《高等数学》第二章导数与微分的习题库.pdf

班级 姓名 学号 第二章 导数与微分 共11 页第 1 页 第二章第二章 导数与微分导数与微分 一一、判断题判断题 1. 00 ( )()fxf x ,其中 0 x是函数( )f x定义域内的一个点。 （ ） 2. 若( )f x在 0 x处可导，则( )f x在 0 x处连续。 （ ） 3. 因为( )f xx在0x 处连续，所以( )f x在0x 处可导。 （ ） 4. 因为( )f xx在0x 处的左、右导数都存在，所以( )f x在0x 处可导。（ ） 5. ( )f x在 0 x处可导的充要条件左、右导数存在且相等。 （ ） 6. 若曲线( )yf x在 0 x处存在切线，则 0 ()fx必存在。 （ ） 7. 若 ( )f x 在点 0 x处可导，则曲线( )f x在点 0 x处切线的斜率为 0 fx 。（ ） 8. sinsincos tancot cossin cos xxx xx xx x 。 （ ） 9. 2 2 sincoscossinsin tansec coscos xxxxx xx xx 。 （ ） 10. 若 ( )f x ，g( ) x 在x处均可导，则 ( )g( )( ) g( )f xxf xx 。 （ ） 11. 设 ( )sin cosf xxx ， ( )(sin ).(cos )( sin )cosfxxxxx 。 （ ） 12. 设 2 ( ) x e f x x ，则 ( ) 2 x e fx x 。 （ ） 13. 由参数方程0 y exy的两边求导得 0 y exxy，于是 1 () y yey x 。（ ） 14. ( )n xx ee。 （ ） 15. 3 (cos)sinxx 。 （ ） 16. 3 (sin)cosxx 。 （ ） 17. ( ) (cos )cos() 2 n xxn 。 （ ） 18. 由 ( ) (sin )sin() 2 n xxn 得 ( ) (sin2 )sin(2) 2 n xxn 。 （ ） 19. 43! ln(1) 1 n x x 。 （ ） 班级 姓名 学号 第二章 导数与微分 共11 页第 2 页 20. ( )yf x 在 0 x处可导的充要条件是( )yf x 在 0 x处可微。 （ ） 21. 函数 ( )yf x 在 0 x处可微，且 0 ()0fx ，则当0x 时 y 与dy是的等价无穷小。 （ ） 二二、选择题选择题 1. 当函数 ( )f x 的自变量x由 0 x改变到 0 xx 时，函数值的改变量 y （ ） A. 0 )（f xx B. 0 )（f xx C. 00 )()（f xxf x D. 0 ()f xx 2. 设( )f x在 0 xx处可导,则 0 ()fx= （ ） A. 00 0 )() lim （ x f xxf x x B. 00 0 h)(h) lim 2 h f xf x h （ C. 00 0 )(2 ) lim 2 （ x f xf xx x D. 0 )(0) lim （ x f xf x 3. 函数( )f x在0x 处连续是( )f x在0x 处可导的 （ ） A.必要但非充分条件 B.充分但非必要条件 C.充分必要条件 D.既非充分又必要条件 4. 若 3 2 2 ,1 ( )3 ,1 xx f x xx 则( )f x在1x处 （ ） A.左、右导数都存在 B. 左导数存在，但右导数不存在 C. 右导数存在，但左导数不存在 D. 左、右导数都不存在 5. 曲线lnyx在哪一点处的切线平行于直线23yx （ ） A. 1 ( ,ln2) 2 B. 11 ( , ln) 22 C.(2,ln2) D.(2, ln2) 6. 设函数( )f x在0x 处可导，则 0 (2 )( 3 ) lim h fhfh h = （ ） A. (0) f B. (0) f C. 5(0)f D. 2(0)f 7. 设( )f x可导，则 22 0 ()( ) lim x fxxfx x （ ） A.0 B.2 ( )f x C. 2( )fx D. 2 ( )( )f x fx 8. 设=( - ) ( )（ ）f xx ax,其中( )x在xa连续，则 （ ） A. = ( )（ ）fxx B. = ( )（ ）faa C. =( )（ ）faa D. = ( )()( )（ ）fxxxax 班级 姓名 学号 第二章 导数与微分 共11 页第 3 页 9. 若对于任意x，有 3 =4,(1)1（ ）fxxx f ，则该函数为 （ ） A. 2 4 = 2 （ ） x f xx B. 2 4 5 = 22 （ ） x f xx C. 2 =121（ ）f xx D. 42 =3（ ）f xxx 10. 曲线 3 =3y xx上切线平行于x轴的点是 （ ） A.(0,0) B. ( 2, 2) C. ( 1,2) D. (2,2) 11. 已知( )f x为可导的偶函数，且 0 (1)(1) lim2 2 x fxf x 则曲线( )yf x在处( 1,2)的 切线方程是 （ ） A.46yx B.42yx C.46yx D.42yx 12. 设 1 sin 2 yxx，则 dy dx （ ） A. 1 1cosy 2 B. 1 1cos 2 x C. 2 2cosy D. 2 2cosx 13. 若( )()()()()f xxa xb xc xd， 0 ()()()()fxab ac ad，则（ ） A. 0 xa B. 0 xb . 0 xc D. 0 xd 14. 设lnyxx，则 dx dy （ ） A. 1x x B. 1 x x C. 1 1 x D. 1 x x 15. 设 ( ) g( )fxx，则 2 (sin) d fx dx （ ） A.2 ( )sing xx B.( )sin2g xx C. 2 ( )sing xx D. 2 (sin)sin2gxx 16. 设 ( ) () xf x yf e e，且 ( ) fx存在则 y （ ） A. ( )( ) ()() xf xxf x fe efe e B. ( ) ()( ) xf x f e efx C. ( ) () xf x fe e D. ( ) ()()( ) xxxf x f e ef efxe 17. 已知a是大于零的常数， 2 ( )ln(1) x f xa则 ( 0)f （ ） A.lna B.lna . 1 ln 2 a D. 1 2 18. 已知lnyx，则 ( )n y= ( ) 班级 姓名 学号 第二章 导数与微分 共11 页第 4 页 A.( 1)! nn n x B. 2 ( 1) (1)! nn nx C. 1 ( 1)(1)! nn nx D. 11 ( 1)! nn n x 19. 函数cos(2) 4 yx ，则 ( )n y （ ） A. 2 +1 2 cos(2 +) 4 n n x B.2 cos(2) 4 n n x C.cos(2) 2 n x D. (2 +1) cos 2 4 n x 20. 1 1 nn n yxa xa ，则 ( )n y= （ ） A.0 B.(1)na C.(1)!n D.！n 21. 设 23 ,xatybt，则 2 2 d x dy （ ） A. 2 4 2 9 a b t B. 2 4 2 9 a b t C. 2 4 2 3 a b t D. 2 4 2 3 a b t 22. 参数方程 3 3 cos sin xat yat 确定的函数的二阶导数 2 2 d y dx （ ） A. 2 3 cossinatt B. 2 3 sincosatt C. 4 1 seccsc 2 tt a D. 4 1 seccsc 3 tt a 23. 由方程sin()0 xy exy所确定函数的一阶导数y （ ） A. cos() cos() xy xy yexy xexy B. cos() cos() xy xy yexy xexy C. cos() cos() xy xy exy xexy D. cos() cos() xy xy yexy exy 24. 由方程0 y exy所确定函数的二阶导数 2 2 d y dx （ ） A. 2 2 2 yy y y yexy e ex B. 2 3 2 yy y yexy e ex C. 2 3 2 yy y y exy e x ex D. 2 2 2 yy y yexy e ex 25. 若( )f x可微当0x 时在点x处的ydy 是关于x的 （ ） A.高阶无穷小 B.等价无穷小 C.同阶无穷小 D.低阶无穷小 26. 2 ( )f xx在点 0 x处有增量0.2x ，对应函数值增量的主部为 1.2 时， 0 x=（ ） A.3 B.-3 C.0.3 D.-0.3 三三、填空题填空题 1. 已知 0 (1)(1) lim2 x fxf x ，则(1) f 。 班级 姓名 学号 第二章 导数与微分 共11 页第 5 页 2. 已知(1)2 f ，则 0 (1 2 )(1) lim x fxf x 。 3. 若 0 ()0f x， 0 ()4fx，则极限 0 0 () lim x f xx x 。 4. 若( )f x在 0 x处的导数 0 ()fx ，则 00 0 ()() lim h f xhf xh h 。 5. (0) f存在且(0)0f，则 0 ( ) lim x f x x 。 6. 若 32 f ，则 0 (3)(3) lim 2 h fhf h 。 7. 曲线 x ye在点=x 处切线与连接曲线上两点(0,1)，(1,e)的弦平行。 8. 若函数 2 32yx，则y 。 9. 若函数 2 351yxx，则y 。 10. 若函数 3 21yxx，则y 。 11. 若函数 4 1 23yx x ，则y 。 12. 若函数 32 ( )2537f xxxx，则(1) f 。 13. 设函数 3 5232 xx yxe，y 。 14. 若函数 3 4cossin 2 yxx ，则y 。 15. 若函数sin x yex，则y 。 16. 若函数cos x yex，则y 。 17. 若函数 2 cos2 x yex，则y 。 18. 若函数lnyxx，则y 。 19. 若函数 sin cos1 x y x ，则y 。 20. 若函数 cos sin1 x y x ，则y 。 21. 若函数 1 1 x y x ，则y 。 22. 若函数 3 3 1 1 xx y x ，则y 。 23. 若函数 ln x y x ，则y 。 班级 姓名 学号 第二章 导数与微分 共11 页第 6 页 24. 若函数 sin2x y x ，则y 。 25. 若函数 3 cos1yx，则y 。 26. 若函数 53 1 n yxx，则y 。 27. 若函数 2 lncosyx，则y 。 28. 若函数 2 lncosyx，则y 。 29. 若函数 2 ln1yxx，则y 。 30. 若函数yxx，则y 。 31. 若函数 2 cos 2 x y ，则y 。 32. 若函数 2 sin 2 x y ，则y 。 33. 由参数方程 3 3 cos sin xat yat 确定的函数的导数 dy dx 。 34. 由参数方程 3 2 t t xe ye 确定的函数的导数 dy dx 。 35. 由参数方程 sin cos t t xet yet 确定的函数的导数 dy dx 。 36. 由参数方程 2 ln(1t ) arctan x ytt 确定的函数的导数 dy dx 。 37. 函数 2 sin x ye的微分dy 。 38. 函数cos ax yebx 的微分dy 。 39. 函数 2 arcsin 1yx的微分dy 。 40. 函数 2 lncosyx的微分dy 。 41. 函数 3 ln 1yx的微分dy 。 42. 函数yxx的微分dy 。 四四、求解题、求解题 1. 已知 23 f ，求 0 22 lim x fxfx x 。 班级 姓名 学号 第二章 导数与微分 共11 页第 7 页 2. 已知 0 lim3 22 h h ffh ，求 2 f 。 3. 求函数 3 sin ,0 ,0 xx f x xx 在0x 处的是否可导，并讨论在0x 处的连续性。 4. 求 sin0 ln(1)0 xx f x xx 在0x 处的导数。 5. 求 f xx在0x 处的可导性。 6. 求 1f xx在1x处的可导性。 7. 求函数 2 1 sin,0 0,0 xx yx x 在0x 处的连续性与可导性。 8. 求函数sinyx在0x 处的连续性与可导性。 班级 姓名 学号 第二章 导数与微分 共11 页第 8 页 9. 使函数 2; 3 ;3 xx y axbx 在3x处可导，, a b应取什么值？ 10. 使函数 2; 1 ;1 xx y axbx 在1x处可导，, a b应取什么值？ 11. 设( )f x在 0 x处的导数为 0 ()fx，求 00 0 (3)() lim x f xxf x x 。 12. 设( )f x在 0 x处的导数为 0 ()fx，求 00 0 (3)(2) lim x f xxf xx x 。 13. 设(0) f 存在，且 0 lim( )0 x f x ，求 0 ( ) lim x f x x 。 14. 求曲线lnyx在点, 1e处的切线的斜率，以及切线方程和法线方程。 15. 求曲线 2 2yxx在点1,2处的切线方程和法线方程。 16. 求曲线 1 y x 在点 1 ,2 2 处的切线的斜率，以及切线方程和法线方程。 17. 求曲线 x ye在点0,1处的切线方程和法线方程。 18. 求曲线 2 yx上的一点，使得曲线上过点 1 1x ， 2 3x 连线平行的切线。且求出过 该点的切线方程和法线方程。 19. ( )() ( )f xxax，( )x在xa处有连续的一阶导数，求 ( ) fa。 20. ( )(1)(2)(2015)f xx xxx，求 (0) f。 班级 姓名 学号 第二章 导数与微分 共11 页第 9 页 21. 设函数 1 ln 1 ln x y x ，求 y 。 22. 设函数ln(sectan )yxx，求 y 。 23. 设函数ln(csccot )yxx，求 y 。 24. 设函数 2 1 lnyx，求 y 。 25. 设函数ln tan 2 x y ，求 y 。 26. 设函数ln ln lnyx，求 y 。 27. 设函数 3 x ye，求 y 。 28. 设函数 35 (35)yx，求 y 。 29. 设函数 2 3 1 () 1 x y x ，求 y 。 30. 设函数 3 cos 4yx，求 y 。 31. 设函数 ln cosexy ，求 y 。 32. 设函数 2 2 sin 1 x y x ，求 y 。 33. 设函数lnsinyx，求 y 。 34. 设函数 32 1 2yx，求 y 。 35. 设函数 ln sin x ye，求 y 。 36. 设函数 12 34 xx y xx ，求 y 。 37. 设函数 3 1 1 x y x ，求 y 。 38. 设函数 4 5 2(3) (1) xx y x 求 y 。 班级 姓名 学号 第二章 导数与微分 共11 页第 10 页 39. 设函数 2 3 22 (1) (1) x x y x 求 y 。 40. 设函数 sinx yx，求 y 。 41. 求由方程 2 3570xyxy所确定的隐函数( )yf x的导数。 42. 求由方程1 y yxe 所确定的隐函数( )yf x的导数以及(0) y 。 43. 求由方程1 y yxe 所确定的隐函数( )yf x的导数。 44. 求由方程 22 20yxyb所确定的隐函数( )yf x的导数。 45. 求由方程 x y xye 所确定的隐函数( )yf x的导数。 46. 求由方程 2 290yxy所确定的隐函数( )yf x的导数。 47. 求由方程 33 30xyaxy所确定的隐函数( )yf x的导数。 48. 求由方程ln50 y xey所确定的隐函数( )yf x的导数。 49. 求曲线lnyxx平行于直线2230xy 的法线方程。 50. 求曲线 2 t t xe y ye 在0t 处的切线方程和法线方程。 51. 求曲