张再望角平分线的性质.ppt

我 学 习 我 快 乐 思考题1 给你一个线段，你如何找出它的中点 给你一个角，你如何画出它的角平分线 如图，是一个平分角的仪器，其中 AB=AD，CB=CD,将点A放在角的 顶点，AB和AD沿着角的两边放下 ，沿AC画一条射线AE,AE就是角的 平分线。你能说明它的道理吗？ A B C D E 12 根据SSS, 可知两个三角形全等 1=2 从上面的探究你能得出作一个角的 角平分线的方法吗？ 已知：AOB 求作：AOB的平分线 作法：（1）以O为圆心，适当长为 半径作弧，交OA于M,交OB于N; （2）分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧在 AOB的内部交于点C. (3)作射线OC.射线OC即为所求。 你能说明其中的道理吗？ A M O B N C 做P108页的练习，并回答问题。 A O B C D E P 已知：OC是AOB 的平分线，P在OC上， PDOA于D， PEOB于E，求证：PD=PE 分析：仔细观察图形，思考证明两条线断 相等的方法有哪些？ PDO PEO吗？ 角的平分线上的点到角的两 边的距离相等 你能用三角形全等证明这个性质吗？ 已知：如图，OP是AOB的平分线，点P在OC上， PDOA，PEOB，垂足分别为D，E 求证：PD=PE 定理：在角的平分线上的点到这个角的 两边的距离相等。 证明: 1=2 , OP=OP PDO=PEO=90 PDOPEO (AAS) PD=PE (全等三角形的对应 边相等) A O B D P E C 1 2 该定理的题设和结论分别是什么？ 角平分线的性质定理 定理 1 在角的平分线上的点到这个角的 两边的距离相等。 定理应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离。 定理的作用： 证明线段相等。 应用定理的书写格式： OP 是 的平分线 PD = PE （在角的平分线上的点 到这个角的两边的距离相等。） 推理的理由有三个， 必须写完全，不能少 了任何一个。 A O B D P E 如果交换定理1的题设、结论，能得到怎样的命题，这是一个 真命题吗？ 逆命题： 到一个角的两边距离相等的点，在这个 角的平分线上。 已知：如图，PDOA，PEOB，垂 足分别是D，E， PD=PE。 求证：点P在AOB的平分线上。 证明: 在RtODP和RtOEP中, ODP=OEP=90 OP=OP, PD=PE RtOPDRtOPE (HL) 到一个角的两边的距离相等的点，到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。在这个角的平分线上。 定理定理 2 2 定理 2的应用书写格式： OP 是 的平分线 PD= PE （到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上） 用途：判定一条射线是角平分线 O A B E D 思考 ： 如图所示OC是AOB 的平分线,P 是OC上任意 一点,问PE=PD?为什么? C P PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平 分线上任一点到这个角两边的距离,所以 不一定相等 例：如图，ABC的角平分线BM， CN相交于点P。 求证：点P到三边AB，BC， CA的距离相等。 B A C P M N 例题展示： 证明： 过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC， CA，垂足为D、E、F， B A C P D E F M N BM是ABC的角平分线，点P在BM上， PDAB， PEBC PD=PE 同理 PE=PF PD=PE=PF 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等 例1 已知：如图、E是BAC平分线上的一点，EBAB， ECAC，B，C分别是垂足。求证：EBCECB 证明： E是BAC平分线上的一点，EBAB，ECAC EB=EC （在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等） EBCECB（在（在一个三角形中，等边对等角一个三角形中，等边对等角） A C E B 想一想：题中BC 被AE垂直平分吗？ 1 2 3 4 ABEACERt 1 234 又EB=EC AE垂直平分BC 如图，开发区一个工 厂，在公路西侧，到公路 的距离与到河岸的距离相 等，并且与河上公路桥较 近桥头的距离为500米。 你能尝试确定工厂的位置 吗？并说明理由。 北 比例尺1：20000 到公路的距离与到河岸的距离相等 工厂在河岸与公路的角平分线上 （到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上） 以角的顶点为端点在角平分线上取一段等于2.5 则另一点就是工厂的位置。 例.已知：如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点 P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂 直于AB、BC、CA，垂足为D、E、 F BM是ABC的角平分线，点P在 BM上（已知） PD=PE（在角平分线上的点到角的 两边的距离相等） 同理 PE=PF. PD=PE=PF. 即点P到边AB、BC、CA的距离相等 D E F A BC P M N 结论：三角形的角平分线的交点到三边的距离相等。 这个交点叫三角形的内心 已知：如图，ABC的B的外角平分线BD和 C的外角平分线CE相交于点F。 求证：点F在DAE的平分线上。 A B 做一做 F E D C 那么点F到ABC三边的距离相等吗？ 如图，有三条交错的货运铁路，要在铁路附近造 一个货运仓库，要求仓库到三条铁路的距离相等， 问，理论上有几个地点可作为仓库的位置？ 4 个 2 如图，DEAB，DFBC，垂足 分别是E，F， DE =DF， EDB= 60，则 EBF= 度，BE= 。 60 BF 3.如图，在ABC中，C=90，DEAB， 1=2，且AC=6cm，那么线段BE是ABC的 ，AE+DE= 。 1 2A B E D C 角平分线 6 4.如图，在ABC中，C=90，AC=BC， AD是BAC的平分线，DEAB于E。求证： DBE的周长等于AB的长。 A B E D C 如图所示，在ABC中，C=90，AD是BAC 的平分线交BC于D，BC=15，且CD：DB=1：2， 则点D到AB的距离为_。 A B DC 在V型公路（AOB）内部，有两个村庄C、D。你 能选择一个纺织厂的厂址P，使P到V型公路的距离 相等，且使C、D两村的工人上下班的路程一样吗？ O A B . C . D P 活动与探究: 已知：如图，1=2，P为BN上一点，且 PDBC于D，AB+BC=2BD 求证：