单调性与最大（小）值（三）课件.pptVIP

1.3.1单调性与最大(小)值(三) * * 1.3.1单调性与最大(小)值(三) 【教学重点】 【教学目标】 【教学难点】 理解增函数、减函数的概念 掌握判断某些函数增减性的方法 步渗透数形结合的数学方法 函数单调性概念的理解及应用 函数单调性的判定及证明 教法:自学辅导法、讨论法、讲授法 学法:归纳讨论练习 【教学方法】 【教学手段】多媒体电脑与投影仪 1.3.1单调性与最大(小)值(三) 判断函数 在区间(-1,1)上的单调性. 解:设 则 f(x1)f(x2) 1x1x21,1+x1x20,x2x10, f(x1)f(x2)0 . 即 f(x1)f(x2) . 故此函数在(-1,1)上是减函数. 1.3.1单调性与最大(小)值(三) 利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法 1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值 2. 利用图象求函数的最大(小)值 3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值 如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，则函数 y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b) ； 如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b， c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)； 1.3.1单调性与最大(小)值(三) 1.增函数与减函数 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对 于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量 x1,x2,当x10时, y ox 当a0时, 1.3.1单调性与最大(小)值(三) 增函数减函数 图图象 图图象 特征 自左至右, 图图象上升. 自左至右, 图图象下降. 数量 特征 y随x的增大而增大. 当x1x2时时，y1y2 y随x的增大而减小. 当x1x2时时，y1y2 1.3.1单调性与最大(小)值(三) 1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最 大(小)值 2. 利用图象求函数的最大(小)值 3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值 如果函数y=f(x)在区间a,b上单调递增 ,则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b 处有最大值f(b); 如果函数y=f(x)在区间a,b上单调递减 ,在区间b,c上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b). 利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法 1.3.1单调性与最大(小)值(三) 1.求函数的单调区间; 2.判断函数的单调性(证明); 5.求函数的最值或值域 3.比较函数的大小 4.求参数的取值范围 1.3.1单调性与最大(小)值(三) 【例1】函数 y=x2 -2|x|-3 的单调递增区 间是_; -1,0,1,+) -2 1-1 o x y 一、求函数的单调区间 1.3.1单调性与最大(小)值(三) 【1】 求函数 y=|x+1|1x| 的单调区间. 解:由 y = | x + 1 |1x |,知 x y -1 1 2 -2 o 故函数的增区间为1, 1. 1.3.1单调性与最大(小)值(三) 【2】画出函数y = |x2-2x3|的图象. 解:当 x2-2x-30 , 即 x 1 或 x3 时, y = x2-2x3 =( x-1)24. 当 x2-2x30, 即 1x3时, y =(x2-2x-3) =(x-1)2+4. x y o 4 -4 31-1 1.3.1单调性与最大(小)值(三) 【3】求函数y=2|x-1|-3|x|的最大值. 解:(1)当x0,则 有f(a)+f(b)f(-a)+f(-b). 证明:由a+b0,得a-b,b-a. 又因为f(x)是R上的增函数, f(a) f(-b), f(b)f(-a), +得f(a)+f(b) f(-a)+f(-b). 1.3.1单调性与最大(小)值(三) 分析:设 则 确定 正负号的关键,是确定 的正负号. 由于x1, x2在同一区间内, 要使 则需 要使 则需 例5.求函数 的最大值. 五、求函数的最大(小)值或值域 1.3.1单调性与最大(小)值(三) 例5.求函数 的最大值. 解:任取x1, x2 , x1, x22,4,且x1 f(3-a),求实数a 的取值范围 【2】函数y=f(x)是定义在(-1,1)上的减函数, 若f(2-a) f(3-a),求实数a 的取值范围 1.3.1单调性与最大(小)值(三) 1.3.1单调性与最大(小)值(三) 【例3】求f(x)=x2-2ax+2在 2,4 上的最小值. 解:f (x) = (x-a) 2+2-a 2, 当a2时, 当2a4 时， 当a4时, f(x)min=f(2)=64a; f(x)在 2,4 上是增函数, f(x)min=f(a)=2a2. f(x)在2,4上是减函数. f(x)min=f(4) = 188a. 几何画板 七、有关最值讨论题 1.3.1单调性与最大(小)值(三) 求最大值： 当 a 3 时， 当 a 3 时， f ( x ) max = x y o2 4 x = 3 f ( x ) max = f ( 4 ) = 18 8a f ( x ) max = f ( 2 ) = 6 4a 1.3.1单调性与最大(小)值(三) 例6.已知f(x)=x24x4,xt,t+1(tR )， 求 f(x)的最小值g(t)的解析式. 解:f(x)=(x2)28 (1)当2t,t+2,即1t2时， g(t)=f(2)=8; (2) 当 t 2 时， g(t) = f(t)=t24t4; (3)当t+12,即t1时, f(x)在t,t+1上是减函数, g(t)=f(t+1)=t2-2t -7. 综上所述:g ( t ) = f(x)在t,t+1上是增函数， x y o x = 2 t t + 1 x = 2 x = 2 1.3.1单调性与最大(小)值(三) 教材P11 练习T4. 教材P12 A组T7,9,10. 2007年9月13日 山东省临沂一中 李福国 1.3.1单调性与最大(小)值(三) 1.函数单调性的定义： 图象法 定义法 2.函数单调性的判定： 3.函数单调性的应用： (1)设元:对任意x1,x2D,且x1x2 (2)作差:f(x1)-f(x2) (3)变形 (4)判号 (5)定论 *求函数 的单调区间. 1.3.1单调性与最大(小)值(三) 若函数f(x),g(x)在给定的区间I上具有单调性, (1)k0时,函数y=f(x)与y=kf(x)+b具有相同的单 调性； (2)若f(x)恒为正或恒为负时,函数f(x)与1/f(x)具 有相反的单调性. (3)若函数f(x),g(x)都是增(减)函数,则f(x)+g(x)仍 是增(减)函数. (4)若f(x)0,g(x)0,且f(x)与g(x)都是增(减)函 数,则f(x)g(x)也是增(减)函数;若f(x)0,g(x)0, 且f(x)与g(x)都是增(减)函数,则f(x)g(x)是减(增) 函数. 单调性性质规律总结: 1.3.1单调性与最大(小)值(三) (4)奇函数在对称的区间上有相同的单调性, 偶函数在对称的区间上有相反的单调性. (5)复合函数fg(x)的单调性由f(x)和g(x)的 单调性共同决定(同则增异则减) . 单调性性质规律总结: 1.3.1单调性与最大(小)值(三) 复合函数：y=fg(x) 令 u=g(x) 则 y=f(u) 内函数 外函数 y=fg(x) 原函数 以x为自变量 以u为自变量 以x为自变量 (5)复合函数的单调性 复合函数单调性结论： 当内外函数在各自定义域内同增同减 时,原函数增; 当内外函数在各自定义域内一增一减 时,原函数减. 1.3.1单调性与最大(小)值(三) (1)f(x)是a,b上增函数,若存在x1, x2a,b 且x1f(x2) f(x)是a,b上减函数 . （正确） （错误） （错误） （错误） 【2】判断下列两个命题的正误： 1.3.1单调性与最大(小)值(三) 1.3.1单调性与最大(小)值(三) 练习： 注意：在原函数定义域内讨论函数的单调性 1.3.1单调性与最大(小)值(三) 补充练习： 1.3.1单调性与最大(小)值(三) 1.3.1单调性与最大(小)值(三) 1.3.1单调性与最大(小)值(三) (1)f(x)是a,b上增函数,若存在x1, x2a,b 且x1f(x2) f(x)是a,b上减函数 . （正确） （错误） （错误） （错误） 【1】判断下列说法是否正确. 1.3.1单调性与最大(小)值(三) 定义在R上的函数f(x)满足f(2)f(1), 则函数f(x)是R上的增函数( ). 定义在R上的函数f(x)满足f(2)f(1),则函数 f(x)在R上不是减函数( ). 函数y=f(x)在区间I上对于任意的x1,x2满 足 ,则f(x)在区间I上为单调增 函数( ). y xO 12 f(1) f(2) X 【2】判断下列说法是否正确. 1.3.1单调性与最大(小)值(三) 定义在R上的函数f(x)在区间(- ,0上是增函数,在区间(0,+)上也 是增函数,则函数f(x)在R上是增函数( ). 定义在R上的函数f(x)在区间(-,0上是增 函数,在区间0,+)上也是增函数,则函数 f(x)在R上是增函数( ). y xO X 函数y=f(x)在区间I上对于任意的x1,x2 ,且 x11 时, f(x)0. (1)求证: f(x) 为偶函数；(2)讨论函数的单调性；(3)求不等式 f(x)+f(x-3)2的 解集. (1)证: 在中令 x=y=1, 得 f(1)=f(1)+f(1) f(1)=0. 令 x=y=-1, 得 f(1)=f(-1)+f(-1)f(-1)=0. 再令 y=-1, 得 f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x). f(x) 为偶函数. 先讨论 f(x) 在 (0, +) 上的单调性, 任取x1, x2, 设x2x10, f(x2)f(x1). f(x) 在 (0, +) 上是增函数, 由 (1) 知, f(x) 在(-, 0) 上是减函数. 偶函数图图象关于 y 轴对轴对 称, (2)解: 在中令 y= , 得: x 1 由知 f( )0. x2 x1 1, x2 x1 f(1)=f(x)+f( )f( ) =-f(x), x 1 x 1 则 f(x2)-f(x1)=f(x2)+f( )=f( ). x2 x1 x1 1 1.3.1单调性与最大(小)值(三) (3)解: fx(x-3)=f(x)+f(x-3)2, 由 、 得 2=1+1=f(2)+f(2)=f(4)=f(-4), 1)若 x(x-3)0, f(x) 在 (0, +) 上为增函数, 由 fx(x-3)f(4) 得