxx 的根 2x ，讨论迭代法的收 敛阶，设计修正的方法提高迭代法的收敛阶；并对初值 0 1.5x 迭代二步，结 果保留 3 位小数。 解：解： 设 32 ( )34f xxx 2 ( )36fxxx ( )66fxx (2)0,(2)0,(2)0fff 所以2是( )0f x 的二重根，故 Newton 迭代在2附近是线性收敛； 构造修正的 Newton 迭代： 32 1 2 2 ()2(34) ()36 nnn nnn n f xxx xxx fxxx 2 24 3 nn n xx x 2 00 1 0 24 37/18 3 xx x x 2 11 2 1 24 3997/19982.001 3 xx x x 2给定线性方程组 Axb ，其中 242 492 227 A ， 8 20 1 b （1）利用 Doolittle（杜利特尔）三角分解求解此线性方程组； （2） 使用乘幂法计算矩阵 A 的特征值和对应的特征向量。 （初值取 (0)T (1,0,0)v 。 只需计算前三次迭代，给出计算过程和结果，计算结果保留四位小数。 ） 解：解：（1） 由 Doolittle 三角分解AL U， 其中L为单位下三角阵，U为上三角阵， 得 111213111213 212223212223 313233313233 100 100 100 aaauuu aaaluu aaallu 即 242100242 492210012 227121001 原方程变为 Lyb Uxy ，解得8,4,1,1,2,1 TT yx。 （2） 0 00 0 (1,0,0) ,1,0,0 max() T T v vu v 1 10 2,4, 2 T vAu， 1 1 1 0.5,1, 0.5 max( ) Tv u v 4 21 6,12, 6.5 T vAu， 2 2 2 0.5,1, 0.5417 max() Tv u v 12 32 6.0834,12.0834, 6.7919 T vAu， 3 3 3 0.5035,1, 0.5621 max( ) Tv u v ， 12.0834 3已知 ( )s x 是0,2上的已知自然边界条件的三次样条函数，试确定 3 23 1 2 ( ) 2(1)(1)(1) xx s x b xc xd x 01 12 x x 中的参数b，c和d。 解：解：记 3 1 23 2 ( )1 2 ( )2(1)(1)(1) s xxx s xb xc xd x ， 由三次样条和自然边界条件的定义，有 121212 (1 0)(1 0), (1 0) (1 0), (1 0) (1 0)ssssss 12 (0)0, (2)0ss 解得，1,3,1bcd。 4确定两点求积公式 2 01 -2 22 ( )()() 33 f x dxA fA f 系数 01 ,A A ,使求积公式有 尽可能高的代数精度。 是否是 Gauss 型的？并用此公式计算积分 2 0 sin xdx ,(结果 保留四位小数) 解：解： 令( )1,f xx求积公式准确成立，有： 01 01 4 22 ()()0 33 AA AA 得： 01 2AA 求积公式： 2 2 22 ( )2 ()2 () 33 f x dxff 令 23 ( ),f xxx 求积公式准确成立的， 4 ( )f xx求积公式不是准确成立的， 求积公式代数精度为 3，是 Gauss 型的； 作变换(2), 2,2 8 xtt 22 2 022 sinsin(2)sin(2)222 8888 22 2sin(2)2sin(2) 88833 0.9985 xdxtdttdt 5已知函数 ( )f x 满足数表： i x -1 0 2 i f x 1 0 16 1）试求 ( )f x 在 -1, 2 上的 Hermite 插值多项式 ( )H x ,使之满足下列条件： ( )( ),0,1,2 ii H xf xi ， 1 ( )0H x 2）设 ( 4)( ) 0,2fxC ，证明余项 ( 4) 2 ( ) ( )( )( )(1)(2) 4! f R xf xH xxxx ， (-1,2) 解：解：(1)设 23 0123 ( )H xaa xa xa x,由 0123 0 0123 1 ( 1)1 (0)0 (2)24816 (0)0 Haaaa Ha Haaaa Ha 得 23 ( )23H xxx （2）设余项 2 ( )( )( )( )(1)(2)R xf xH xk x xxx，( )k x为待求函数。 构造 2( 2( )( )( )( )(1)tf tH tktx tt ，则 ( 1)0, (0)0, (2)0, (0)0, ( )0x 故( ) t有 5 个零点， (4)( ) t 至少有一个零点： (4)(4)( ) 4! ( )(0)kfx 所以 (4) ) 4! ( ( )k x f ，余项表达式为 (4) 2 ( ) ( )( )( )(1)(2) 4! f R xf xH xxxx 6利用逆 Broyden 迭代法，解方程组 22 12 22 12 40 10 xx xx ，取初值 0 1.6,1.2x 迭代 二步，结果保留 3 位小数。 逆 Broyden 秩 1 方法： 1 1 () ( ) () ( ) iii i i T ii i iii i Ti iy xxH F x rH HHrH y rH 解：解：记 22 12 22 12 4 ( ) 1 xx F x xx ，则 12 12 22 ( ) 22 xx F x xx 0 1.6,1.2x ， 01 0 0.156250.15625 0.2083330.208333 HF x 0 0 1 2 1 1 2 1 1.58125,1.225 0.000976562, 0.120273 0.01875,0.025 0.1543450.154345 0.2064280.210238 1.58114,1.22474 0.000977866,0.000291477 0.000108524, 0.000259077 0.1501450.150 x y r H x y r H 145 0.2022280.214438 7求数据 1,2 , 0,1 , 1,2 , 2,4 的最小二乘拟合多项式 2 01 xaa x 解：解：法方程为 0 1 469 61820 a a 得 0 1 7/6 13/18 a a 。 8应用差分方法： 112 3 4 nn h yyKK 1 21 (,) 2 (+,) 33 nn nn Kf xy h Kf xyhK 解初值问题 0 - (0) yy yy 时，讨论步长应取何值方能保证方法的绝对稳定性？ 解：解：应用差分格式为： 1 2 2 1 ( 1 2/3 ) (1/ 2) n n n n Ky Kh y yhhy ， h需要满足 2 |/2| 11 hh 所以02.h 9给定线性多步法： 111 412 333 nnnn yyyhy （1）求出该格式的局部截断误差首项和首项系数； （2）分析该格式的收敛性； （3）讨论该格式的绝对稳定性，指出绝对稳定区间。 （在局部截断误差中 1 01 1 1 ()() ,2,3, ! pp rr rii ii Ci aribr r ） （参考定理： 设 1 x 和 2 x 是实系数二次方程 2 0xbxc 的根， 则 12 1,1xx 的 充要条件是 1,1bc c 。） 解：解： 011 412 ,0, 333 aab （1） 把局部截断误差 n T在 n x处 Taylor 展开： ( ) 01 ()()() rr nnnrn Tc y xchy xc h yx 012 0ccc 3 2 0 9 c 33 (3)(3) 1 22 ()(),(,) 99 nnnnnn hh Tyxyx x （2） 01 0cc，方法是相容的； 第一特征多项式： 2 41 ( ) 33 rrr，两根为： 01 1 1, 3 rr 方法满足根条件；由收敛的充分必要条件知方法是收敛的。 (3)稳定多项式： 2 241 ( ; )(1) 333 r hh rr ， 由绝对稳定性要求知0,h 故 2 10 3 h 由参考定理知：( ; )0r h的两根 0,1( ) 1rh 41 33 1 22 11 33 1 3 1 2 1 3 hh h 0h 即方法是无条件绝对稳定的。 1 对于位数有限的实数 0a ，给出一个不用除法运算求倒数 1 a 的二阶收敛的 迭代公式；分析迭代初值 0 x 可以选取的范围；若 0.324a ，试求 1 a（迭代 4 次，计算结果保留四位小数） 。 解：解： （1）考虑方程 1 ( )0f xa x ， 1 a 为此方程的根, 2 1 ( )fx x ， 利用 Newton 法建立迭代公式 1 () (2) () k kkkk k f x xxxax fx 迭代函数( )(2)xxax。 由 2 1 11(2)(1) kkkk axaxaxax 有 2 0 1(1) k k axax 所以 2 0 1 (1 (1) ) k k xax a 当 0 2 0x a 时， 0 |1| 1ax，因此 2 0 lim(1)0 k k ax ，即 1 lim k k x a 又因为 11 ( )0,( )0, aa 所以格式是二阶收敛的。 （2）当 0.324a ， 0 02/6.17284xa，可取 0 5x 100 211 322 433 (2)1.9 (2)2.6304 (2)3.0190 (2)3.0845 xxax xxax xxax xxax 3 利用反差商方法， 求有理插值函数R x （ ） 通过 3467 (0, 2),(1,),(2,),(4,),(5,) 251726 。 解：解：构造反差商表如下 x 0 v 1 v _2v 3 v 4 v 0 2 1 3/2 -2 2 4/5 -5/3 3 4 6/17 -17/7 -7 -1/5 5 7/26 -26/9 -9/2 -2/5 -5 所以 2 2 ( )2 1 1 2 2 3 14 55 xx R x x x x x 4. 确定数值积分公式 1 012 1 ( )d( ()( )()f xxA f xf xf x 中的求积系数 A 和求积 结点 012 ,x x x ， 使得该公式具有最高代数精度。 利用该公式计算积分 4 2 4 1 d 1 x x 的 近似值。 （计算结果精确到四位小数） 。 解：解： （1）由代数精度的定义，分别令 23 ( )1, ,.f xxxx使积分公式精确成立，有 012 222 012 01 3 2 33 32 ()0 ()2/3 ()0 A A xxx A xxx A xxx 解得， 012 211 ,0, 322 Axxx 。令 4 ( )f xx，积分公式不成立，故代数 精度为 3。 （2） 4 2 4 1 2 1 012 1 d 1 1 4d 1 16 4( ()( )() 88 3.2593 27 x x x x A f xf xf x 5利用共轭梯度法求解线性方程组 Axb ，其中 211 120 101 A ， 0 1 0 b 初值取 (0)T (1,0,0)x ，给出计算中间过程和结果。 已知的计算过程为： 给定 (0) x ，计算 (0)(0)(0) 0 ,Arbxpr 对 0,1,k 计算 ( )( ) (1)( )(1)( ) (1)(1) (1) 1 ( )( ) (,) , (,) (,) , (,) kk kkkk kkkkk kk kk k kkkk kk rr xxprrAp pAp rr prp rr 解：解：计算过程如下 000 1 10 11 2 3 2 1 2 3 2 2,2,1, 2,2,1,9 / 29 11/ 29,18/ 29,9 / 29 5/ 29,4 / 29,2 / 29,5/841 135/841,126/841,63/841,145/81 2 / 3,8/ 9,4 / 9 0, 1/ 9,2 / 9,841/ 729 5/ 27,5/81,25/81,9 / 5 1,1,1 rp x r p x r p x r 0,0,0 6设 ( )f x 充分光滑，给出的带有余项的中矩形求积公式 3 ( ) ( )d() ()() , , 224 b a abf f xxba fbaa b 将 , a b 区间n等分，试导出复化中矩形求积公式；分析复化中矩形求积公式的 误差。 解：解：记分点,0,1, k ba xkh hkn n 。则在每个单元上用中矩形求积公式： 1 11 1 00 ( )d( )d()( ) 2 k k nn bx ax kk kk n xx f xxf xxhfRf 复化中矩形求积公式 1 1 0 () 2 n k kk xx hf 余项为 1 3 0 3 1 0 () ( )() 2424 nn k k nk k fh Rfhf 存在( , )a b，使得 1 0 1 “( )() n k k ff n ，所以 2 () ( )“( ) 24 n ba Rfh f 7考虑下面的 Hermite 插值问题： 已知函数 ( )f x 在 01 ,x x （ 01 xx ） 的函数值 01 (), ( )f xf x 和在 0 x 的导数值 0 ()fx 。 （1）构造二次多项式 2( ) Hx 满足条件： 200211200 ()(),( )( ),()()Hxf xHxf xHxfx （2）若 ( )f x 充分光滑，试分析误差 2 ( )( )f xHx 。 解：解：(1)设 2001001 ( )(),()()(),Hxf xf x xxxA xxxx 由 200 ()()Hxfx,得 010 10 ,()f x xfx A xx （2）设余项 2 201 ( )( )( )( )() ()R xf xHxk x xxxx，( )k x为待求函数。 构造 2 210 ( )( )( )( )() ()tf tH tkxx txt，则 010 ()0, ( )0, ()0, ( )0xxx