机械振动习题课及考前复习.pdf

习题课及考前复习（24题） 一、考试知识点 二、考题分布情况 三、作业题 四、课堂练习题 五、经典例题 一、考试知识点 二、考题分布情况 三、作业题 四、课堂练习题 五、经典例题 一、考试知识点 第一章第一章 1、单自由度系统振动方程。 2、无阻尼单自由度系统的自由振动。 3、等效单自由度系统。 4、有阻尼单自由度系统的自由振动。 5、简谐力激励下的受迫振动。 6、基础简谐激励下的受迫振动。 第二章 1、多自由度系统的振动方程。 2、建立系统微分方程的方法。 3、无阻尼系统的自由振动。 4、无阻尼系统的受迫振动。 二、考题分布情况 1、主要围绕作业题、课堂练习题、经典例 题题型展开。 2、复习时把握每章知识要点，理解基础题 型解题方法。 3、考卷共6道大题。 1、主要围绕作业题、课堂练习题、经典例 题题型展开。 2、复习时把握每章知识要点，理解基础题 型解题方法。 3、考卷共6道大题。 习题课及考前复习（24题） 一、考试知识点 二、考题分布情况 三、 一、考试知识点 二、考题分布情况 三、作业题作业题 四、课堂练习题 五、经典例题 四、课堂练习题 五、经典例题 1-11-1一物体在水平台面上，当台面沿竖直方向作频率 为5Hz的简谐振动时，要使物体不跳离台面，试问对台 面的振幅有何限制？ 一物体在水平台面上，当台面沿竖直方向作频率 为5Hz的简谐振动时，要使物体不跳离台面，试问对台 面的振幅有何限制？ ( )sin n u tAt= 2 ( )sin nn u tAt=? 2 nn f= 2 n g A 2 max ( ) n u tA=? 2222 9.8 44*3.14 *5 0.00990.01m n g f = max ( )u tg? 解解 ： 三、作业题讲解作业题讲解 1 k 3 k 2 k m 123 111 eq kkkk =+ + 5 123 123 () 1.7143*10/ eq kk k kN m kkk + = + / 261.8615 eq n k m rad s= 1 2 41.6765 eq n k f m Hz = 解解 ： 1-3 写出图所示系统的等效刚度表达式。写出图所示系统的等效刚度表达式。2.5kg， k1=k2=2105N/m，k3=3105N/m时，求系统的固有频 率 时，求系统的固有频 率 。 3 48 Fl EI = 1-41-4 l k m 22 l 解解 ： 3 48 r FEI k l = 3 48 er EI kkkk l =+=+ 3 48 70/ e EI k k l rad s mm + = 6 1.96*10/ e kN m= ( (解法解法1)1) 弹簧并联 kr 图中简支梁长图中简支梁长l=4m，抗弯刚度，抗弯刚度EI=1.96106Nm2，且，且k=4.9105N/m， m=400kg。分别求图示两种系统的固有频率。分别求图示两种系统的固有频率。 。 l k m 22 l 3 48 Fl EI = Fmgk= 3 () 48 mgkl EI = 3 48 mg EI k l = + 3 48 e EI kk l =+ ( (解法解法2)2) 22 ll k m 1 11 r e r r kk k kk kk = + + 30.3109/ r er kk kkk rad s mm + = 5 3.675*10/ e kN m= 1-6 1-6 如图示，重物挂在弹簧上，静变形为。现 将其重新挂在未变形弹簧的下端，并给予向上的 初速度，求重物的位移响应和从开始运动到首 次通过平衡位置的时间。 如图示，重物挂在弹簧上，静变形为。现 将其重新挂在未变形弹簧的下端，并给予向上的 初速度，求重物的位移响应和从开始运动到首 次通过平衡位置的时间。 0 0 ( )cossin nn n v v tvtt =+ ? 解解 ： 0s v= 00 vu= ? s 0 u ? k m v s o u ? m n s g = 0 ( )cossin snn n u v ttt = + ? ( )sin() n v tat=+ 0s v= 00 vu= ? n s g = 0 0 arctan nv v = ? sin()0 nt += nt p+= ,(, 1,0,1,. ) n p tpii = n t = 0 (arctan) s s g t gu = ? ( )0v t = 1-7证明对于临界阻尼或过阻尼，系统从任意初始条件开 始运动至多越过平衡位置一次。 22 (1)(1) 12 ( ) nn tt u ta ea e + =+ 22 (1)(1) 12 0 nn tt a ea e + += ( )0u t = 1 2 2 ln() 21 n a a t = 0t = 12 aa= 12 ( )() nt u taa t e =+ 12 0aa t+= ( )0u t = 1 2 a t a = 临界阻尼临界阻尼 33 10kg =0.01m20 6.4 10 m .6 P45.1- 10 m 8: 20 m c = s 一单自由度阻尼系统，时， 弹簧静伸长。自由振动个循环后， 振 幅从降至1。 求阻尼系数 及个循环内阻尼力所消耗的能量。 22 0 1 20() 2 n k AA=周阻尼器消耗的能量 1 1 1 ln 2 m A NA + = 2 n c m = 2 s g cm = 0.011= 6.9070c= 22 0 1 () 2 n s mg AA = 3 232 10 9.8 (6.4 10 )(1.6 10 ) )0.19 2 0.01 J = 。 ( )mukuf t+=? ( )52.5sin(1030 )f tt= ? 0 10,52.5f= 7000/,17.5kN m mkg= 20/ n k rad s m = n 可见： * 0 12 22 ( )( )( )cossinsin() () nn n f u tu tutatatt m =+=+ 0 10 22 sin () n f au m = 0 20 22 cos1 () n n f au m = ? 0 ( )sin()f tft=+ 利用零初始条件 解: 1-9 已知单自由度无阻尼系统的质量和刚度分别为已知单自由度无阻尼系统的质量和刚度分别为m=17.5kg，k=7000N/m， 求该系统在零初始条件下被简谐力 ， 求该系统在零初始条件下被简谐力f(t)=52.5sin(10t-30)N激发的响应。激发的响应。 1 0.005a = 2 0.0043a = ( )0.005cos200.0043sin 200.01sin(1030 )u tttt=+ ? 1 1- -1111 2 12 d = 2 1 dn = d n = 2 2 1 = c c c = 2 cn cm= 2 22 1 2 d d = 22 2 nd = 22 2 d cm= 2 2 21 d = 一质量为m的单自由度系统，经试验测出其阻尼自由振动频率为，在简谐 激振力作用下位移共振的激振频率为。求系统的固有频率、阻尼系数和 振幅对数衰减率。 d 1 1- -1313 2 1 0.1 1 f T = n = n k m = 2 60 n = 22 2 () / 60 n km = 11= 1.9739e+005k = /44.9348e+004kkk= 一电机质量为22kg，转速3000r/min，通过4个同样的弹簧对称地支称 地支承在基础上。欲使传到基础上的力为偏心质量惯性力的10%，求 每个弹簧的刚度系数。 k e k 1 2 0 J G 2-1 1 muk u= ? u 1 2 02 0 ()0 muk u meJk += += ? ? 2 02 ()meJk+= ? 1 2 02 00 0 00 umku meJk += + ? ? 如图用于风洞试验的翼型剖面由拉伸弹簧和扭转弹簧支承着，剖 面重心G到支承点的距离为，剖面绕重心的转动惯量为。试建立系 统运动微分方程。 1 k 2 k e 0 J mm kkk uu 12 32 2 2-3 1112 2221 3 () 223 () mukuk uu mukuk uu = = ? ? 11 22 043 0 0235 uumkk mukku += ? ? 2 0=KM 0 02 m m = M 43 35 kk kk = K 2 2 43 0 352 kmk kkm = 2 ()0=KM 1 k m = 1 1 1 = 1 11 2 k m = 2 ()0=KM 2 1 1 2 = 求图示系统的固有频率和固有振型。求图示系统的固有频率和固有振型。 kk u u J J 2 2 1 2-5 2221 112 2() () Jukuk uu Juk uu = = ? ? 11 22 03 0 022 uuJkk Jukku += ? ? 0 02 J J = M 2 kk kk = K 1 22 2 k J = 2 ()0=KM 2 22 2 k J + = 2 ()0=KM 1 1 2 2 = 2 1 2 2 = 2 2 0 22 kJk kkJ = 求图示扭转振动系统的固有频率和固有振型。求图示扭转振动系统的固有频率和固有振型。 ll m m k k 1 2 1 2 2-8 解法一（不考虑重力）解法一（不考虑重力） 2 22 (2 )ml= ? 1 112122 222 122 4(4)40 4440 mkkk mkk += += ? ? 1 2 40 04 m m = M 122 22 44 44 kkk kk + = K 12 12 4 ,5 2 ,5 mm mm kk kk = = 160 020 m m = M 2220 2020 kk kk = K 2 11 (2 )ml= ? 212 (22 ) 2klll 1 1 kl l 221 (22 ) 2klll 1 2 图示刚杆质量不计， 求系统的固有频率和固有振型。 33 1112 4,4,2 10/,5 10/mkg mkg kNm kNm= 2 0=KM 2 2 221620 0 202020 kmk kkm = 4222 8190mkmk+= 1 0.23217.3384 k m = 2 k 1.523548.1773 m = 1 1 1.0569 = 2 1 0.7568 = 解法二（考虑重力）解法二（考虑重力） ll m m k k 1 2 1 2 11 , s 22 , s 2 22 (2 )ml= ? 2 11 (2 )ml= ? 12212 (222 ) 22 ss klllll+ 111 () s kl l+ 21221 (222 ) 22 ss klllll+ 1 2m gl+ 2 2m gl+ 11 1212 2(22 ) 2 sss m glkl lklll= + 2221 2(22 ) 2 ss m glklll= 由静平衡得到：由静平衡得到： 2 22 (2 )ml= ? 2 11 (2 )ml= ? 212 (22 ) 2klll 1 1 kl l 221 (22 ) 2klll 习题课及考前复习（24题） 一、考试知识点 二、考题分布情况 三、作业题 一、考试知识点 二、考题分布情况 三、作业题 四、课堂练习题四、课堂练习题 五、经典例题五、经典例题 例例 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为。设将物体向下拉，使 弹簧有静伸长 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为。设将物体向下拉，使 弹簧有静伸长3 ，然后无初速度地释放，求此后的运动方 程。 ，然后无初速度地释放，求此后的运动方 程。 解：解： 2 / n g= 2 0 n xx+=? 运动微分方程运动微分方程 ( )( )02 ,00xx= ?初始条件初始条件： () 2 2 00 2 n Axx=+=? 0 0 arctan 2 n x x = ? 2 sin 2 g xt =+ 响应：响应： 0 x ( )()sin n x tAt=+ 0 x 0 x 例例1 课堂练习题课堂练习题 例例 弹簧不受力时长度为弹簧不受力时长度为65cm，下端挂上，下端挂上1kg物体后弹簧长物体后弹簧长 85cm。设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试 求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。 。设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试 求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。 0 x 解：解： 2 /9.8 0.249 n g= 运动微分方程：运动微分方程： 2 0 n xx+=? 初始条件：初始条件：( )( )00.2,00xx= =? () 2 2 00 0.2 n Axx=+=? 0 0 arctan 2 n x x = ? ()0.2cos 7xt= 响应：响应： 2 n T =周期： 弹簧刚度： 周期： 弹簧刚度： /1 9.8/0.249N/mkmg= = 最大弹簧力：最大弹簧力： () max 4.9 0.419.6N S Fk A= += = 0 x 0 x 例例2 课堂练习题课堂练习题 【思路】【思路】： 【例】:【例】: 有一阻尼单自由度系统，测得质量m=5kg，刚度系数k=500N/m。 试 验测得在6个阻尼自然周期内振幅由0.02m衰减到0.012m，试求系统的阻尼比 和阻尼器的阻尼系数。 有一阻尼单自由度系统，测得质量m=5kg，刚度系数k=500N/m。 试 验测得在6个阻尼自然周期内振幅由0.02m衰减到0.012m，试求系统的阻尼比 和阻尼器的阻尼系数。 根据得到系统的阻尼比根据得到系统的阻尼比2 对数衰减率对数衰减率 根据得到阻尼器的阻尼系数根据得到阻尼器的阻尼系数/ c c c= 【关键】【关键】：正确求出对数衰减率正确求出对数衰减率 22 cn cmmk= 例例3 课堂练习题课堂练习题 1 ln i i u u + = 0.085= 6 0.02m 0.012m i i u u + = = 0.085 0.0135 22 = 阻尼比 20.0135 2 5 5001.35 N s/m c cCmk= 阻尼器的阻尼系数： 1 2 ln i i u u + + = 2 3 ln i i u u + + = 2 3 ln i i u u + + = 5 6 ln i i u u + + =? 125 12366 6ln()ln() iiiii iiiii uuuuu uuuuu + + =? 【解】：【解】： 有阻尼单自由度系统的自由振动有阻尼单自由度系统的自由振动 如图所示，质量为的匀质圆盘在水平面上可作无滑动滚动，鼓轮 绕轴的转动惯量为，忽略绳子的弹性、质量及各轴间的摩擦力， 求此系统的固有频率。 如图所示，质量为的匀质圆盘在水平面上可作无滑动滚动，鼓轮 绕轴的转动惯量为，忽略绳子的弹性、质量及各轴间的摩擦力， 求此系统的固有频率。 2 m I I 2 R 1 R 1 m 2 m r 1 k 2 k 例例4 课堂练习题课堂练习题 I 2 R 1 R 1 m 2 m r 1 k 2 k 2 12 2 2 13 22 I mmu R =+ ? 12 2 2 3 2 eq I mmm R =+ 2 1 1 2 1 2 R Vku R = u 2 2 1 12 2 1 2 R kku R =+ 2 1 12 2 eq R kkk R =+ 2 1 12 2 12 2 2 3 2 eq n eq R kk kR I m mm R + = + 2 1 1 2 Tmu=? 2 22 22 1 11 () 2 22 u m rm u r + ? ? 2 2 1 2 u I R + ? 2 2 1 2 k u+ 课堂练习题课堂练习题 1 k m 2 k 0 sinft 在图所示的弹簧在图所示的弹簧质量系统中，两个弹簧的连接处有一激振力 ，求质量块的 质量系统中，两个弹簧的连接处有一激振力 ，求质量块的稳态振幅稳态振幅。 0 sinft 2 u 1 u 2221 ()muk uu= ? m 2 u 221 ()k uu 0 sinft 1 1 ku 221 ()k uu 1 12210 ()sink uk uuft=+ 2 u 1 u 2 u 1 u 例例5 课堂练习题课堂练习题 2221 ()muk uu= ? 1 12210 ()sink uk uuft=+ 2222 1 0muk uk u+=? () 1220 12 1 sinuk uft kk =+ + 1 22 220 1212 sin k kk muuft kkkk += + ? 2 sinuat= 0 2 1 1 1 n f a k = 1 2 12 () n k k kk m = + 其中 课堂练习题课堂练习题 如图所示，在质量块上作用有简谐力，同时在弹 簧的固定端有支承运动。试写出系统的振动微分方程和稳态 振动解。 如图所示，在质量块上作用有简谐力，同时在弹 簧的固定端有支承运动。试写出系统的振动微分方程和稳态 振动解。 0 sinFFt= cos s xat= k m F u cos s xat= 例例6 课堂练习题课堂练习题 0 ()sin s muk uxFt= +? cos s xat= 0 cossinmukukatFt+=+? 0 () it mukuikaFe +=+ ? ()it uBe + = 0 2 i ikaF Be km + = 2 22 02 00 222 ()1 1 kaFikaFF Ba kmkmk + =+ k m F u cos s xat= 【解】【解】 课堂练习题课堂练习题 k m u sin s xat= c 如图所示，试写出系统的振动微分方程和稳态振动解。如图所示，试写出系统的振动微分方程和稳态振动解。 例例7 课堂练习题课堂练习题 k m u sin s xat= c () s mukuc ux= ? sin s xat= cosmucukuact+=? it mucukuace += ? ()it uBe + = 2 i ac Be kmic = + 222222 (2) ()()(1)(2) aca B kmc = + 【解】【解】 课堂练习题课堂练习题 2 arctan c km = 习题课及考前复习（24题） 一、考试知识点 二、考题分布情况 三、作业题 四、课堂练习题 一、考试知识点 二、考题分布情况 三、作业题 四、课堂练习题 五、经典例题五、经典例题 【例例】:图示为一摆振系统，不计刚性摆杆质量，。求系统绕o点小幅 摆动的 图示为一摆振系统，不计刚性摆杆质量，。求系统绕o点小幅 摆动的阻尼振动频率阻尼振动频率和和临界阻尼系数临界阻尼系数。 c k m o a l /a l= 图摆振系统的小幅振动图摆振系统的小幅振动 【思路】 要想求阻尼振动频率： 【思路】 要想求阻尼振动频率： 2 1 dn = 就要求：就要求：, n 通过系统的运动微分方程来求：通过系统的运动微分方程来求：, n 当时所对应的阻尼系数就是临界 阻尼系数。 当时所对应的阻尼系数就是临界 阻尼系数。 1= 2 c cmk= 对不对？对不对？ 经典例题例经典例题例1.4.1 c k m o a l 图摆振系统的小幅振动图摆振系统的小幅振动 解：解：广义坐标：正方向：顺时针 m a sin, cos1 2 sincoscoscosmlk aac aa = ? 动量矩定理：动量矩定理： 222 mlkaca= ? sink a cosc a ? 222 0mlcaka+= ? 经典例题经典例题 22 0 ck mm += ? n k m = 固有频率：固有频率： 2 22 n cc mmk = 阻尼比：阻尼比： 2 1 dn =阻尼振动频率：阻尼振动频率： 2 c km c = 1= 临界阻尼系数：临界阻尼系数： c c C = 2 n c m2 c mk = def =0 ck uuu mm +=? 经典例题经典例题 经典例题经典例题 例1.5.1 考察一欠阻尼系统，激励频率与固有频率相等，初瞬时时系统静止在平衡 位置上。试求在激振力作用下系统运动的全过程。 0 cosft n 解：系统的运动微分方程为 上式通解为 由前面分析可知，在，再由书上公式1.5.14 得此时 于是 令上式及其导数中t=0，代入初始条件，解出， 并代回上式得 . 00 ( )( )( )cossin() 2 nn m u tc u tku tftft +=+ 12 ( )(cossin)sin() 2 nt dddnd u teatatBt =+ 1=2 d = 0 d n f B c = 0 12 ( )(cossin)sin nt ddn n f u teatatt c =+ (0)0u= 1 a . (0)0u= 2 a 20 2 1 ( )(sinsin 1) 1 nt nn n f u ttet c = 对于，可取近似，从而将式（e） 简化为 2 11 1? 经典例题经典例题 0 ( )(1) sin nt n n f u tet c 【例】【例】 建立图示系统的运动方程。建立图示系统的运动方程。 取小车的绝对位移和圆柱体的绝对位 移为广义坐标. 取小车的绝对位移和圆柱体的绝对位 移为广义坐标. 2 u 1 u 222 1 1220 111 222 Tmum uJ=+ ? ? 1 _ dT dtu = ? 1 _ V u = 1 1221 1 () 2 mum uu? 1 1221 ()k