高一数学必修一典型题例.doc

专业资料圆你梦想例1 求下列函数的定义域： ； ； .分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定如果只给出解析式，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合解：x-2=0，即x=2时，分式无意义，而时，分式有意义，这个函数的定义域是.3x+20，即x-时，根式无意义，而，即时，根式才有意义，这个函数的定义域是|.当，即且时，根式和分式 同时有意义，这个函数的定义域是|且另解：要使函数有意义，必须： 这个函数的定义域是： |且 强调：解题时要注意书写过程，注意紧扣函数定义域的含义.由本例可知，求函数的定义域就是根据使函数式有意义的条件，布列自变量应满足的不等式或不等式组，解不等式或不等式组就得到所求的函数的定义域.例2 已知函数=3-5x+2，求f(3), f(-), f(a+1).解：f(3)=3-53+2=14；f(-)=3(-)-5(-)+2=8+5；f(a+1)=3(a+1) -5(a+1)+2=3a+a.例3下列函数中哪个与函数是同一个函数？；解：（）,，定义域不同且值域不同，不是； （）,，定义域值域都相同，是同一个函数；|=,；值域不同，不是同一个函数例4 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ （定义域不同） （定义域不同） （定义域、值域都不同）例1已知 例2已知f(x)=x2-1 g(x)=求fg(x) 解：fg(x)=（）2-1=x+2例3 求下列函数的定义域： 解：要使函数有意义，必须： 即： 函数的定义域为： 要使函数有意义，必须： 定义域为： x|要使函数有意义，必须： 函数的定义域为：要使函数有意义，必须： 定义域为： 要使函数有意义，必须： 即 x 定义域为：例4 若函数的定义域是R，求实数a 的取值范围解：定义域是R,例5 若函数的定义域为-1，1，求函数的定义域解：要使函数有意义，必须：函数的定义域为：求用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.例6 已知f(x)满足，求；已知 ，将中x换成得 ，2-得 .例7 设二次函数满足且=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求的解析式.解：设, 图象过点(0,3),有f(0)=c=3,故c=3；又f(x)满足且=0的两实根平方和为10，得对称轴x=2且=10，即且，a=1，b=-4， 四、练习：1设的定义域是-3，求函数的定义域解：要使函数有意义，必须： 得： 0 函数的定域义为：2已知f(x)是一次函数, 且ff(x)=4x-1, 求f(x)的解析式解：设f(x)=kx+b则 k(kx+b)+b=4x-1则 或 或3若,求f(x) 解法一（换元法）：令t=则x=t-1, t1代入原式有 （x1） 解法二（定义法）： 1 (x1)例1 判断下列对应是否映射？有没有对应法则？ a e a e a e b f b f b f c g c g c g d d (是) （不是） （是） 是映射的有对应法则，对应法则是用图形表示出来的例2下列各组映射是否同一映射？a e a e d e b f b f b f c g c g c g例3判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？ （1）设A=1，2，3，4，B=3，4，5，6，7，8，9，对应法则 （2）设，对应法则 （3），（4）设 （5），例1某种笔记本每个5元，买 x1,2,3,4个笔记本的钱数记为y（元），试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像解：这个函数的定义域集合是1,2,3,4，函数的解析式为y=5x，x1,2,3,4.它的图象由4个孤立点A (1， 5)B (2， 10)C (3， 15)D (4， 20)组成，如图所示例2 国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g付邮资80分，超过20g而不超过40g付邮资160分，依次类推，每封x g(00时，值域为；当a0，=，当x0时，则当时，其最小值；当a0）时或最大值（a0）时，再比较的大小决定函数的最大（小）值.若a,b,则a,b是在的单调区间内，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值.注：若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.3判别式法（法）：判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论例3求函数的值域方法一：去分母得 (y-1)+(y+5)x-6y-6=0 当 y1时 xR =(y+5)+4(y-1)6(y+1)0由此得 (5y+1)0检验 时 （代入求根）2 定义域 x| x2且 x3 再检验 y=1 代入求得 x=2 y1综上所述，函数的值域为 y| y1且 y方法二：把已知函数化为函数 (x2) 由此可得 y1 x=2时 即 函数的值域为 y| y1且 y说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.4换元法例4求函数的值域解：设 则 t0 x=1-代入得 t0 y45分段函数例5求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 解法1：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是y|y3.解法2：函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，易见y的最小值是3，函数的值域是3，+. 如图 两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法.例1 如图6是定义在闭区间-5，5上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数. 解：函数的单调区间有-5，-2)，-2，1)，1，3)，3，5，其中在区间-5，-2)，1，3)上是减函数，在区间-2，1)，3，5上是增函数.说明：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点.例2 证明函数在R上是增函数.证明：设是R上的任意两个实数，且，则=(3+2)-(3+2)=3(), 由x,得0 ,于是0,即 .在R上是增函数.例3 证明函数在(0,+)上是减函数.证明：设,是(0,+)上的任意两个实数，且0,又由0 ,于是0,即 在(0,+ )上是减函数.例4讨论函数在(-2,2)内的单调性.解：，对称轴 若,则在(-2,2)内是增函数；若则在(-2,a)内是减函数,在a,2内是增函数若,则在(-2,2)内是减函数.1函数单调性的证明例1判断并证明函数的单调性证明：设则 ，,即 （注：关键的判断）在R上是增函数. 2复合函数单调性的判断对于函数和，如果在区间上是具有单调性，当时，且在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性的规律见下表：增 减 增 减 增 减 增 减 减 增 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.证明：设，且在上是增函数，且在上是增函数，.所以复合函数在区间上是增函数设，且，在上是增函数，且在上是减函数，.所以复合函数在区间上是减函数设，且，在上是减函数，且在上是增函数，.所以复合函数在区间上是减函数设，且，在上是减函数，且在上是减函数，.所以复合函数在区间上是增函数例2求函数的值域，并写出其单调区间解：题设函数由和复合而成的复合函数，函数的值域是，在上的值域是.故函数的值域是.对于函数的单调性，不难知二次函数在区间上是减函数，在区间上是增函数；二次函数区间上是减函数，在区间上是增函数当时，即，或.当时，即，.因此，本题应在四个区间，上考虑 当时，而在上是增函数，在上是增函数，所以，函数在区间上是增函数当时，而在上是增函数，在上是减函数，所以，函数在区间上是减函数当时，而在上是减函数，在上是减函数，所以，函数在区间上是增函数当时，而在上是增函数，在上是减函数，所以，函数在区间上是减函数综上所述，函数在区间、上是增函数；在区间、上是减函数另外，本题给出的复合函数是偶函数，在讨论具有奇偶性的函数的单调性时，应注意应用其奇函数或偶函数的性质，以使解题过程简捷、清楚、具有条理性例1某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量留是原来的一半（结果保留1个有效数字）分析：通过恰当假设，将剩留量y表示成经过年数x的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求解：设这种物质量初的质量是1，经过x年，剩留量是y经过1年，剩留量y=184%=0.841;经过2年，剩留量y=184%=0.842; 一般地，经过x年，剩留量y=0.84根据这个函数关系式可以列表如下：x0123456y10.840.710.590.500.420.35用描点法画出指数函数y=0.84x的图象从图上看出y=0.5只需x4.答：约经过4年，剩留量是原来的一半评述：指数函数图象的应用；数形结合思想的体现例2 （课本第81页）比较下列各题中两个值的大小：，； ，； ，解：利用函数单调性与的底数是1.7，它们可以看成函数 y=，当x=2.5和3时的函数值；因为1.71，所以函数y=在R是增函数，而2.53，所以，；与的底数是0.8，它们可以看成函数 y=，当x=-0.1和-0.2时的函数值；因为00.8-0.2，所以，1；小结：对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；对不同底数是幂的大小的比较可以与中间值进行比较.例1求下列函数的定义域、值域： 分析：此题要利用指数函数的定义域、值域，并结合指数函数的图象注意向学生指出函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量x的取值范围解（1）由x-10得x1 所以，所求函数定义域为x|x1由 ，得y1所以，所求函数值域为y|y0且y1说明：对于值域的求解，在向学生解释时，可以令，考察指数函数y=,并结合图象直观地得到，以下两题可作类似处理（2）由5x-10得所以，所求函数定义域为x|由 0得y1所以，所求函数值域为y|y1（3）所求函数定义域为R由0可得+11所以，所求函数值域为y|y1通过此例题的训练，学会利用指数函数的定义域、值域去求解指数形式的复合函数的定义域、值域，还应注意书写步骤与格式的规范性例2求函数的单调区间，并证明解：设 则 当时， 这时 即 ，函数单调递增 当时， 这时 即 ，函数单调递减 函数y在上单调递增，在上单调递减解法二、（用复合函数的单调性）：设： 则：对任意的，有，又是减函数 在是减函数对任意的，有，又是减函数 在是增函数引申：求函数的值域 （）小结：复合函数单调性的判断(见第8课时)例3设a是实数，试证明对于任意a,为增函数；分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明还应要求学生注意不同题型的解答方法（1）证明：设R,且则由于指数函数 y=在R上是增函数,且,所以即0得+10, +10所以0时，将指数函数y=的图象向右平行移动m个单位长度，就得到函数y=的图象；当m1）的图像在直线x=1右侧的部分翻折到直线x=1左侧得到的图像，是关于直线x=1对称推广：对于有些复合函数的图象，则常用基本函数图象+变换方法作出：基本函数图象+变换：即把我们熟知的基本函数图象，通过平移、作其对称图等方法，得到我们所要求作的复合函数的图象，如上例，这种方法我们遇到的有以下几种形式：函 数y=f(x)y=f(x+a)a0时，向左平移a个单位；a0时，向上平移a个单位；a0时，向下平移|a|个单位.y=f(-x)y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称.y=-f(x)y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称.y=-f(-x)y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点轴对称.y=f(|x|)y=f(|x|)的图象关于y轴对称，x0时函数即y=f(x)，所以x0时的图象与x0时y=f(x)的图象关于y轴对称.y=|f(x)|，y=|f(x)|的图象是y=f(x)0与y=f(x)0图象的组合.yy=与y=f(x)的图象关于直线y=x对称.以上是在高一阶段我们看到的几种函数图象的变换，但随着知识的增加，还会有许多较复杂的变换，以后再作研究.例3探讨函数和 的图象的关系，并证明关于y轴对称 证：设P(,)是函数 的图象上任意一点 则 而P(,)关于y轴的对称点Q是(-,) 即Q在函数的图象上 由于P是任意取的,所以上任一点关于y轴的对称点都在的图象上 同理可证： 图象上任意一点也一定在函数的图象上 函数和的图象关于y轴对称例4 已知函数 求函数的定义域、值域解：作出函数图像，观察分析讨论，教师引导、整理定义域为 R由得 xR, 0, 即 , , 又，例1已知函数的定义域是0，1，则函数的定义域是_.解：由01,解得-11 的定义域为1，1.评述：针对题目中函数关系抽象的特点，可将具体化，能有助于对问题的理解与判断.设=,它的定义域是0，1，这时，= 的定义域是-1，1，由此可见，列举实例是处理抽象函数有关问题的有效方法.例2若函数f(x)=x+bx+c对任意实数x都有f(2+x)=f(2-x)，那么（ ）A.f(2)f(1)f(4) B.f(1)f(2)f(4)C.f(2)f(4)f(1) D.f(4)f(2)f(1) 分析：此题解决的关键是将函数的对称语言转化为对称轴方程.解：由f(2+x)=f(2-x)可知：函数f(x)的对称轴为x=2,由二次函数f(x)开口方向向，可得f(2)最小，又f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0)在x2时，y=f(x)为减函数012，f(0)f(1)f(2)即f(2)f(1)f(4)答案：A通过此题可将对称语言推广如下：（1）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(a-x)成立，则x=a是函数f(x)的对称轴（2）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(b-x)成立，则x=是f(x)的对称轴.例3求f(x)=x-2ax+2在2，4上的最大值和最小值. 解：先求最小值.因为f(x)的对称轴是x=a，可分以下三种情况：（1）当a2时，f(x)在2，4上为增函数，所以f(x)min=f(2)=6-4a;(2)当2a4时，f(a)为最小值，f(x)min=2-a;(3)当a4时，f(x)在2，4上为减函数，所以f(x)min=f(4)=18-8a综上所述：f(x)min=最大值为f(2)与f(4)中较大者：f(2)-f(4)=(6-4a)-(18-8a)=12+4a(1)当a3时，f(2)f(4),则f(x)max=f(2)=6-4a;(2)当a3时，f(2)f(4),则f(x)max=f(4)=18-8a.故f(x)max=评述：本题属于二次函数在给定区间上的最值问题，由于二次函数的系数含有参数，对称轴是变动的，属于“轴动区间定”，由于图象开口向上，所以求最小值要根据对称轴x=a与区间2，4的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端点取得时，只须比较f(2)与f(4)的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两种情况.例4函数f(x)=x-bx+c，满足对于任何xR都有f(1+x)=f(1-x)，且f(0)=3,则f(b)与f(c)的大小关系是（ ）A.f(b)f(c) B.f(b)f(c)C.f(b)f(c) D.f(b)f(c)分析：由对称语言f(1+x)=f(1-x)可以确定函数对称轴，从而确定b值，再由f(0)=3,可确定c值，然后结合b,c的大小关系及二次函数的单调区间使问题得以解决.解：f(1+x)=f(1-x)f(x)的对称轴x=-=1b=2,又f(0)=3,c=3,f(x)=x-2x+3(1)当x0时，123,且f(x)在1，+上是增函数所以f(2)f(3),即f(b)f(c)(2)当x0时，123,且f(x)在（-,1）上是减函数，所以f(2)f(3)，即f(b)f(c)(3)当x=0时，2=3=1则f(2)=f(3),即f(b)=f(c)综上所述，f(b)f(c).答案：A一、选择题1、设集合A和集合B都是自然数集合N，映射把集合A中的元素映射到集合B中的元素，则在映射下，象20的原象是（A）2（B）3（C）4（D）52、已知不等式为，则的取值范围 （A）（B）（C）（D）3、函数在定义域上的单调性为 （A）在上是增函数，在上是增函数 （B）减函数（C）在上是减增函数，在上是减函数 （D）增函数4、函数的定义域为A，函数的定义域为B，则（A）（B） （C）（D）5、（不做）若函数的图象经过，那么的反函数图象经过点(A)(B)(C)(D)6、下列式子或表格，其中,x12345y9089898595其中表示是的函数的是（A）（B）（C）（D）7、（不做）已知函数的反函数的定义域为，那么函数的值域是（A）（B）（C）（D）R8、已知函数在上递增，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）9、已知二次函数的图像开口向上，且，则实数取值范围是(A) (B) (C) (D) 10、函数(，且)的图象必经过点(A)(0，1) (B)(1，1) (C) (