线性代数1.1n阶行列式.ppt

线 性 代 数 Linear Algebra 2012 1 q 办公室 博学楼1305 q 电子邮箱 q 电话 64492560 q 教学辅助平台(tas) 线性代数(许静) q 答疑时间 每周四下午2：305：00 2 q教材及参考书 v经济数学基础第二分册 线性代数 第4版 龚德恩等编 四川人民出版社 v高等代数 北京大学几何代数教研室编 高等教育出版社 v线性代数题型归纳与练习题集 黄先开主编 文灯系列 v线性代数解题思路和方法 世界图书出版公司 3 q关于作业 v从主观上要重视作业。 v独立完成；抄答案按不交处理。 q 加强课堂秩序管理 v随机抽查点名，旷课、迟到要扣除平时分。 v关闭手机，或设为震动。 q 怎样学好数学 v信心 v方法：模仿理解提问会用掌握 v坚持 4 线性代数课程的地位和作用 线性代数主要处理线性关系的问题，其理论不仅渗透到 数学的许多分支中，而且在物理、化学、工程技术、经济 、管理、生物技术等领域有着广泛的应用，如莱斯利人口 模型、投入产出数学模型、线性规划模型等。 该课程能培养逻辑推理和抽象思维能力、空间直观和想 象能力。通过线性代数的学习，能获得应用科学中常用的 矩阵、线性方程组等基本知识,本课程是后继课程的基础， 如运筹学，经济计量学，投资与决策,线性规划等。 随着计算机的发展，大规模计算问题都要使用线性代数 中的工具，如Matlab等应用软件。数学建模的首选软件。 5 线性代数的特点 抽象 “难得糊涂”: 忽略差别,提取共同点 例如：切线斜率、速度、经济学中的边际量.，共 同点是导数；同理，线性代数中的不同问题有可能 都归结为解一个线性代数的问题。 6 第一章 行列式 学习要求 理解行列式的定义及性质。 掌握用行列式的定义、性质和有关定理计算行 列式的方法。 掌握行列式的展开方法（按某行、多行展开), 并会用于简化行列式的计算。 掌握克莱姆法则。 7 1.1 n阶行列式 一 、二阶、三阶行列式 二、排列及其逆序数 三、n阶行列式 8 例1：求解二元一次线性方程组 由方程组的四个系数确定. 用消元法求解得 一、二阶、三阶行列式 9 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 称列）的数表 定义定义 即 (1) (1) 10 二阶行列式计算方法：（对角线法则） 取“-”号 （副对角线） 取“+”号 （主对角线） 记 对于二元线性方程组 系数行列式 11 对系数行列式 则二元线性方程组的解为 12 例2：求解三元一次线性方程组 13 取“-”号 （副对角线） 取“+”号 （主对角线） 三阶行列式计算方法：对角线法则 【注】三阶行列式包括3!6项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积，其中三项为正，三项为负。 14 例3 计算行列式 15 例4 解线性方程组 解解由于方程组的系数行列式 16 同理可得 故方程组的解为: 17 问题 如何计算四阶行列式？ 说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 思考 为什么不能用类似的对角线法则计算？ 18 n级排列：由n个自然数，n组成的有序 数列 称为一个n级（阶、元）排列. 逆序： 一个排列中的任意两数，如大数在小数 之前排列，则构成一个逆序。 逆序数： n 级排列 中逆序的总个数， 记做 。 二、 排列及其逆序数 例如 排列32514 中， 3 2 5 1 4 逆序 逆序 逆序 (32514)=5 19 奇排列：逆序数为奇数的排列。 偶排列：逆序数为偶数的排列。 对换：某两数位置互换称为排列的一次对换。 例1 求 i, j 使六级排列 2 5 i 4 j 1 为偶排列。 2 5 3 4 6 1 2 5 6 4 3 1 （3,6） 【注】 逆序数为0的排列称作偶排列, 如 . 该排列称为自然序排列。 解 当i=3, j=6时， (253461)= 7，不对 当i=6, j=3时， (256431)= 10，正确。 20 证明相邻两个数对换 除 外，其它元素的逆序数不改变. （ ， ） 结论 对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 排列奇偶性的两条性质 定理1：一个排列经过任意一次对换，改变其奇偶性。 21 次相邻对换 次相邻对换 次相邻对换 所以,一个排列经过一次对换，排列改变奇偶性. 不相邻两个数对换 22 证明 设这n!个n级排列中共有s个奇排列,t个偶排列，现 证s=t. 故必有 奇排列偶排列 所以 前两个数对换 个个 偶排列奇排列 所以 前两个数对换 个个 定理2: n个元素(n)共有n!个n级排列,其中奇、偶排 列各占一半,即各有 个. 23 先分析三阶行列式的计算 归纳每项内容及符号的规律 三阶行列式共有6项，即 项 （1）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积 （2）符号： 当行标按1，2，3排列时，每项都可写成 每项符号决定于列标排列的逆序数，即 其中 为列标全排列. 三、 n阶行列式 24 定义 n 阶行列式 是所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的代数和。 一般项 符号 25 n阶行列式的特点 (1)一般项：取自不同行不同列的n个元素之积， 行号按自然序1,2,n排列。 (2)求和项数：所有不同行不同列的元素的乘积 共有n!项。 (3)各项符号：当行号按自然序1,2,n排列，列号 构成奇排列，取“”，偶排列，取“”。 (4)行列式记号：第i行第j列的元素记做aij, 行列 式简记为|aij|，det(aij). (5)一阶行列式：|a11| a11 。 26 例1 判断下列各项是否为 四 阶行列式中的项，若 是，求符号。 27 n阶行列式的等价定义 （1）行、列下标任意排列 （2）列按自然序排列 行号 逆序 数 列号 逆序 数 行号 逆序 数 视情况灵活选用定义 28 主对角线 例2：计算下三角形行列式 解： 记住结论 29 主对角线 上三角形行列式 对角形行列式 30 例3：计算行列式的值 30605 49740 68300 02000 10000 0 0 0 0 0 6 72458 31 一般的， 32 易见 33 例4 已知 34 解 含 的项有两项,即 对应于 35 例5 计算