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文档简介

一、对换的定义 定义在排列中，将任意两个元素对调，其余 元素不动，这种作出新排列的手续叫做 对换 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换 例如 二、对换与排列的奇偶性的关系 定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性 证明设排列为 对换 与 除 外，其它元素的逆序数不改变. 当 时， 的逆序数不变;经对换后 的逆序数增加1 , 经对换后 的逆序数不变 ， 的逆序数减少1. 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为 当 时， 现来对换 与 次相邻对换 次相邻对换 次相邻对换 所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性. 推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. 定理2 阶行列式也可定义为 其中 为行标排列 的逆序数. 证明 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数, 而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此 知推论成立. 证明按行列式定义有 记 对于D中任意一项 总有且仅有 中的某一项 与之对应并相等;反之, 对于 中任意一项 也总有且仅有D中的某一项 与之对应并相等, 于是D与 中的项可以一一对应并相等, 从而 定理3 阶行列式也可定义为 其中 是两个 级排列， 为行 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 例1 试判断 和 是否都是六阶行列式中的项. 解 下标的逆序数为 所以 是六阶行列式中的项. 下标的逆序数为 所以 不是六阶行列式中的项. 例2 在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号. 解 431265的逆序数为 所以 前边应带正号. 行标排列341562的逆序数为 列标排列234165的逆序数为 所以 前边应带正号. 例3 用行列式的定义计算 解 1. 一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性 2.行列式的三种表示方法 三、小结 其中 是两个 级排列， 为行 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 思考题 证明 在全部 阶排列中 ,奇偶排列各占 一半. 思考题解答 证 设在全部 阶排列中有 个奇排列, 个偶 排列,现来证 . 将 个奇排列的前两个数对换,则这 个奇排 列全变成偶排列,并且它们彼此不同,所以
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