多元函数极值、最值、条件极值.ppt

一、多元函数的极值和最值 二、条件极值 拉格朗日乘数法 三、小结 一、多元函数的极值和最值 1、二元函数极值的定义 例1 例 例 有极小值； 有极大值； 无极值。 2、多元函数取得极值的条件 证 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点， 均称为函数的驻点. 驻点偏导数存在的极值点 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 注意 ： 例4 求函数的极值。 解 求解方程组： 得驻点 因此，驻点 因此，驻点 因此，驻点 与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外， 偏导数不存在的点也可能是极值点。 例如，显然函数 不存在。 例2.讨论函数 及 是否取得极值. 解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 在(0,0)点取不到极值. 在(0,0)点取得极小值. 在点(0,0) 并且在 (0,0)点 都有 求最值的一般方法： 将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中 最大者即为最大值，最小者即为最小值. 与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值 来求函数的最大值和最小值. 3、多元函数的最值 二、最值应用问题 函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点 边界上的最值点 特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时, 为极小 值为最小 值(大)(大) 依据 例5. 解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为 则水箱所用材料的面积为 令得驻点 某厂要用铁板做一个体积为2 根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 的有盖长方体水 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省? 因此可 断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 高为时, 水箱所用材料最省. 例6. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 ,把它折起来做成 解: 设折起来的边长为 x cm,则断面面积 x 24 一个断面为等腰梯形的水槽, 倾角为 , 积最大. 为 问怎样折法才能使断面面 令 解得: 由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有 一个驻点, 故此点即为所求. 三、条件极值 极值问题 无条件极值: 条 件 极 值 : 条件极值的求法: 方法1 代入法. 求一元函数的无条件极值问题 对自变量只有定义域限制 对自变量除定义域限制外, 还有其它条件限制 例如 , 转化 方法2 拉格朗日乘数法. 如方法 1 所述 , 则问题等价于一元函数 可确定隐函数 的极值问题, 极值点必满足 设 记 例如, 故 故有 引入辅助函数 辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 极值点必满足 则极值点满足: 利用拉格朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法. 求解方程组解出 x, y, z, t 即得 可能极值点的坐标. 解 则 例7 求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积. 设长方体的长、宽、高为 x , y，z. 体积为 V . 则问题就是条件 求函数的最大值. 令 下 ， 则 令 即 由(2)- (1) 得 同理， 解得 这是唯一可能的极值点。 因为由问题本身可知， 所以， 最大值就在此点处取得。 故，最大值 最大值一定存在， 若 则由（1）可得 矛盾。于是有 于