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7 时间序列分析法 7.1概述 7.2 多项式曲线法 7.2.1 一次曲线 设定直线回归方程 当时间点t1，t2，t3，tn为连续等间隔时，为计算方便，把原点取在 时间序列的中间，式（6-2）、（6-3）可简化为： 以下举例说明时间序列数据的直线回归分析方法。 表6-1 1985-1998年我国职工平均货币工资统计数据表 年份平均货币工资（元）年份平均货币工资（元） 1985114819922711 1986132919933371 1987145919944538 1988174719955500 1989193519966210 1990214019976470 1991234019987479 根据表6-1中的数据，绘制1985-1998年我国职工的平均货币工资时间序列散 点图，如图6-2所示。 采用直线拟合该时间序列数据，方程为 7.2.2 二次曲线 二次曲线的方程为 7.2.3 三次曲线 三次曲线的方程为 7.3 指数曲线法 7.3.1一次指数曲线 下面以我国每年的科研支出时间序列数据作为一次指数曲线拟合的例子，对其应用 予以说明。 7.3.2 二次指数曲线 二次指数曲线的回归方程为： 7.3.3 修正指数曲线 求解方程（6-19）中的系数L、a和b，采用三段和值法。 下面举例说明采用修正指数曲线拟合时间序列数据的过程，并进行预测。 设修正指数曲线的回归方程为： 将表中数据代入公式（6-20）、（6-21）、（6-23）中，求得回归系数： 7.4 生长曲线 7.4.1逻辑曲线（Logistic曲线） （1）逻辑曲线模型 （2）确定参数 7.5 移动平均法 移动平均法（Moving averages）是通过 平均和移动的平滑作用消除数据中异常干扰 的时间序列法，是一种简单而适用的方法， 常用于短、近期需求、生产、销售等经济预 测问题。 7.5.1. 一次移动平均 (1). 定义和计算公式 一次移动平均系指对变量的统计数据进行移动平均。 一次移动平均值的计算公式如下： Mt1=(yt+yt-1+yt-2+yt-n+1)/n (1) 式中 Mt1第t周期的一次移动平均值， t周期次第数 yt第t周期变量的数据， n跨越周期数或分段数据点数 例如，取n=5，则第5周期的一次移动平均值 M51=(y5+y4+y3+y2+y1)/5 第6周期的一次移动平均值 M61=(y6+y5+y4+y3+y2)/5 依次类推。 n的取值有两种特殊情况： 当n=t时，则Mt1=1/tyt, 即它的一次移动平均值 等于总体数据的平均值； 当n=1时，则Mt1=yt, 即它的一次移动平均值等于原 统计数据。 (2). 改进公式 根据一次移动平均的运算规律，前后连续两次计算， 只有头尾两个数据变动，因此可将公式(1)作如下改变： Mt1=(yt+yt-1+yt-2+yt-n+1+yt-n-yt-n)/n =(yt-1+yt-2+yt-n+1+yt-n)/n+(yt-yt-n)/n = Mt-11+(yt-yt-n)/n (2) 公式（2）是公式（1）的改进。利用公式（2），当 计算出Mt1后，只需计算（yt+1-yt-n+1）/n，就可求得 Mt+11。如果时间序列数据很长，n的取值又较大，使用改 进公式，可使计算大为减少。当获得新数据时，以先期计 算出的移动平均值为基础，很容易求出新的移动平均值， 无需象回归方法那样重新估算方程。 (3). 计算实例 根据表1中所列的一组时间序列数据yt， 取跨越周期数n=5，计算一次移动平均值。 先从第5个周期开始，由公式（1）计算 出第5周期的一次移动平均值M51，然后由改 进公式（2）往下继续求出各周期的一次移动 平均值，并填入表中相应的位置，直到最后 一个周期。 本题计算结果如下： M51=(57+59+62+61+64)/5=60.6 M61= M51+(y6-y1)/5=60.6+(67-57)/5=62.6 M151= M141+(y15-y10)/5=81.6+(92-76)/5=84.8 全部一次移动平均值列于表1。 7.5.2 二次移动平均 (1). 定义和计算公式 二次移动平均系指对一次移动平均值Mt1再进行移动 平均，即对变量的统计数据进行两次移动平均。 二次移动平均值的计算公式如下： Mt2=(Mt1+ Mt-11+ Mt-21+ Mt-n+11)/n (3) 式中 Mt2二次移动平均值 Mt1一次移动平均值 n跨越周期数或分段数据点数 与一次移动平均值的改进公式一样，二次移 动平均值的改进公式为 Mt2= Mt-12+( Mt1- Mt-n1)/n Mt+12=Mt2+( Mt+11- Mt-n+11)/n (4) (2). 计算实例 根据表1中yt和Mt1的数据计算二次移动平均值Mt2。 计算二次移动平均值时，n的取值应与计算一次移动 平均值的取值相同。因2n-1=25-1=9，故从第9个周 期开始才有二次移动平均值。由公式（3）和（4）计算 结果如下： M92=(60.6+62.6+64.8+66+68.4)/5=64.48 M102= M92+( M101- M51)/5 =64.48+(70.8-60.6)/5=66.52 M152= M142+(M151- M101)/5 =75.96+(84.8-70.8)/5=78.76 全部二次移动平均值列于表1。 7.54 模型应用问题 (1). 跨越周期数n的选择 应用移动平均法，重要的问题是如何选择好跨越周期 数n。n的取值不同，会得到不同的计算结果。在原则上， 当n取较大值时，模型对随机干扰的敏感性较低，但是适 应未来变化的能力较差，容易落后于潜在的发展趋势；当 n取较小值时，模型对未来变化的适应能力较强，但对干 扰的敏感性高，甚至会由于偶然性随机因素干扰过大而 造成错觉。 n的取值在5-200范围内。通常先看需要处理的数据点 数的多少，数据点多，n值可以取大些，反之应取小些； 其次要分析模型对新数据的适应能力和对干扰的敏感度， 如主要要求模型具有较高的适应能力，则n值应取小些； 如要求敏感度低，则n值应取大些。在实际工作中，往往 先以不同的n值进行试算，经过比较分析后再行确定。 (2). 加权移动平均 在建立移动平均模型时，参加计算平均值的只 有最近期的n个时间序列数据，因此，移动平均法 实质上没有考虑未参加计算移动平均值的历史数据 对预测值的影响；另一方面，又认为参加计算的每 一数据对预测值影响的相对重要性是相等的，即权 值都等于1/n。 如果认为参加计算的每一数据对预测的影响不 同，可对这些数据分别给予不同的权值。由于近期 数据的影响较大，通常赋予近期数据以较大权值， 以示重视。 一次加权移动平均值为 Mt1=(w1yt+w2yt-1+wnyt-n+1)/n (9) 式中w1、w2wn为加权系数，它们满足条件 （1）w1+w2+wn=n, 即(w1+wn)/n=1 （2）w1w2wn 二次加权移动平均值的计算与此相同。 加权系数的选择取决于情报研究人员的预测经 验。 (3). 与其它方法结合应用 在实际预测中，常把移动平均法与其它方法如回归方 法结合起来使用，互相补充，将不同方法取得的预测值加 以比较和验证，常常可以收到较好的效果。此外，移动平 均法还可用来预测回归方法因果分析中的自变量。 (4). 预测期限 移动平均法主要用于短、近期预测。在研究对象的发 展趋势比较稳定时，也可用于中期预测。如趋势变化率很 大，例如，需求由缓慢增长突然变为迅速衰退期的情况下 ，一般不宜使用。 (5). 模型的起始点 在yt+L=at+btL模型中，只有当L0时才 有意义。因此，预测发展线的起始点在第t周 期。这是与时间回归模型的不同之处。当获 得新数据点后，如需要重新建立模型，则新 的起始点在第t+1周期，以此类推。这就是移 动平均模型对新数据所具有的适应能力。 7.6 指数平滑法 指数平滑法(Exponential smoothing)是一种 重要的时间序列法，常用于需求、销售等经济预测 问题。 指数平滑法是对移动平均法的改进。移动平均 法的优点是考虑新数据点的影响比较容易，缺点是 当n取较大值时，计算需要存贮的数据量较多。指 数平滑法既保持了移动平均法的优点，又在一定程 度上克服了它数据存贮量大的缺点。 7.6.1 一次指数平滑 (1). 定义和计算公式 一次指数平滑系指对变量的统计数据进行指数平滑。 一次指数平滑值的计算公式如下： St1=yt+(1-)st-11 (12) 式中 St1第t周期的一次指数平滑值 yt第t周期变量的数据 St-11第t-1周期的一次指数平滑值 加权系数 上式可以认为是由一次移动平均值的改进公式变化来的 在用一次移动平均值的改进公式（2）计算Mt1时 ，需要3个数据，即Mt-11（前一周期t-1的一次移 动平均值），yt(t周期的变量)和yt-n（t-n周期的 变量）。yt-n是计算Mt-11时n个周期变量中的最前 一个。如果用一个平均值Mt-11Mt-11=(yt-1+yt- 2+yt-n)/n代替yt-n，则一次移动平均值的改 进公式Mt1=Mt-11+(yt-yt-n)/n就转变为下面的形 式： Mt1=Mt-11+(yt-Mt-11)/n=1/nyt+(1-1/n)Mt-11 令=1/n，再用字母S代替M，以便与一次移 动平均值相区别，即得上面的一次指数平滑 公式（12）。 由公式（12）可知，它既不象简单平均 数法那样需要全部历史数据，又不象移动平 均法那样需要一组数据，它只需很少几个数 据就可进行计算，有时甚至只有一个新数据 （yt），一个前一周期的估计值（作为St-1） 和一个值，就可以应用指数平滑法。 (2). 加权系数 一次指数平滑公式（12）实际上是： 新估计值=（新数据）+（1-）（前一期估计 值） 先设初始值S01=y1=57，按公式（12）计算 =0.30的一次指数平滑值。 S11=y1+(1-)S01=0.357+(1- 0.3)57=57 S21=y2+(1-)S11=0.359+(1- 0.3)57=57.6 S151=y15+(1-)S141=0.392+(1-0.3) 80.9 =84.2 以同样方法逐项计算=0.10时的St1，全部 计算数据列于下表。 7.6.2 二次指数平滑 (1). 定义和计算公式 二次指数平滑是对一次指数平滑值St1再进行 一次平滑，即对变量的统计数据进行两次指数平滑 二次指数平滑值的计算公式如下： St2=St1+(1-) St-12 (15) St2第t周期的二次指数平滑值 St-12第t-1周期的二次指数平滑值 St1第t周期的一次指数平滑值 加权系数 二次指数平滑值的计算方法与一次指数平滑值的计算相同 。现以表2中计算的一次指数平滑法，分别取=0.30和 =0.10计算二次指数平滑值。 先设初始值S02=y1=57，按公式（15）计算=0.30的 二次指数平滑值 S12=S11+（1-）S02=0.357+（1-0.3） 57=57 S22=S21+(1-)S12=0.357.6+(1- 0.3)57=57.2 S152=S151+(1-)S142=0.384.2+(1- 0.3)75.2=77.9 以同样方法逐项计算=0.10时的St2，全部计算结 果列于表2。 (3). 平滑系数 指数平滑模型的平滑系数计算公式由移动平均法计算 公式转换而来，为此需要确立加权系数与跨越周期数n 的关系。前已说明，值的增大表明新数据的影响增长， 而n值的增大则是新数据的影响下降，说明这两个参数呈 反比关系，即1/n。在实际应用中，如以=1/n作为 新数据的权值，则显得过小，当取=2/(n+1)时，大体上 可与移动平均法相适应，那么，由此关系式 =2/(n+1) (17) 可得 n=2/-1 (18) 根据公式（18），并以St1和St2分别代替Mt1和Mt2， 即可由移动平均模型斜率的计算公式bt=2/(n-1)(Mt1- Mt2)得到指数平滑模型斜率的计算公式： bt=2/(2/)-1-1(St1- St2)=/(1-)(St1-St2) (19) 指数平滑模型截距at的计算公式则是用St1和St2代 替Mt1和Mt2，直接从移动平均模型截距的计算公式 at=2Mt1-Mt2得来的，即 at=2St1-St2 (20) (4). 计算实例 根据表2中的计算数据，建立二次指数平滑模型，并计 算未来3期的预测值。 取=0.30，由表中查得S151=84.2，S152=77.9， 代入（20）式，得 at=284.2-77.9=90.5 代入（19）式，得 bt=0.30/(1-0.30)(84.2-77.9)=2.7 最后得预测模型 y15+L=90.5+2.7L 以L等于1，2，3，代入上式，得未来3期的预测值： y16=90.5+2.71=93.2, y17=90.5+2.72=95.9, y18=90.5+2.73=98.6 7.6.3 三次指数平滑 二次指数平滑是线性指数平滑，如果数据点的分布出 现曲率，在一般情况下是不适宜的，三次指数平滑是非线 性指数平滑，几乎可适用于所有的应用问题，因而使用比 较广泛。 (1). 定义和计算公式 三次指数平滑是对二次指数平滑值再进行一次平滑。 三次指数平滑值的计算公式如下： St3=St2+(1-)St-13 (21) 式中St3第t周期的三次指数平滑值 St-13第t-1周期的三次指数平滑值 St2第t周期的二次指数平滑值 加权系数 三次指数平滑值的计算方法与一、二次指数平滑值的计算 相同。现以表2中计算的二次指数平滑值，分别取=0.30 和=0.10计算三次指数平滑值。 先设初始值S03=y1=57, 按公式（21）计算=0.30的 三次指数平滑值。 S13=S12+(1-)S03=0.357+(1-0.3)57=57 S23=S22+(1-) S13=0.357.2+(1- 0.3)57=57.1 S153=S152+(1-) S143=0.377.9+(1- 0.3)70.4=72.7 以同样方法逐项计算=0.10时的St2，全部计算结 果列于表2。 (3). 平滑系数 下面给出三次指数平滑的平滑系数计算公式： at=3St1-3St2+St3 (23) bt=/2(1-)2(6-5) St1-2(5-4)St2+(4-3) St3 (24) ct=2/2(1-)2 (St1-2St2+St3) (25) 利用公式（12），（15），（21）和（17）可 以推导出三次指数平滑模型3个平滑系数的计算 公式（23）、（24）和（25）。 7.6.4 模型应用问题 (1). 加权系数的选择 应用指数平滑法，选择好加权系数是极其重 要的。前面已经说明，值增加时，对近期数据的 重视程度在增大，值减小时，远期数据的影响在 增加。在实际应用中，一方面希望模型对客观事物 的发展能作出迅速反应，这就要求提高值以增加 近期数据的权值；另一方面，又希望模型能较好地 消除随机影响的干扰，这就要求减小值以平滑随 机误差。因此，对于一个具体模型，需要选取一个 合理的折衷值。 选择值，主要依靠情报研究人员的经验，视具体 问题而定。加权系数的取值范围在0.05-0.60之间 ，下面几个原则可供选择值参考。 （1）如对初始值估计的准确度把握不大，应取 较大的值，以便增加近期时间序列数据的权值， 减小初始值的影响。 （2）如果时间序列数据虽有不规则的波动，但 总体数据的变化趋势接近某一稳定的数值，则应取 较小的值（一般取0.05-0.20），使各个统计数据 具有比较接近的权值。 （3）如果时间序列数据具有迅速且明显的变化倾 向，应取较大的值（一般取0.30-0.50，有时可增 大到0.60），使近期