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第三节 向量的数量积和向量积 一、 两向量的数量积 二、 两向量的向量积 一、两向量的数量积 1 定义 两个向量a和b的模与它们之间夹角的余弦之积， 称为向量a与b的数量积，记作ab,即 数量积也称点积。 力学意义：一物体在力F的作用下， 沿直线AB移动了S， F与AB的夹角为, 如右图，则力对物体做的功为 B S A F 2 性质： （1） aa=|a|2 （2） （3） 表示两非零向量a和b的夹角，则有 3 运算律 （1）交换律 （2）分配律 （3）结合律 其中为常数。 4 数量积的计算公式 设向量 则有 证明： 则有两非零向量a和b的夹角的余弦坐标表示为 此时，对于非零向量a，b，有 5 向量在轴上的投影 设A为空间一点，u轴已知，如图。 A u 过点A作与轴垂直的平面，平面与轴 的交点A称为为A在轴轴上的投影 。 A对于已知向量 ， u轴上的有向 线段 的模称为向量 在轴u 上的投影，它是一个数量，记作 B B 那么 为向量 与轴u的夹角。 用e表示u轴上的单位向量，则ae为向量a在e方向 上的投影，那么有 例1 已知a=1，1，-4，b=1，-2，2，求： （1）ab； （2）a与b的夹角； （3）a在b上的投影。 解：（1） （2） 所以 （3）因为 所以 例2 求证余弦定理 为边CA，CB的夹角。 证明：如图所示的ABC， 令 A B C 可得 那么 所以 证毕 二、两向量的向量积 1 定义 设向量c由两个向量a和b按下列规定给出： （1）|c|=|a| |b| sin， 为向量a和b的夹角； （2） ，且向量a，b ， c的方向满 足右手定则，如图； 那么向量c称为向量a和b的向量积， 记作ab，即 C= ab 向量积又称为叉积。 向量积模的几何意义是：以 a，b为邻边的平行四边形的面积。a b c O为一根杠杆L的支点， L O P F 有一个力F作用于其上点P处， F与 的夹角为， 由力学 规定， 力F对支点O的力矩 是一个向量M， Q 它的模 而M的方向垂直于 与F所决定的平面， M的指向是 是按右手规则从 以不超过的角的转向F来确定， 因而实际上 力学意义：力矩， 如下图所示。 2 两向量积的性质 （1）aa=o； （2） （3）若ao，bo，a，b的夹角为，则 3 两向量的向量积的运算律 （1） ab=-ba； （2）（a）b=a（b）=（ab （为为常数） （3）（a+b）c=ac+bc 4 两向量的向量积的坐标表示 设向量 则有 此时，对于非零向量a，b，有 约定：若分母中有零，相应地，分子也为零。 例3 设向量 解： 例4 设向量 问ab与c是否平行？ 解： 显然故ab/c. 例5 问向量 是否共面？ 解：判断三个向量是否共面，只要判断其中的两个 向量的向量及与第三个向量是否垂直即可。（为什么？） 由于 所以， =4-2-2=0 因而a，b，c共面。 例6 求以点A（1，2，3），B（3
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