Mathematica的基本量.ppt

软 件 介 绍 第2讲 Mathematica的基本量 2/51 2.1 数 在Mathematica里将数大致分为两类，一类是基本 常数，包括整数、有理数、实数和复数；另一类是系 统的内部常数，包括数学、物理中常见的某些常数。 这些数的概念同数学中的概念完全一样，它们的表 示方法同数学中的也基本一致。 但要指出的是，如果计算机字长允许的话，在 Mathematica系统里，这些数可以具有任意的长度和 精确值。 3/51 在这些数之间常常需要进行加、减、乘、除以及乘 方等算术运算，这些算术运算的运算符在 Mathematica里分别用+、-、*、/、等来表示，与计 算机编程语言中的符号基本一致；还可以使用模板进 行输入。 模板的调出可以选择菜单“File/Palettes/3 Basic Input”。 4/51 2.1.1 数的表示和计算 1. 整数 在Mathematica系统中，整数由一串连续的数字组 成，数字之间不允许有空格或其他字符。 在系统里可以对任意大的整数进行计算，系统将保 持输入的和计算后输出的整数永远是精确的，不会将 大的整数转化为浮点数形式。例如 5/51 说明： (1) 乘法符号“*”可以用空格代替，但不能省略； (2) 算术运算的优先顺序：先乘方，再乘除，最后是 加减，可以用括号改变优先顺序； (3) 同级运算的顺序依顺序从左到右进行； (4) 负号用减号表示，直接写在数的前面即可，同数 学习惯完全一样； (5) 如果参加运算的整数都是精确数，那么运算的结 果也一定是精确数，Mathematica系统决不轻易丢失 信息。 6/51 2. 有理数 Mathematica系统中任何有理数都可用两个整数的 商来表示，并且对有理数将自动化简，约去分子与分 母中的公因数，最后结果是精确的。例如 7/51 3. 实数(浮点数) 实数在Mathematica里用浮点数表示。浮点数是指 含有一个小数点的数字串，它至少包含着一位有效数 字，数字串的长度可以任意。因此用浮点数来表示实 数可以具有任意的精度。 然而在书写时，数字串的长度总是有限位的，这样 就有必要引入实数在不同精度要求下的近似记法。 在Mathematica里用符号Nx，n来表示实数x具有n 位精度的近似值，当n16时只取6位有效数字，当 n17时则取n位有效数字。 例如 8/51 说明：当整数、有理数、实数进行混合运算时，如 果参加运算的数都是精确的，那么在Mathematica系 统中运行的结果也一定是精确数，决不轻易丢失信息 。 如果其中有一些是近似数，那么运算的结果也只能 是近似数，但保持尽可能高的精度，仍然不轻易丢失 信息。 注：(*)为Mathematica系统的注释符号，两个*号 之间为注释内容，注释部分可以放在程序的任何位置 。 9/51 4. 复数 同数学中的复数表示法一样，在Mathematica里的 每一个复数也表示为z=x+Iy，其中x与y为实数，I为虚 数单位，即，运算规则与数学中的规则一样。 10/51 5. 数学常数 最常见的数学常数有： 此外，还有欧拉常数、黄金分割常数、光速常数、万 有引力常数等数学、物理中常见的常数. 对这类常数，Mathematica将它们设置为系统的内 部常数，用到时，可以利用Help命令到系统中查询。 Pi圆周率， = 3.14159 E自然对数的底e，e=2.71828 Degree角度1度，1度 = /180 I虚数单位i，i = Infinity无穷大，即 Indeterminate不定值，即0/0，/ 11/51 2.1.2 数的转换 有时需要将不同类型的数进行转换。例如，将有理 数转换为实数，将精确数转换为近似数等。前面在实 数举例中用到的函数N 就是这种转换函数之一。 下面列出的是最常用的两个转换函数： Nx将x转换为实数形式 Nx，n将x转换为最多具n个数字精度的 近似实数 Rationalizex给出x的近似有理数 Rationalizex，dx 给出误差在dx内x的近似有理数 12/51 【例1-7】数的转换。 N1/3 N1/3, 20 Rationalize% RationalizeNSqrt2 RationalizeNSqrt2, 10(-7) 说明：符号%的含义如下： %表示上一次输出的结果 %表示倒数第2次输出的结果 %(共n个)表示倒数第n次输出的结果 %n表示以n为序号的那次输出结果 13/51 2.1.3 数的输出形式 在Mathematica计算中，常用函数N 将符号运算的 结果转换为数值结果，或将有理数的准确值转换为近 似数。 如果参与计算的数都是准确值，则计算结果将按准 确值的方式输出；如果参与计算的数有近似数，则计 算的结果必是近似数，系统将会根据数值类型与数值 大小给出合理的输出形式。 14/51 2.1.3 数的输出形式 如果你对输出形式有精度方面的特殊要求，则可利 用下面科学记数形式进行输出。 ScientificForm表达式 以科学记数形式输出表达式 例如 15/51 2.2 变量 在Mathematica系统中，变量名与函数名总是用标 识符来书写的。 2.2.1 标识符 标识符是由英文字母开头的字母数字串。字母与数 字的长度可以不限，但不能包含空格或标点符号。 例如a，bce，a12，Cij，ArcSinh等均为合法的标识 符，而2ab，x*y，a12，Arc-Sinh等均为不合法的标识 符。 16/51 2.2.2 变量命名 变量命名即用标识符给变量命名，给变量用标识符 命名时必须严格依照标识符的有关规定进行。 给函数命名时，除了要遵守标识符的规定外，还要 遵守函数命名的一些规则，这将在下一节作介绍。 标识符除了可给变量命名和给函数命名外，还可有 别的用途，例如可以用它来表示计算中的单位： 1.5Kg + 2.3Kg 3.8Kg 17/51 2.2.3 变量赋值 在Mathematica中运算符“=”的作用是赋值。常常用 它来给变量赋一个值，这个值可以是一个数值、一个 数组、一个表达式，甚至一个图形。例如 x = 2+3 x = y = 3 变量x一旦被赋值，这个值将长期保留，直到它被 清除或被重新赋值为止。保留期间，无论在何处使用 这个变量x，它将被数值3代替。 18/51 2.2.3 变量赋值 变量x一旦被赋值，这个值将长期保留，直到它被 清除或被重新赋值为止。例如 p3 = x3 + 3 * x2 4*x + 5 在以后的运算中凡是用到p3的地方，也就相当于在那 里写上了这个多项式。 对于已经赋值的变量，当不再使用而且想要清除掉 时，可随时用“=.”清除掉。 在这个命令执行后，变量的值就不存在了。应当特 别注意随时将以后不再使用的变量的值清除掉，以免 影响后面某些计算结果的正确性。 19/51 2.2.4 变量替换 在数学运算中，经常需要将数学式子中的某些变量 替换为另外的一些变量，Mathematica中将这种替换 机制叫做变换规则，用记号“/.”来完成。例如 p3 = 5 - 4 y + 3 y2 + y3 p3/.y - t+1 p3/.y -2 对于多个变量的式子，这种替换同样可以进行。例 如 f = x2 + x y + y2 f/.x-u+1, y-v-1 20/51 2.3 表 在Mathematica中，常常将一些有关联的元素组合 成一个整体，并将其称为表（List）。 表中的元素可以是数，也可以是函数，还可以是表 达式等；同一表中的元素可以有不同的数据类型。 表常被用来表示数学中的向量、矩阵或集合。 21/51 2.3.1 表的描述 表在形式上是用花括号括起来的一组元素，元素之 间用逗号分隔。例如 1，23，0.5，x，Sint 3，4，1，2，5 22/51 2.3.1 表的描述 表的元素又称为表的分量，表中分量一般表示为： tn或Partt, n表示表t中的第n个元素 t-n或Partt, -n 表示表t中的倒数第n个元素 Firstt表示表t中的第一个元素 Lastt表示表t中的最后一个元素 tn1, n2, 或 Partt, n1, n2 表示由表t中第n1, n2,元素组成的表 ti，j表示表t中的第i个子表的第j个元素 23/51 【例1-8】已知t1= 3，4，5，6，7，8，9，则有： t13 t1-3 Firstt1 Lastt1 t12, 4, 5, 7 24/51 2.3.2 表的建立 当表中的元素较少时，可以采用直接输入的形式： 表变量名 = 元素1，元素2， 来生成表，即在给出表名的同时又给出了表中的元素 ，但在更多的时候是要利用建表函数Table、Range和 Array来生成。 25/51 1. 循环描述 在利用建表函数时常常要用到循环描述。 (1) 循环描述的一般形式是： 循环变量，循环初值，循环终值，步长 其执行过程是：循环变量从初值开始，按照所给步 长逐步递增（或递减），直至达到或超过终值的界限 为止。 循环变量、初值、终值和步长可为整数、有理数和 实数。 26/51 1. 循环描述 常见的几种循环描述如下： j，min，max，step j从min开始到max，按步长step增加 j，min，max j，max 说明：当步长为1时可省略不写，初值min为1时可省 略不写 max重复max次 27/51 除了上面的单重循环外，有时还要用到多重循环。 多重循环是在写循环描述的地方连续写几个上面形 式的循环描述，它们之间用逗号分开。例如 i，imin，imax，j，jmin，jmax 表示一个关于变量i与j的二重循环描述，它表示i从 imin开始到imax，且对每一个j值，j从jmin到jmax。 28/51 2. 建表函数 利用建表函数来生成表是十分方便的。 (1) 数值表建表函数Range，格式如下： Range正整数n生成表1，2，3，n Rangem，n生成表m,m+1,m+2,n (mn) Rangem，n，d从m开始按步长d递增，直到n的 界限为止 【例1-9】建数值表。 Range3, 9 Range1, 2, 0.31 29/51 (2) 通项表建表函数Table，格式如下： Tablefi，i，min，max，step 说明：依照通项fi的规律，i从min到max，step为步 长，当步长为1时省略。 Tablef，max 说明：依照通项f的规律，给出max个元素的表。 Tablefij，i，imin，imax, j，jmin，jmax, 说明：生成一个多维表。 30/51 【例1-10】建通项表。 Tablei2, i, 1, 7 Table2 n, n, 3, 12, 2 Tablex+1, 5 TablePrimek, k, 10 式中，Primek为产生第k个素数的函数。 TableRandom, 3 式中，Random为产生一个0与1之间随机数的函数。 TableSinx, x, 0, 1, 0.3 Tablem+n, m, 3, n, 5 31/51 (3) 特殊表建表函数Array，格式如下： Array函数f，整数n Array函数f，n1，n2， 【例1-11】建特殊表。 ArraySin, 4 N% Arraya, 2, 3 其中第一句等价于 TableSinn, n, 4 第三句等价于 Tableai, j, i, 2, j, 3 32/51 说明：凡能用函数Range与函数Array生成的表，都 能用函数Table生成，Mathematica系统提供函数 Range与Array的目的是为了使用户有更多的方便与选 择余地，我们的重点是对函数Table的掌握与使用上。 33/51 2.3.3 表的运算 表的运算主要包括表的结构运算与表的集合运算两 部分。 1. 表的结构运算 在Mathematica系统中，当一个表t与一个标量a作 四则运算时，表示将a与t中的每一个元素作一次运算 ，运算的结果仍然是一个表。 当两个表t1与t2进行加减运算时，首先要求t1与t2的 长度相同(即t1与t2中元素的个数一样多)，然后将t1与 t2对应元素相加减即可，运算的结果仍是一个表。 34/51 两个表的相乘、相除以及更一般的运算，我们将放 到线性代数中去介绍。 下面列出几个表的常见结构运算函数。 Joint1，t2，将表tl，t2，连成一个表 Uniont1，t2， 合并几个表，去掉重复元素后对元素排序 Sortt将表t中的元素排序 Uniont去掉表中重复元素后对元素排序 35/51 两个表的相乘、相除以及更一般的运算，我们将放 到线性代数中去介绍。 下面列出几个表的常见结构运算函数。 Reverset将表t中元素的顺序倒过来 RotateLiftt，n将表t中元素向左转移n个位置 RotateRightt，n 将表t中元素向右转移n个位置 ApplyPlus，t将表t中所有元素加在一起 ApplyTimes，t将表t中所有元素乘在一起 36/51 【例1-12】已知t1 =1，3，5，7，2，6，10； t2=Table2n-1，n，1，7，则 Joint1, t2 Uniont1, t2 Sortt1 Reverset1 RotateLeftt2, 3 RotateRightt2, 3 ApplyPlus, t1 ApplyTimes, t1 37/51 2. 表的集合运算 数学概念中的集合“并”、“交”、“补”运算，引伸到 Mathematica里，是定义在几个表之间的“并”、“交” 、“补”的运算，运算结果仍为表。其函数如下： Uniont1，t2， 若干表之“并”，由表t1, t2, 中所有不同元素组成 Intersectiont1，t2， 若干表的“交”，由表t1, t2, 中公共元素组成 Complementt1，t2 表t1与表t2的“补”。由t1中有而t2中没有的元素组成 38/51 【例1-13】已知t1 = 1，3，5，7，2，6，10； t2=1，3，5，7，9，11，13，则 Uniont1, t2 Intersectiont1, t2 Complementt1, t2 Complementt2, t1 39/51 2.4 函数 Mathematica中的函数可以分为两大类：一类是在 数学中常见的并且给出了明确定义的函数，比如三角 函数、反三角函数等，可称之为数学函数； 另一类是在Mathematica里给出定义的，具有计算 和操作性质方面的函数，比如画图函数、方程求根函 数等，可称之为操作函数。 数学函数又可大致分为初等函数和非初等函数两种 ，下面将分别作简单介绍。 40/51 2.4.1 基本初等函数与初等函数 1. 基本初等函数 在Mathematica库函数里将它们作为最基本的函数供 用户使用。 中文名称数学符号Mathematica符号 三角函数sin x, cos x, tan xSinx, Cosx, Tanx cot x, sec x, csc xCotx, Secx, Cscx 反三角函数arcsin x, arccos x, arctan x arccot x, arcsec x, arccsc x ArcSinx, ArcCosx, ArcTanx ArcCotx, ArcSecx, ArcCscx 双曲函数Sinh x, cosh x, tanh x coth x, sech x, csch x Sinhx, Coshx, Tanhx Cothx, Sechx, Cschx 反双曲函数arcsinh x, arccosh x, arctanh x arccoth x ArcSinhx, ArcCoshx, ArcTanhx ArcCothx, 幂函数Sqrtx 指数函数exExpx 对数函数log x (自然对数，以e为底)Logx 41/51 2. 初等函数 将常量、变量与基本初等函数经过有限次的四则运 算以及有限次的函数复合（函数套函数），并且能用 一个解析式子表示的函数，称为初等函数。 例如： ，均是 初等函数； ，所确定的函数均不 是初等函数。 显然，初等函数里包含了全部基本初等函数。在自 然科学与工程技术中最常见的函数是初等函数，它占 有十分重要的地位。 42/51 2.4.2 非初等函数与特殊函数 凡不满足初等函数定义要求的函数，均可称为非初 等函数。 比如上面所列举的后3个函数便是非初等函数，又 如数学分析中讲过的Gamma函数(x)与Beta函数B(p ，q)，也都不是初等函数，再如由下面微分方程 x2y“ + xy + (x2 v2)y = 0 与 (1 x2)y“ 2xy + n(n + 1)y = 0 的解所确定的函数分别称为Bessel函数与Legender函 数，也都不是初等函数。因此都可将它们归属到非初 等函数中。 43/51 有些非初等函数，例如Bessel函数、Legender函数 ，由于它们在数学物理问题中具有特殊的意义，又将 它们从非初等函数中划分出一小类，叫做特殊函数类 。 大致弄清初等函数与非初等函数的界限是必要的， 因为它涉及到下面章节里一些问题的结果。 比如某个不定积分是否可积，某个常微分方程是否 有解等，对于这些问题的明确回答，将会起到关键性 的作用。 44/51 2.4.3 系统操作函数与运算函数 由于处理和求解数学问题的需要，在Mathematica 里专门设计了一大批具有求解和操作性质方面的函数 。 比如后面第2章中的各种绘图函数，第3章中的各种 符号运算函数，第4章中的各种数值计算函数等，都 可将它们归属到操作或运算函数类中。 这类操作运算函数同前面介绍过的数学函数有着明 显的区别，数学函数常被作为处理的对象，而操作运 算函数常是处理的手段。 45/51 在一些计算机高级语言中，我们还常看到阶乘函数 、取整函数、取余函数、随机函数等，也都是为了处 理这些数学问题的需要而专门设计的，因此可以将它 们归属到系统的运算函数类中，然而根据不同的需要 ，有时系统又将它们放入到数学函数类中。下面列出 的是几个最常见的这类函数： n!n的阶乘n(n-1)(n-2)21 n!n的双阶乘n(n-2)(n-4) Quotientm，nm/n的整数部分 Modm，nm/n的余数部分 GCDn1，n2，nl，n2，的最大公因子 LCMn1，n2，nl，n2，的最小公倍数 Primek第k个素数 Random产生一个0与1之间的随机数 RandomReal，a, b 产生一个a与b之间的随机数 Absxx的绝对值 Signx x的符号 = 46/51 2.4.4 函数名的书写规则 通过上面的举例读者容易看到，在Mathematica中 函数名的书写规则可以归纳如下： (1) 函数名必须以大写字母开头，后面的字母小写， 例如Sin，Tan等。 当函数名可分成几个段时，每个段的开头字母都要 大写，其后小写，例如ArcTan，FindRoot等。 注：第8章介绍的自定义函数名的开头字母不必大 写