概率论与随机过程习题集北邮研一专硕.pdf

习题习题 2 2.1 设随机过程为常数，V 服从正态分布的随机变量，求 的一维概率密度、均值和相关函数。 ( )()0,X tVtbtb= ，) ) (0,1N ( )X t 解：由，则：(0,1VN( )( )01E VD V=， 则的均值函数为：( )X t( )()( )E X tE VtbtE Vbb= = = ( )X t的相关函数为：()( )( )()()() 22 1212121 11 1 , X 2 Rt tE X tX tE vtbvtbt t E vbt tb= = = ( )X t的一维概率密度为：( ) ( ) t t F x fx x = ，而函数()0,xVtbt= 在单调 则：( ) ( )( ) ( ) 1 tt t F xF xv fxf xvxt = iv  又：V 服从正态分布()0,1N，则：( ) 2 2 1 2 v f ve = 所以：( )( ) ()2 2 2 22 111 22 x b v t t fxf veex ttt =，R              -end- 2.2 设随机变量 Y 具有概率密度( )fy，令： ( )()0,0 Yt X tetY =， 求随机过程的一维概率密度及( )X t( )() 12 , X EX tRt t，。 解：由 ( )()0,0 Yt X tetY =， 则的均值函数为：( )X t( )( ) 0 Ytyt EX tE eefy dy = = ( )X t的相关函数为：()( )( ) () ( ) 12 12 1212 0 , y ttYtYt X Rt tE X tX tE eeefy dy = = ( )X t的一维概率密度为： ( ) ( )( ) ( )( 11ln 0 tt t F xFyyt fxfyft xyxtxtxt = i)  -end- 2.3 若从开始每隔0t = 1 2 秒抛掷一枚均匀的硬币作实验，定义随机过程： ( ) ()cos 2 t X t t = ， ， t 时刻分别抛得正、反面 试求： （1）的一维分布函数( )X t( 1 ;1 2 );FxFx ， ； （2）的二维分布函数( )X t 12 1 ,1;, 2 Fx x ； （3）的均值( )X t( )( )( )( ) 22 11 XXXX mtmt，方差，。 解： （1）当 1 2 t =时， 1 2 X 的分布列 11 01 22 P XP X 1 2 = = 则分布函数： 1 2 00 11 ;0 22 11 x FxP Xxx x ， ， 证明随机过程( )Y t的均值函数和相关函数分别为( )X t的一维和二维分布函数。 证明：( )Y t的均值函数为： ( )( )( )( )( )( )10 YX mtE Y tP X txP X txP X txFx= = ii ( )Y t的相关函数为： ()( ) ( ) 1212 , Y Rt tE Y t Y t= ( )( )( )( ) 1212 111 0P X txX txP X txX tx= i ii i， ( )( )( )( ) 1212 0 10 0P X txX txP X txX tx i ii i， ( )( )( )( )() 12121 11, X P X txX txP X txX txFx x=i i， 2 -end- 2.9 设( )f t是一个周期为T的周期函数， 随机变量Y在(0,T上均匀分布， 令( )()X tf tY=， 求证随机过程( )X t满足：( )()( )() 0 1 T E X t X tf t f tdt T = 。 证明：( )()()()()() 0 1 T E X t X tEf tYf tYf ty f tydy T = = ( )()( )()( )() 11 t Tt tt T tysE X t X tf s f sdsf s f sds TT = = = 令，有： 由于( )f t是一个周期为T的周期函数，则： ( )()( )()( )() 00 11 TT E X t X tf s f sdsf t f tdt TT = =           -end- 2.10设随机过程( )X t的协方差函数为() 12 , X Bt t，方差函数为( ) 2 X t，试证： （1）()( )( ) 1212 , XXX Bt ttt； （2）()( )( ) 22 1212 1 , 2 XXX Bt ttt 证明： （1）根据定义，有：()( )( )( )( ) 121122 , XXX Bt tE X tmtX tmt= 根据Schwarz不等式，有： ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) 1 222 112211221XXXXX2X E X tmtX tmtE X tmtE X tmttt = i （2）有（1）的结论，有：()( )( ) 1212 , XXX Bt ttt 而对任意的, x yR，均有： () 22 1 2 xyxy 则：()( )( )( )( ) 22 121212 1 , 2 XXXXX Bt ttttt -end- 2.11设随机过程( )X t和( )Y t的互协方差函数为() 12 , XY Bt t，试证： ()( )( ) 1212 , XYXY Bt ttt 证明：根据定义，有：()( )( )( )( ) 121122 , XYXY Bt tE X tmtY tmt= 根据Schwarz不等式，有： ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) 1 222 112211221XYXYX2Y E X tmtY tmtE X tmtE Y tmttt = i -end- 2.12设随机过程，其中( ) ( 1 k N it k k X tA e = = ) 为常数，为第k个信号的随机振幅， k A k 是在 (0,2)上均匀分布的随机相位，所以随机变量()1,2, kk Ak=?，N以及它们之间都是相互独 立的，求的均值和协方差函数。 ( )X t 解：先求的均值函数：( )X t( ) ()() 11 kk NN itit kk kk E X tEA eE A e = = 因(1,2, kk )Ak=?，N之间相互独立，则：( ) () 1 k N it k k E X tE A E e = = 而：(0,2 k U) ，则： ()() 2 0 1 0 2 kk itit E eed = = 所以： ( ) () 1 0 k N it k k E X tE A E e = = ( )X t的协方差函数()()( )( ) 121212 , XX Bt tRt tE X tX t = ()() ()() () 12 2 1 1111 kj j k NNNN ittit it kj kjkj kj EA eEA eE eE A A = = 当时，相互独立，则：k j jk 与 ()() ()12 12 0 kj j k itt iitt i E eeE eE e = 当时，k = j ()() ()12 12 kj itt itt E ee = 则的协方差函数( )X t() () () 12 2 12 1 , N itt Xk k Bt teE A = = -end- 2.13设( )0X tt ，是实正交增量过程，( )00X=，V V 是标准正态随机变量，若对任意的 相互独立，令( )0tX t，与( )( )Y tX tV= ，求随机过程( )0Y tt ，的协方差函数。 解：因( )0X tt ，是实正交增量过程，则：( )X t的零均值的二阶矩过程。 又V是标准正态随机变量，则：( )( )01E VD V=，则( )( )( )0E Y tE X tE V= = 由因为任意的相互独立，则： ( )0tX t，与V ()()( ) ( )( )( ) 12121212 , YY Bt tRt tE Y t Y tE X tVX tV= ()( )( )( )( )()()() 22 12121212 , XXXXX Rt tmtE VmtE VE VRt tt t= = =1min,1 j X -end- 2.14设随机过程，其中 1 n n j Y = =()1,2, j Xjn=?是相互独立的随机变量，且： ()() 101 jj P XpP Xpq= =，求()1,2, n Yn =?的均值和协方差函数。 解：的均值函数为：(1,2, n Yn =?)()()() 111 10 nnn njj jjj E YEXE Xpqn = p= ii= 而：，当时， mn()()()() 22 11 nm jkjkjk jkj kj k E X XE X XE X Xmpmnm pmpqmnp = = = = 同理当时， mn()()()() 22 11 nm jkjkjk jkj kj k E X XE X XE X Xnpmnn pnpqmnp = = = = 则：()()() 2 11 ,m nm Yjk jk in,Bn mE X Xmnpm n pq = = -end- 2.15设Y是独立同分布随机变量，Z，()() 1 11 2 P YP Y= =，( )()()cossinX tYtZt= ， t ， 为常数，证明( )X tt =，即假定预先知道最近一次到达发生在秒，下一次到达至少 发生在将来秒的概率等于在将来秒出现下一次事件的无条件概率（这一性质称为“泊松 过程无记忆性” ） 。 1 s 2 s 2 s 证明：因为( )( )X t 则：()( ) () 2 0 2 121121 0 0! s s P Sss SsP X ssX se = = 2 22 1 s eP SsP S = = s 3 -end- 3.5 设到达某路口的绿、黑、灰色的汽车的到达率分别为 12 ， ，且均为泊松过程，它们 相互独立，若把这些汽车合并单个输出过程（假定无长度、无延时） ，求： （1）相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔的概率密度； （2）汽车之间的不同到达时刻间隔的概率密度。 解： （1）由定理3.2知绿色汽车到达时间间隔为独立同分布的均值为 1 的指数分布，则绿色 汽车之间的不同到达时间间隔的概率密度为： ( ) 1 1 0 00 t te f t t = 所以： ( )( ) 111 1 limlim1 mmm nn ijijj nn iii jj m pp = = = 则必有：()1,2, j m jm=?                         -end- 4.17设河流每天的BOD（生物耗氧量）浓度为齐次马尔可夫链，状态空间为1,2,3,4I =是 按BOD浓度为极低、低、中、高分别表示的，其一步转移概率矩阵（以一天为单位）为： 0.50.40.10 0.20.50.20.1 0.10.20.60.1 00.20.40.4 P = 若BOD浓度为高，则称河流处于污染状态， （1）证明该链为遍历链； （2）求该链的平稳分布； （3）河流再次达到污染的平均时间 4 。 解： （1）证明： 由 ( )2 0.50.40.100.50.40.100.340.420.190.05 0.20.50.20.10.20.50.20.10.220.390.280.11 0.10.20.60.10.10.20.60.10.150.280.450.12 00.20.40.400.20.40.40.080.260.440.22 PP P = ii 知马尔可夫链所有状态1,2,3,4I =互通，即该马尔可夫链不可约 且每个状态为非周期的，则由定理4.16推论1知，该马尔可夫链为遍历链。 （2）再由定理4.16推论1知，该马尔可夫链的平稳分布存在，不妨假设为 1234 , ， 则有： 12341234 1234 0.50.40.10 0.20.50.20.1 , 0.10.20.60.1 00.20.40.4 1 = = 得： 1234 0.21120.30280.32360.1044=， 则平稳分布为： 1234 ,0.2112,0.3028,0.3236,0.1044 = （3） 4 4 11 9.58 0.1044 =（天） -end- 习题习题 5 5.1设连续时间的马尔可夫链( )0X tt ，具有转移概率： ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 10 2 i i ij jiho h jiho h ph ji jio h = = = = 其中 i 是正数，( )X t表示一个生物群体在时刻t的成员总数，求柯尔莫哥洛夫方程，转移概 率( ) ij pt。 解：由定理5.3，有： () ( ) 0 1 lim0 0 ii iiiii t ptd qph tdh h = = = ，i () ( ) 0 10 lim 00 i ij ijij t jii pt d qph tdh h = = = ， 其它 则由5.9式，柯尔莫哥洛夫向前方程为： ( )( )( ) ' ijikkjijjj kj ptpt qpt = q 即： ( )( )( )( )( ) ( )( ) ' 1,1 ' 1 ijikkjijjjjijji j kj iiiii ptpt qpt qptptji ptpt = = ， 上述微分方程的解由初始条件： ( ) 1 0 0 ij ij p ij = = 得： ( )( ) ( ) ' 1,1 0 ' 1 jj i t tt ijji j t ii pteeps dsji pte = = ， （过程略） -end- 5.2一质点在1，2，3点上作随机游动，若在时刻t质点位于这三个点之一，则在), t th 内 它以概率( ) 1 2 ho h 分别转移到其它两点之一，试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫方程，转移 概率( ) ij pt及平稳分布。 解：由定理5.3，有： () ( ) 0 1 lim11,2,3 0 ii iiii t ptd qph tdh h = = = ，i = () ( )() 0 1 lim 2 0 ij ijij t pt d qph tdh h = = ji 则Q矩阵为： 111213 212223 313233 11 1 22 11 1 22 11 1 22 qqq Qqqq qqq = 则由5.11式，柯尔莫哥洛夫向前方程为： ( )( ) ' P tP t Q= 即： ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ''' 111213111213 ''' 212223212223 ''' 313233313233 11 1 22 11 1 22 11 1 22 ptptptptptpt ptptptptptpt ptptptptptpt = i 而： ( )() 3 1 11,2,3 ij j pti = = 所以： ( )( )( )( ) ( )( )( )() ' ,1,1 1 2 131 1, 222 ijiji ji j ijijij ptptptpt ptptpti jII = = = = ，其中1,2,3 则上述一阶线性微分方程的解为：( ) 3 2 1 3 t ij ptce = 由初始条件： ( ) 1 0 0 ij ij p ij = = 则： ij c ij = = 则： ( ) 3 2 3 2 12 33 11 33 t ij t e ij pt ij e = = 所以，其平稳分布为：( )( ) 1 lim1,2,3 3 jij t tptj =， 。 -end- 5.3设某车间有M台车床，由于各种原因车床时而工作，时而停止，假设时刻t，一台正在工 作的车床，在时刻t h停止工作的概率为( )ho h ，而时刻t不工作的车床，在时刻t h开 始工作的概率为，且各车床工作情况是相互独立的，若( )ho h ( )N t表示时刻t正在工作的 车床数，求： （1）齐次马尔可夫过程( )0N tt ，的平稳分布； （2）若106030M=，系统处于平稳状态时有一半以上车床工作的概率。 解： （1）由题意知( )N t是连续时间的马尔可夫链，其状态空间为0,1,2,IM=?。 设时刻t有i台车床工作，则在(, t th 内又有一台车床开始工作，在不计高阶无穷小时，它 应等于原来停止工作的M-i台车床中，在(, t th 内恰有一台开始工作。 则： ( )()( ) ,1 0,1,1 i i phMiho hiM = =?， 类似地，有：( )( ) ,1 1,2, i i phi ho hiM = =?， ( )( )2 ij pho hij=， 则( )0N tt ，为生灭过程，其中： ()0,1,1 i MihiM=?， 1,2, i i hiM=?， 由5.14式知它的平稳分布为 ： 0 1 MM = = 0 1,2, jjMj jj jMM CCj = ?，M  （2）若106030M=，则： ( ) 10 1010 10 66 6030 50.7809 9090 jj j j jj P N tC = = -end- 5.4排队问题。设有一服务台，)0,t内到达服务台的顾客数是服从泊松分布的随机变量，即 顾客流是泊松过程，单位时间达到服务台的平均人数为，服务台只有一个服务员，对顾客 的服务时间是按指数分布的随机变量，平均服务时间为 1。如果服务台空闲时到达的顾客 立即接受服务；如果顾客达到时服务员正在为另一顾客服务，则他必须排队等候；如果顾客 到达时发现已经有二人在等候，则他就离开不再回来。设( )X t代表在t时刻系统内的顾客人 数（包括正在被服务的顾客和排队等候的顾客） ，该人数就是系统所处的状态，于是这个系统 的状态空间为0,1,2,3I =；又设在0t =时系统处于状态0，即服务员空闲，求过程的Q矩阵 及t时刻系统处于状态j的绝对概率( ) j pt所满足的微分方程。 解：由题意知( )0X tt ，是时间连续的马尔可夫链，其状态空间为0,1,2,3I =。 00010203 10111213 20212223 30313233 qqqq qqqq Q qqqq qqqq = 习题习题 6 6.1设有随机过程( )()cosX tt= ， 其中0为常数，是在区间()0,2上服从均匀分布 的随机变量，问是否为平稳过程。 ( )X t 解：根据平稳过程的定义，只须考查( )X t是否为二阶矩过程，其均值是否为常数，相关函数 是否只与时间的间隔有关，下面一一考查： 而：( )()() 2 0 1 coscos0 2 E X tEttd = = = ()()( ) ()() () 2 0 2 0 , 1 coscos 2 1 cos 22cos 4 X RttE X tX t tt td d = = = i   2 0 111 coscos2cos 442 d = ii   与t无关 ( )( ) 21 0 2 X E X tR= = 均值为零，方差为 2 的正态随机变量，()0,2是在上服从均匀分布且与求A相互独立的随 机变量，为常数，问是否为平稳过程。 ( )X t 解：由A服从瑞利分布，则： ( )( ) 22 22 22 22 22 2 00 22 0 121 222 xx xx x 2 2 2 x E Axf x dxxedxxeedx edxedx = = i 由于被积函数恰恰是标准正态分布()0,1N的概率密度，所以： 2 2 2 1 1 2 x edx = 则：( ) 2 22 E A = 另， ()( ) 2 2 222 2 2 0 x x E Ax f x dxxedx = i，令： 2 2 2 x y = 则： () 22 0 22 y E Aye dy 2 = 所以：( ) ()( ) 2222 4 2 22 D AE AEA 2 = 则： 2 4 , 22 AN 下面一一验证平稳过程的条件： 1由A与相互独立， 且是关于(cost )的连续函数， 则A与也相互独立。 (cost ) 则：( )()( )()( )() 2 0 1 coscoscos0 2 E X tE AtE A EtE At = = = i= 2()()( )()(,cos X RttE X tX tE AtAt = = )cos ()()() 22 1 cos6.1cos 2 E At= 同，与无关 3( )( ) 2 2 0 X E X tR=，试证： （1）它以概率1对所有()( )tX tTX t =，有成立； （2）对所有()( X RTR) X =，有，即