正态分布大数定律与中心极限定理.ppt

一、正态分布的概率密度函数与分布函数 1.背景：正态分布是现代统计学的基础。18世纪科学家发现测 量的误差具有惊人的规律性，这种规律性满足类似于某种特殊 的“中间大，两头小”的特征，现实中众多的问题都具有这种特 性，棣美佛、拉普拉斯、高斯是最初研究类似现象并发现了其 密度和分布的数学家。他们将这种分布称为正态分布。 2.一般正态分布的概率密度函数与分布函数 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 记作 其中 及 0都为常数，这种分布叫做正态分布或高斯分布。 设连续型随机变量 X 的概率密度为 1.正态变量的密度函数 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 特别地，当 时，正态分布 叫做标准正态分布。 其概率密度为 2.正态分布 的密度曲线 若固定=0 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 0.5 3.正态变量的分布函数 4.标准正态分布的密度函数与分布函数 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 4.正态密度函数的性质 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 （3） 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 若 , 求X 落在区间 内的概率， 其中 例题4.1.2 例题4.1.1 , 解：查表可得 ： 故 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 解 查表得 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 拐点 拐点 随机变量 X 落在 之外的概率小于3。 通常认为这一概率很小，根据小概率事件的实际不可能性 原理，我们常把区间看作是随机变量 X 的 实际可能的取值区间这一原理叫做三倍标准差原理（或3 法则）。 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 例4.1.3 把温度调节器放入储存着某种液体的容器中， 调节器的设定温度 为d 度,已知液体的温度T是随机变量，且 （1）若度的概率； 度，求 （2）若要求保持液体的温度至少为80度的概率不少于0.99， 问d至少为多少度？ 解 （1）由已知，所求的概率为 （2）据题意，需求d,使得因为 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 利用0.9901正态分布表，有所以 即故设定温度d至少为81.165度. 一般地，给定实数存在实数使得 为随机变量X上的则称百分位点. 百分位点的解释和应用在数理统计部分还要详细说明 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 二、正态分布的数字特征 1.数学期望 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 1.方差 3.中心矩 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 若 k 为偶数， 若 k 为奇数，奇函数对称积分则： 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 例题4.1.4 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 例题4.1.5（2009，4分） 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 二维随机变量( X,Y ) 的正态分布概率密度表示如下： 其中，参数 及 分别是随机变量 X 及 Y 的数学期望， 及 分别是它们的标准差，参数参数 r 是它们的相关系数。 三、二维正态分布 1.二维正态分布的密度 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 2.二维正态分布的边缘密度 定理4.2.1 其中 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 置换积分变量 但是，一定注意，反过来，两个一维正态分布未必能确定二 维正态分布. 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 3.二维正态分布的独立性与相关系数 应用相关系数公式 能够计算出： 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 另外, 若设相关系数为零，则 如果随机变量X与 Y 独立, 并且都服从正态分布,则 在二维维正态态分布中，独立性与不相关是一致的，这是二维 正态分布的一个重要特征. 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 例4.2.2 设随机变量X 与Y 独立, 并且都服从正态分布 N (0, 1) , 求的概率密度. 解 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 例题4.2.3 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 四、正态变量的线性函数的分布 定理 4.3.1 证 由于 是单调函数，且反函数为 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 推论 定理4.3.2 证 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 以上结论还可以推广到更一般的情况 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 例题4.3.1 定理4.3.3 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 例题4.3.2 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 四、切比雪夫定理 1.背景：若已知一个随机变量分布的均值与方差，那么随 机变量值的是以什么形式集中在均值附近？例如某年级1000名 学生线性代数课程成绩的均值为85分，我们关心的是，有多少 学生的成绩集中在均值附近？ 2.切比雪夫定理（不等式）： 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 例题4.4.1 设独立随机变量 并且方差是一致有上界的，即存在某 则对于任何正数 ，恒有 定理2（切比雪夫大数定理） 分别有数学期望 及方差 D(X1), 一常数K，使得 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 证 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 3.依概率收敛定义 推论： 存在: 设独立随机变量 服从同一分布,期望及方差 则对于任何正数 ，有 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 在独立试验序列中,设事件 A 的概率P(A) = p，定理3(伯努利定理） 按概率收敛于事件 A 的概率p.即对于任何正数 则事件 A在 n 次独立试验中发生的频率fn(A),当试验次数 , 有 证 设随机变量 Xi 表示事件A 在第 i 次试验中发生的次数 (i=1,2, ,n, ), 则这些随机变量相互独立，服从相同的0-1分布， 且有数学期望与方差： 由切比雪夫定理的推论即得 而就是事件A在n次试验中发生的次数m，由此可知 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 五、中心极限定理 1.背景：大数定理告诉我们，随机变量个数很大时，独立随机 变量之和收敛于其均值的和。此时，独立随机变量之和的标准 变量的概率分布应是什么状态？中心极限定理告诉我们，变量 个数很大时，和的分布依概率收敛于标准正态分布。 设随机变量之和为: 且数学期望和方差都存在： 设随机变量相互独立, 则 则和的标准变量为： 2.中心极限定理变量的设定 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 列维定理列维定理 服从相同的分布， 并且有数学期望和方差： 则当 时， (z 为任意实数) 设独立随机变量 它们和的极限分布是正态分布，即 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理 各次实验中发生的概率为 棣莫弗拉普拉斯定理 n 次实验中发生的次数, 则有 其中z 是任何实数， 设在独立实验序列中,事件A 在 随机变量 表示事件A 在