2011届徐汇区一模数学理.doc

2010学年第一学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷 （理科试卷）（考试时间：120分钟，满分150分） 2011.1一填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。1、方程的解是 。2、设集合，则 。3、已知圆的圆心是点P，则点P到直线的距离是 。4、若，则行列式 。5、已知向量，则向量在向量的方向上的投影为 。6、已知无穷等比数列的各项和为4，则首项的取值范围是 。7、若函数（常数）是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式 。8、一颗骰子投两次, 记第一次得到的数值为, 第二次得到的数值为, 将它们作为关于的二元一次方程组的系数, 则方程组有唯一解的概率为 。（用数字作答）9、已知函数存在反函数，若函数的图象经过点，则函数的图象必经过点 。10、若函数在区间上是增函数，则的取值范围是 。11、若，则 。12、已知是1，2，3，5，6，7这七个数据的中位数，且1，3，这四个数据的平均数为1，则的最小值为 。13、设且。若函数的图象与直线恒有公共点，则应满足的条件是 。14、设数列是公差不为零的等差数列，前项和为，满足，则使得为数列中的项的所有正整数的值为 。二选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。15、已知，都是实数，则“”是“”的（ ）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分又不必要条件16、以下向量中，能成为以行列式形式表示的直线方程的一个法向量的是（ ）（A） （B） （C） （D） 17、定义平面向量之间的一种运算“*”如下：对任意的，令。给出以下四个命题：（1）若与共线，则；（2）；（3）对任意的，有；（4）。（注：这里指与的数量积）则其中所有真命题的序号是（ ）（A）（1）（2）（3） （B）（2）（3）（4） （C）（1）（3）（4） （D）（1）（2）（4）x 1 y 1 O A 1 x y 1 O B x y O y O C Dx 18、函数的图像大致为 ( ) 三解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。19（本题满分12分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分。在中，角、的对边分别为、，且。（1） 求的值；（2）若，且，求和的值。20（本题满分12分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分。设函数。（1）当时，求函数的最小值；（2）当时，试判断函数的单调性，并证明。21（本题满分14分）第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分。已知关于的不等式，其中。（1）求上述不等式的解；（2）是否存在实数，使得上述不等式的解集中只有有限个整数？若存在，求出使得中整数个数最少的的值；若不存在，请说明理由。22（本题满分18分）第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分，第（3）小题满分6分。各项均为正数的数列的前项和为，满足。（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，数列满足，数列的前项和为，求；（3）若数列，甲同学利用第（2）问中的，试图确定的值是否可以等于2011？为此，他设计了一个程序（如图），但乙同学认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束），你是否同意乙同学的观点？请说明理由。23（本题满分18分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分。圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦。若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦。已知点、是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，是垂直于轴的一条垂轴弦，直线分别交轴于点和点。yEPNMxOF（1）试用的代数式分别表示和；（2）若C的方程为（如图），求证：是与和点位置无关的定值；（3）请选定一条除椭圆外的圆锥曲线C，试探究和经过某种四则运算（加、减、乘、除），其结果是否是与和点位置无关的定值，写出你的研究结论并证明。（说明：对于第3题，将根据研究结论所体现的思维层次，给予两种不同层次的评分）2010学年第一学期徐汇区高三年级数学学科流水号 学习能力诊断（理科）答题卷 2011.1题号一二1920212223总分满分56201212141818150得分请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分）1. 2. 3. 4. _ 5. _ 6. 7. _ 8. _ 9. 10. 11. 12. 13. 14. 二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）本大题必须使用2B铅笔填涂 15 A B C D 16 A B C D 17 A B C D 18 A B C D 三、解答题（本大题共5题，满分74分） 19解（1）（2）20解（1）（2） 21解（1）（2）22解（1）（2）（3）23解（1）（2）（3）2010学年第一学期徐汇区高三年级数学学科学 习 能 力 诊 断 卷 理科试卷参考答案及评分标准（2011.1）一 填空题：1 2 3 4. 5 6 7 8 9 10 11 12 13或 14 二选择题： 15D 16A 17C 18B三解答题:19解：（1）由得 2分 因为、是的三内角，所以， 5分 因此 6分 （2），即 8分 由余弦定理得，所以， 10分 解方程组，得 12分20解：（1）当时， . 2分 . 4分 当且仅当，即时取等号， . 6分（2）当时，任取 . 8分， . 10分 ，, 即在上为增函数 . 12分 21解： （1）当时，； 2分当且时，4分；5分当时，；（不单独分析时的情况不扣分）当时，.7分（2） 由（1）知：当时， 中整数的个数为无限个；.9分当时，中整数的个数为有限个， 11分因为，当且仅当时取等号，12分所以当时，中整数的个数最少。.14分22解：（1）. 2分，两式相减，得. 4分为等差数列，首项为2，公差为1. 5分 （2）是首项为2，公比为2的等比数列，. 7分 为偶数时，. 8分 . 10分 为奇数时， . 11分 . 12分 （3）， 设. 13分 ，. 15分 . 17分 乙同学的观点正确。. 18分23 （1）因为是垂直于轴的一条垂轴弦，所以 则 . 2分 令则. 4分 同理可得：，. 6分（2）由（1）可知：. 8分 在椭圆C：上， 则（定值）是与和点位置无关的定值 . 12分（3）第一层次：点是圆C：上不与坐标轴重合的任意一点，是垂直于轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，则。. 16分证明如下：由（1）知： 在圆C：上， 则是与和点位置无关的定值点是双曲线C：上不与顶点重合的任意一点，是垂