《机械振动基础》课后答案北京理工大学出版社修改.pdf

1 1.3设有两个刚度分别为设有两个刚度分别为设有两个刚度分别为设有两个刚度分别为，的线性弹簧如图的线性弹簧如图的线性弹簧如图的线性弹簧如图 T T T T1.3所示，试证明：所示，试证明：所示，试证明：所示，试证明： 1 k 2 k 1)1)1)1)它们并联时的总刚度它们并联时的总刚度它们并联时的总刚度它们并联时的总刚度为：为：为：为： eq k 21 kkkeq+= 2)2)2)2)它们串联时的总刚度它们串联时的总刚度它们串联时的总刚度它们串联时的总刚度满足：满足：满足：满足： eq k 21 111 kkkeq += 解：解：解：解：1)1)1)1)对系统施加力对系统施加力对系统施加力对系统施加力P P P P，则两个弹簧的变形相同为，则两个弹簧的变形相同为，则两个弹簧的变形相同为，则两个弹簧的变形相同为，但受力，但受力，但受力，但受力x 不同，分别为：不同，分别为：不同，分别为：不同，分别为： 11 22 Pk x Pk x = = 由力的平衡有：由力的平衡有：由力的平衡有：由力的平衡有： 1212 ()PPPkkx=+=+ 故等效刚度为：故等效刚度为：故等效刚度为：故等效刚度为： 12eq P kkk x =+ 2)2)2)2)对系统施加力对系统施加力对系统施加力对系统施加力P P P P，则两个弹簧的变形为：，则两个弹簧的变形为：，则两个弹簧的变形为：，则两个弹簧的变形为： ，弹簧的总变形为：，弹簧的总变形为：，弹簧的总变形为：，弹簧的总变形为： 1 1 2 2 P x k P x k = = 12 12 11 ()xxxP kk =+=+ 故等效刚度为：故等效刚度为：故等效刚度为：故等效刚度为： 12 2112 111 eq k kP kxkkkk =+ + 1.4求图所示扭转系统的总刚度。两个串联的轴的扭转刚度分别为求图所示扭转系统的总刚度。两个串联的轴的扭转刚度分别为求图所示扭转系统的总刚度。两个串联的轴的扭转刚度分别为求图所示扭转系统的总刚度。两个串联的轴的扭转刚度分别为，。 1t k 2t k 解：对系统施加扭矩解：对系统施加扭矩解：对系统施加扭矩解：对系统施加扭矩 T T T T，则两轴的转角为：，则两轴的转角为：，则两轴的转角为：，则两轴的转角为： 1 1 2 2 t t T k T k = = 系统的总转角为：系统的总转角为：系统的总转角为：系统的总转角为： ， 12 12 11 () tt T kk =+=+ 12 111 () eqtt kTkk =+ 故等效刚度为：故等效刚度为：故等效刚度为：故等效刚度为： 12 111 eqtt kkk =+ 2 1.5两只减振器的粘性阻尼系数分别为两只减振器的粘性阻尼系数分别为两只减振器的粘性阻尼系数分别为两只减振器的粘性阻尼系数分别为，试计算总粘性阻尼系数，试计算总粘性阻尼系数，试计算总粘性阻尼系数，试计算总粘性阻尼系数 1 c 2 c eq c 1)1)1)1)在两只减振器并联时，在两只减振器并联时，在两只减振器并联时，在两只减振器并联时， 2)2)2)2)在两只减振器串联时。在两只减振器串联时。在两只减振器串联时。在两只减振器串联时。 解：解：解：解：1)1)1)1)对系统施加力对系统施加力对系统施加力对系统施加力 P P P P，则两个减振器的速度同为，则两个减振器的速度同为，则两个减振器的速度同为，则两个减振器的速度同为 ，受力分别为：，受力分别为：，受力分别为：，受力分别为：x 11 22 Pc x Pc x = = 由力的平衡有：由力的平衡有：由力的平衡有：由力的平衡有： 1212 ()PPPccx=+=+ 故等效刚度为：故等效刚度为：故等效刚度为：故等效刚度为： 12eq P ccc x =+ 2)2)2)2)对系统施加力对系统施加力对系统施加力对系统施加力P P P P，则两个减振器的速度为：，则两个减振器的速度为：，则两个减振器的速度为：，则两个减振器的速度为： ，系统的总速度为：，系统的总速度为：，系统的总速度为：，系统的总速度为： 1 1 2 2 P x c P x c = = 12 12 11 ()xxxP cc =+=+ 故等效刚度为：故等效刚度为：故等效刚度为：故等效刚度为： 12 11 eq P c xcc =+ 1.6一简谐运动，振幅为一简谐运动，振幅为一简谐运动，振幅为一简谐运动，振幅为 0.5cm0.5cm0.5cm0.5cm，周期为，周期为，周期为，周期为0.15s0.15s0.15s0.15s，求最大速度和加速度。，求最大速度和加速度。，求最大速度和加速度。，求最大速度和加速度。 解：解：解：解：简谐运动的简谐运动的简谐运动的简谐运动的，振幅为，振幅为，振幅为，振幅为； 22 (/ ) 0.15 n rad s T = 3 5 10m 即：即：即：即： 3 3 322 2 5 10cos()( ) 0.15 22 5 10sin()(/ ) 0.150.15 22 5 10() cos()(/) 0.150.15 xt m xtt m s xtt m s = = = 所以：所以：所以：所以： 3 max 322 max 2 5 10(/ ) 0.15 2 5 10() (/) 0.15 xm s xm s = = 1.1试举出振动设计、系统识别和环境预测的实例。试举出振动设计、系统识别和环境预测的实例。试举出振动设计、系统识别和环境预测的实例。试举出振动设计、系统识别和环境预测的实例。 1.2如果把双轴汽车的质量分别离散到前、后轴上去，在考虑悬架质量和非如果把双轴汽车的质量分别离散到前、后轴上去，在考虑悬架质量和非如果把双轴汽车的质量分别离散到前、后轴上去，在考虑悬架质量和非如果把双轴汽车的质量分别离散到前、后轴上去，在考虑悬架质量和非悬悬悬悬 架质量两个离散质量的情况下，画出前轴或后轴垂直振动的振动模型简图，并架质量两个离散质量的情况下，画出前轴或后轴垂直振动的振动模型简图，并架质量两个离散质量的情况下，画出前轴或后轴垂直振动的振动模型简图，并架质量两个离散质量的情况下，画出前轴或后轴垂直振动的振动模型简图，并 指出在这种化简情况下，汽车振动有几个自由度指出在这种化简情况下，汽车振动有几个自由度指出在这种化简情况下，汽车振动有几个自由度指出在这种化简情况下，汽车振动有几个自由度? ? ? ? 3 1.7一加速度计指示出结构振动频率为一加速度计指示出结构振动频率为一加速度计指示出结构振动频率为一加速度计指示出结构振动频率为82Hz82Hz82Hz82Hz，并具有最大加速度，并具有最大加速度，并具有最大加速度，并具有最大加速度 50g50g50g50g，求振，求振，求振，求振动动动动 的振幅。的振幅。的振幅。的振幅。 解：由解：由解：由解：由可知：可知：可知：可知： 2 maxn xA = 2 maxmax 22222 50 9.8/9.8 (2)(225) 1/50 n xxm s Am fs = 1.8证明：两个同频率但不同相角的简谐运动的合成仍是同频率的简谐运动，证明：两个同频率但不同相角的简谐运动的合成仍是同频率的简谐运动，证明：两个同频率但不同相角的简谐运动的合成仍是同频率的简谐运动，证明：两个同频率但不同相角的简谐运动的合成仍是同频率的简谐运动， 即：即：即：即：，并讨论，并讨论，并讨论，并讨论, , , ,，三种特例。三种特例。三种特例。三种特例。)cos()cos(cos=+tCtBtA0=2/ 证明：证明：证明：证明： 22 22 coscos() coscoscossinsin (cos )cossinsin (cos )( sin) cos() 2coscos() cos() AtBt AtBtBt ABtBt ABBt AABBt Ct + =+ =+ =+ =+ = 其中：其中：其中：其中： 22 sin () cos 2cos B arctg AB CAABB = + =+ 1)1)1)1)当当当当时：时：时：时：；0=0;CAB=+ 2)2)2)2)当当当当时：时：时：时：； 2 = 22 (/);arctg B A CAB=+ 3)3)3)3)当当当当时：时：时：时：；=0;CAB= 1.9把复数把复数把复数把复数4+5i4+5i4+5i4+5i 表示为指数形式。表示为指数形式。表示为指数形式。表示为指数形式。 解：解：解：解：，其中：，其中：，其中：，其中：， i 4+5i=Ae 22 45A=+ 5 ( ) 4 arctg= 01.10证明：一个复向量用证明：一个复向量用证明：一个复向量用证明：一个复向量用 i i i i 相乘，等于把它旋转相乘，等于把它旋转相乘，等于把它旋转相乘，等于把它旋转。2/ 证明：证明：证明：证明： ii ii 22 AeAeeAei + = 4 11.11证明：梯度算子证明：梯度算子证明：梯度算子证明：梯度算子是线性微分算子，即是线性微分算子，即是线性微分算子，即是线性微分算子，即 ),(),(),(),(zyxgbzyxfazyxbgzyxaf+=+ 这里，这里，这里，这里，a a a a, , , ,b b b b是与是与是与是与x x x x、y y y y、z z z z无关的常数。无关的常数。无关的常数。无关的常数。 21.12 求函数求函数求函数求函数的均方值。考虑的均方值。考虑的均方值。考虑的均方值。考虑p p p p与与与与q q q q之间的如下三种之间的如下三种之间的如下三种之间的如下三种tqBtpAtgcoscos)(+= 关系：关系：关系：关系： ，这里，这里，这里，这里n n n n为正整数；为正整数；为正整数；为正整数；npq= 为有理数；为有理数；为有理数；为有理数；pq/ 为无理数。为无理数。为无理数。为无理数。pq/ 31.13汽车悬架减振器机械式常规性能试验台，其结构形式之一如图汽车悬架减振器机械式常规性能试验台，其结构形式之一如图汽车悬架减振器机械式常规性能试验台，其结构形式之一如图汽车悬架减振器机械式常规性能试验台，其结构形式之一如图 T T T T31.13 所示。其激振器为曲柄滑块机构，在导轨下面垂向连接被试减振器。试分析减所示。其激振器为曲柄滑块机构，在导轨下面垂向连接被试减振器。试分析减所示。其激振器为曲柄滑块机构，在导轨下面垂向连接被试减振器。试分析减所示。其激振器为曲柄滑块机构，在导轨下面垂向连接被试减振器。试分析减 振器试验力学的基本规律振器试验力学的基本规律振器试验力学的基本规律振器试验力学的基本规律( ( ( (位移、速度、加速度、阻尼力位移、速度、加速度、阻尼力位移、速度、加速度、阻尼力位移、速度、加速度、阻尼力) ) ) )。 图图图图 T T T T31.13 41.14汽车悬架减振器机械式常规性能试验台的另一种结构形式如图汽车悬架减振器机械式常规性能试验台的另一种结构形式如图汽车悬架减振器机械式常规性能试验台的另一种结构形式如图汽车悬架减振器机械式常规性能试验台的另一种结构形式如图 T T T T41.14 所示。其激振器采用曲柄滑块连杆机构，曲柄被驱动后，通过连杆垂向带动与所示。其激振器采用曲柄滑块连杆机构，曲柄被驱动后，通过连杆垂向带动与所示。其激振器采用曲柄滑块连杆机构，曲柄被驱动后，通过连杆垂向带动与所示。其激振器采用曲柄滑块连杆机构，曲柄被驱动后，通过连杆垂向带动与 滑块连接的被试减振器。试分析在这种试验台上的减振器试验力学的基本规律滑块连接的被试减振器。试分析在这种试验台上的减振器试验力学的基本规律滑块连接的被试减振器。试分析在这种试验台上的减振器试验力学的基本规律滑块连接的被试减振器。试分析在这种试验台上的减振器试验力学的基本规律， ， ， ， 并与前题比较。并与前题比较。并与前题比较。并与前题比较。 图图图图 T T T T41.14 5 2.1弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为。设将物体向下拉，使弹簧有静伸长。设将物体向下拉，使弹簧有静伸长。设将物体向下拉，使弹簧有静伸长。设将物体向下拉，使弹簧有静伸长 ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。3 解：设物体质量为解：设物体质量为解：设物体质量为解：设物体质量为，弹簧刚度为，弹簧刚度为，弹簧刚度为，弹簧刚度为，则：，则：，则：，则：mk ，即：，即：，即：，即：mgk=/ n k mg= 取系统静平衡位置为原点取系统静平衡位置为原点取系统静平衡位置为原点取系统静平衡位置为原点，系统运动方程为：，系统运动方程为：，系统运动方程为：，系统运动方程为：0x= （参考教材（参考教材（参考教材（参考教材P14P14P14P14） += = = 0 0 0 2 0 mxkx x x 解得：解得：解得：解得：=( )2 cos n x tt 2.2弹簧不受力时长度为弹簧不受力时长度为弹簧不受力时长度为弹簧不受力时长度为65cm65cm65cm65cm，下端挂上，下端挂上，下端挂上，下端挂上1kg1kg1kg1kg 物体后弹簧长物体后弹簧长物体后弹簧长物体后弹簧长85cm85cm85cm85cm。设用手托。设用手托。设用手托。设用手托 住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期 及弹簧力的最大值。及弹簧力的最大值。及弹簧力的最大值。及弹簧力的最大值。 解：由题可知：弹簧的静伸长解：由题可知：弹簧的静伸长解：由题可知：弹簧的静伸长解：由题可知：弹簧的静伸长0.85 0.650.2( )m= 所以：所以：所以：所以： 9.8 7(/ ) 0.2 n g rad s= 取系统的平衡位置为原点，得到：取系统的平衡位置为原点，得到：取系统的平衡位置为原点，得到：取系统的平衡位置为原点，得到： 系统的运动微分方程为：系统的运动微分方程为：系统的运动微分方程为：系统的运动微分方程为： 2 0 n xx+= 其中，初始条件：其中，初始条件：其中，初始条件：其中，初始条件：（参考教材（参考教材（参考教材（参考教材P14P14P14P14） (0)0.2 (0)0 x x = = 所以系统的响应为：所以系统的响应为：所以系统的响应为：所以系统的响应为： ( )0.2cos( ) n x tt m= 弹簧力为：弹簧力为：弹簧力为：弹簧力为：( )( )cos() kn mg Fkx tx tt N= 因此：振幅为因此：振幅为因此：振幅为因此：振幅为0.2m0.2m0.2m0.2m、周期为、周期为、周期为、周期为、弹簧力最大值为、弹簧力最大值为、弹簧力最大值为、弹簧力最大值为 1N1N1N1N。 2 ( ) 7 s 6 2.3重物重物重物重物悬挂在刚度为悬挂在刚度为悬挂在刚度为悬挂在刚度为的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物从高度从高度从高度从高度为为为为 1 mk 2 m 处自由落到处自由落到处自由落到处自由落到上而无弹跳，如图所示，求其后的运动。上而无弹跳，如图所示，求其后的运动。上而无弹跳，如图所示，求其后的运动。上而无弹跳，如图所示，求其后的运动。h 1 m 解：取系统的上下运动解：取系统的上下运动解：取系统的上下运动解：取系统的上下运动为坐标，向上为正，静平衡位置为原点为坐标，向上为正，静平衡位置为原点为坐标，向上为正，静平衡位置为原点为坐标，向上为正，静平衡位置为原点，则当，则当，则当，则当x0x=m 有有有有 位移时，系统有：位移时，系统有：位移时，系统有：位移时，系统有：x 2 12 1 () 2 T Emm x=+ 2 1 2 Ukx= 由由由由可知：可知：可知：可知：()0 T d EU+= 12 ()0mm xkx+= 即：即：即：即： 12 / () n kmm=+ 系统的初始条件为：系统的初始条件为：系统的初始条件为：系统的初始条件为： = = + 2 0 2 0 12 2 m g x k m xgh mm （能量守恒得：（能量守恒得：（能量守恒得：（能量守恒得：） 2 2120 1 () 2 m ghmm x=+ 因此系统的响应为：因此系统的响应为：因此系统的响应为：因此系统的响应为： 01 ( )cossin nn x tAtAt=+ 其中其中其中其中: : : : = = + 2 00 02 1 12 2 n m g Ax k xm gghk A kmm 即：即：即：即：= + 2 12 2 ( )(cossin) nn m gghk x ttt kmm 2.4一质量为一质量为一质量为一质量为、转动惯量为、转动惯量为、转动惯量为、转动惯量为的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧约约约约mIk 束，如图所示，求系统的固有频率。束，如图所示，求系统的固有频率。束，如图所示，求系统的固有频率。束，如图所示，求系统的固有频率。 解：取圆柱体的转角解：取圆柱体的转角解：取圆柱体的转角解：取圆柱体的转角为坐标，逆时针为正，静平衡位置时为坐标，逆时针为正，静平衡位置时为坐标，逆时针为正，静平衡位置时为坐标，逆时针为正，静平衡位置时，则当，则当，则当，则当有有有有0=m 转角时，系统有：转角时，系统有：转角时，系统有：转角时，系统有： 2222 111 ()() 222 T EImrImr=+=+ 2 1 () 2 Ukr= 由由由由可知：可知：可知：可知：()0 T d EU+= 22 ()0Imrkr+= 即：即：即：即：（rad/srad/srad/srad/s） 22 / () n krImr=+ 7 2.5均质杆长均质杆长均质杆长均质杆长L L L L、重、重、重、重G G G G，用两根长，用两根长，用两根长，用两根长h h h h的铅垂线挂成水平位置，如图所示，试求的铅垂线挂成水平位置，如图所示，试求的铅垂线挂成水平位置，如图所示，试求的铅垂线挂成水平位置，如图所示，试求 此杆相对铅垂轴此杆相对铅垂轴此杆相对铅垂轴此杆相对铅垂轴OOOOOOOO 微幅振动的周期。微幅振动的周期。微幅振动的周期。微幅振动的周期。 2.6求如图所示系统的周期，三个弹簧都成铅垂，且求如图所示系统的周期，三个弹簧都成铅垂，且求如图所示系统的周期，三个弹簧都成铅垂，且求如图所示系统的周期，三个弹簧都成铅垂，且。 2131 2 ,kk kk= 解：取解：取解：取解：取的上下运动的上下运动的上下运动的上下运动 为坐标，向上为正，静平衡位置为原点为坐标，向上为正，静平衡位置为原点为坐标，向上为正，静平衡位置为原点为坐标，向上为正，静平衡位置为原点，则当，则当，则当，则当有有有有mx0x=m 位移时，系统有：位移时，系统有：位移时，系统有：位移时，系统有：x 2 1 2 T Emx= （其中：（其中：（其中：（其中：） 222 11 115 226 Ukxk xk x=+= 12 12 kk k kk = + 由由由由可知：可知：可知：可知：()0 T d EU+= 1 5 0 3 mxk x+= 即：即：即：即：（rad/srad/srad/srad/s） ，） ，） ，） ，（s s s s） 1 5 3 n k m = 1 3 2 5 m T k = 8 2.7如图所示，半径为如图所示，半径为如图所示，半径为如图所示，半径为 r r r r 的均质圆柱可在半径为的均质圆柱可在半径为的均质圆柱可在半径为的均质圆柱可在半径为R R R R的圆轨面内无滑动地、以圆的圆轨面内无滑动地、以圆的圆轨面内无滑动地、以圆的圆轨面内无滑动地、以圆 轨面最低位置轨面最低位置轨面最低位置轨面最低位置O O O O 为平衡位置左右微摆，试导出柱体的摆动方程，为平衡位置左右微摆，试导出柱体的摆动方程，为平衡位置左右微摆，试导出柱体的摆动方程，为平衡位置左右微摆，试导出柱体的摆动方程， 求其固有频率求其固有频率求其固有频率求其固有频率。 。 。 。 解：设物体重量解：设物体重量解：设物体重量解：设物体重量，摆角坐标，摆角坐标，摆角坐标，摆角坐标 如图所示，逆如图所示，逆如图所示，逆如图所示，逆时时时时W针针针针 为正，当系统有为正，当系统有为正，当系统有为正，当系统有摆角时，则：摆角时，则：摆角时，则：摆角时，则： = 2 ()(1cos )() 2 UW RrW Rr 设设设设为圆柱体转角速度，质心的瞬时速度：为圆柱体转角速度，质心的瞬时速度：为圆柱体转角速度，质心的瞬时速度：为圆柱体转角速度，质心的瞬时速度： ，即：，即：，即：，即：() c Rrr= ()Rr r = 记圆柱体绕瞬时接触点记圆柱体绕瞬时接触点记圆柱体绕瞬时接触点记圆柱体绕瞬时接触点A A A A的转动惯量为的转动惯量为的转动惯量为的转动惯量为，则：，则：，则：，则： A I =+=+ 222 1 2 AC WWW IIrrr ggg = 2 2222 11 33 ()()() 22 24 TA WRrW EIrRr grg （或者理解为：（或者理解为：（或者理解为：（或者理解为：，转动和平动的动能），转动和平动的动能），转动和平动的动能），转动和平动的动能）=+ 2 22 11 () 22 Tc W EIRr g 由由由由可知：可知：可知：可知：()0 T d EU+=+= 2 3 ()()0 2 W RrW Rr g 即：即：即：即：（rad/srad/srad/srad/s）= 2 3() n g Rr 2.8横截面面积为横截面面积为横截面面积为横截面面积为A A A A， 质量为， 质量为， 质量为， 质量为m m m m的圆柱形的圆柱形的圆柱形的圆柱形浮浮浮浮子子子子 静止在比重为静止在比重为静止在比重为静止在比重为的液体中。设从平衡位置的液体中。设从平衡位置的液体中。设从平衡位置的液体中。设从平衡位置压压压压低低低低 距离距离距离距离x x x x( ( ( (见图见图见图见图) ) ) )，然后无初速度地释放，若不，然后无初速度地释放，若不，然后无初速度地释放，若不，然后无初速度地释放，若不计计计计阻阻阻阻 尼，求浮子其后的运动。尼，求浮子其后的运动。尼，求浮子其后的运动。尼，求浮子其后的运动。 解：建立如图所示坐标系，系统平衡时解：建立如图所示坐标系，系统平衡时解：建立如图所示坐标系，系统平衡时解：建立如图所示坐标系，系统平衡时，由牛顿第二定律得：，由牛顿第二定律得：，由牛顿第二定律得：，由牛顿第二定律得：0x= ，即：，即：，即：，即：()0mxAx g+= n Ag m = 有初始条件为：有初始条件为：有初始条件为：有初始条件为： = = 0 0 0 xx x 所以浮子的响应为：所以浮子的响应为：所以浮子的响应为：所以浮子的响应为： ( )sin() 2 Ag x txt m =+ 9 2.9求如图所示系统微幅扭振的周期。图中两个摩擦轮可分别绕水平轴求如图所示系统微幅扭振的周期。图中两个摩擦轮可分别绕水平轴求如图所示系统微幅扭振的周期。图中两个摩擦轮可分别绕水平轴求如图所示系统微幅扭振的周期。图中两个摩擦轮可分别绕水平轴O O O O1 1 1 1，O O O O2 2 2 2 转动，它们相互啮合，不能相对滑动，在图示位置转动，它们相互啮合，不能相对滑动，在图示位置转动，它们相互啮合，不能相对滑动，在图示位置转动，它们相互啮合，不能相对滑动，在图示位置( ( ( (半径半径半径半径O O O O1 1 1 1A A A A与与与与O O O O2 2 2 2B B B B在同一水在同一水在同一水在同一水平平平平 线上线上线上线上) ) ) )，弹簧不受力。摩擦轮可以看做等厚均质圆盘，质量分别为，弹簧不受力。摩擦轮可以看做等厚均质圆盘，质量分别为，弹簧不受力。摩擦轮可以看做等厚均质圆盘，质量分别为，弹簧不受力。摩擦轮可以看做等厚均质圆盘，质量分别为m m m m1 1 1 1，m m m m2 2 2 2。 解：两轮的质量分别为解：两轮的质量分别为解：两轮的质量分别为解：两轮的质量分别为，因此轮的半径比为：，因此轮的半径比为：，因此轮的半径比为：，因此轮的半径比为： 12 ,m m 11 22 rm rm = 由于两轮无相对滑动，因此其转角比为：由于两轮无相对滑动，因此其转角比为：由于两轮无相对滑动，因此其转角比为：由于两轮无相对滑动，因此其转角比为： 121 212 r r = 取系统静平衡时取系统静平衡时取系统静平衡时取系统静平衡时，则有：，则有：，则有：，则有： 1 0= 222222 1 112 221211 1 11 11 ()()() 2 22 24 T Em rm rmm r=+=+ 222 1112221211 111 ()()()() 222 Uk rk rkkr=+=+ 由由由由可知：可知：可知：可知：()0 T d EU+= 222 12111211 1 ()()0 2 mm rkk r+= 即：即：即：即：（rad/srad/srad/srad/s） ，） ，） ，） ，（s s s s） 12 12 2() n kk mm + = + + = + 12 12 2 2() mm T kk 02.10如图所示，轮子可绕水平轴转动，对转轴如图所示，轮子可绕水平轴转动，对转轴如图所示，轮子可绕水平轴转动，对转轴如图所示，轮子可绕水平轴转动，对转轴的的的的转转转转 动惯量为动惯量为动惯量为动惯量为I I I I，轮缘绕有软绳，下端挂有重量为，轮缘绕有软绳，下端挂有重量为，轮缘绕有软绳，下端挂有重量为，轮缘绕有软绳，下端挂有重量为P P P P的的的的物物物物 体，绳与轮缘之间无滑动。在图示位置，由水平体，绳与轮缘之间无滑动。在图示位置，由水平体，绳与轮缘之间无滑动。在图示位置，由水平体，绳与轮缘之间无滑动。在图示位置，由水平弹弹弹弹 簧维持平衡。半径簧维持平衡。半径簧维持平衡。半径簧维持平衡。半径R R R R与与与与a a a a均已知，求微振动的周均已知，求微振动的周均已知，求微振动的周均已知，求微振动的周期 。期 。期 。期 。 解：取轮的转角解：取轮的转角解：取轮的转角解：取轮的转角 为坐标，顺时针为正，系统平为坐标，顺时针为正，系统平为坐标，顺时针为正，系统平为坐标，顺时针为正，系统平衡衡衡衡时时时时 ，则当轮子有，则当轮子有，则当轮子有，则当轮子有转角时，系统有：转角时，系统有：转角时，系统有：转角时，系统有：0= =+=+ 2222 111 ()() 222 T PP EIRIR gg = 2 1 () 2 Uka 由由由由可知：可知：可知：可知：()0 T d EU+=+= 222 ()0 P IRka g 即：即：即：即：（rad/srad/srad/srad/s） ，故） ，故） ，故） ，故（s s s s）= + 2 2 n ka P IR g + = 2 2 2 2 n P IR g T ka 10 12.11弹簧悬挂一质量为弹簧悬挂一质量为弹簧悬挂一质量为弹簧悬挂一质量为m m m m的物体，自由振动的周期为的物体，自由振动的周期为的物体，自由振动的周期为的物体，自由振动的周期为T T T T，如果在，如果在，如果在，如果在m m m m上附加一上附加一上附加一上附加一 个质量个质量个质量个质量m m m m1 1 1 1，则弹簧的静伸长增加，则弹簧的静伸长增加，则弹簧的静伸长增加，则弹簧的静伸长增加，求当地的重力加速度。，求当地的重力加速度。，求当地的重力加速度。，求当地的重力加速度。l 解：解：解：解： 2 2 4 m T k m k T = = 1 2 11 4 m gk l k lml g mTm = = 22.12用能量法求图所示三个摆的微振动的固有频率。摆锤重用能量法求图所示三个摆的微振动的固有频率。摆锤重用能量法求图所示三个摆的微振动的固有频率。摆锤重用能量法求图所示三个摆的微振动的固有频率。摆锤重P P P P，( ( ( (b b b b) ) ) )与与与与( ( ( (c c c c) ) ) )中每中每中每中每个个个个 弹簧的弹性系数为弹簧的弹性系数为弹簧的弹性系数为弹簧的弹性系数为k k k k/2 /2 /2 /2。(1)(1)(1)(1)杆重不计；杆重不计；杆重不计；杆重不计；(2)(2)(2)(2)若杆质量均匀，计入杆重。若杆质量均匀，计入杆重。若杆质量均匀，计入杆重。若杆质量均匀，计入杆重。 解：取系统的摆角解：取系统的摆角解：取系统的摆角解：取系统的摆角为坐标，静平衡时为坐标，静平衡时为坐标，静平衡时为坐标，静平衡时0= （a a a a）若不计杆重，系统作微振动，则有：）若不计杆重，系统作微振动，则有：）若不计杆重，系统作微振动，则有：）若不计杆重，系统作微振动，则有： = 22 1 () 2 T P EL g = 2 1 (1cos ) 2 UPgLPgL 由由由由可知：可知：可知：可知：()0 T d EU+=+= 2 0 P LPL g 即：即：即：即：（rad/srad/srad/srad/s）= n g L 如果考虑杆重，系统作微振动，则有：如果考虑杆重，系统作微振动，则有：如果考虑杆重，系统作微振动，则有：如果考虑杆重，系统作微振动，则有： =+=+ 222222 11 11 ()()() 22 323 L TL PPm ELm LL gg =+ 2 (1cos )(1cos )() 222 L L LPm UPgLm ggL g 由由由由可知：可知：可知：可知：()0 T d EU+=+= 2 ()()0 32 LL PmPm LgL gg 11 （b b b b）如果考虑杆重，系统作微振动，则有：）如果考虑杆重，系统作微振动，则有：）如果考虑杆重，系统作微振动，则有：）如果考虑杆重，系统作微振动，则有： =+=+ 222222 11 11 ()()() 22 323 L TL PPm ELm LL gg + 2 2 1 ()( )()2 222 22 L PmkL UgL g 即：即：即：即：（rad/srad/srad/srad/s） + = + () 2 () 3 L n L Pm g g Pm L g 即：即：即：即：（rad/srad/srad/srad/s） + = + () 24 () 3 L n L PmkL g g Pm L g （c c c c）如果考虑杆重，系统作微振动，则有：）如果考虑杆重，系统作微振动，则有：）如果考虑杆重，系统作微振动，则有：）如果考虑杆重，系统作微振动，则有： =+=+ 222222 11 11 ()()() 22 323 L TL PPm ELm LL gg + 2 2 1 ()( )()2 222 22 L PmkL UgL g 即：即：即：即：（rad/srad/srad/srad/s） + = + () 42 () 3 L n L kLPm g g Pm L g 32.13求如图所示系统的等效刚度，并把它写成与求如图所示系统的等效刚度，并把它写成与求如图所示系统的等效刚度，并把它写成与求如图所示系统的等效刚度，并把它写成与x x x x的关系式。的关系式。的关系式。的关系式。 答案：系统的运动微分方程答案：系统的运动微分方程答案：系统的运动微分方程答案：系统的运动微分方程 22 2 0 ab mxkx a + += 12 42.14一台电机重一台电机重一台电机重一台电机重470N470N470N470N，转速为，转速为，转速为，转速为1430r1430r1430r1430rminminminmin，固定在两根，固定在两根，固定在两根，固定在两根5 5 5 5 号槽钢组成的简号槽钢组成的简号槽钢组成的简号槽钢组成的简支支支支 梁的中点， 如图所示。 每根槽钢长梁的中点， 如图所示。 每根槽钢长梁的中点， 如图所示。 每根槽钢长梁的中点， 如图所示。 每根槽钢长1.2m1.2m1.2m1.2m，重，重，重，重65.28N65.28N65.28N65.28N， 弯曲刚度， 弯曲刚度， 弯曲刚度， 弯曲刚度EIEIEIEI1.661.661.661.66 101010105 5 5 5N N N N mmmm2 2 2 2。 。 。 。 ( ( ( (a a a a) ) ) )不考虑槽钢质量，求系统的固有频率；不考虑槽钢质量，求系统的固有频率；不考虑槽钢质量，求系统的固有频率；不考虑槽钢质量，求系统的固有频率； ( ( ( (b b b b) ) ) )设槽钢质量均布，考虑分布质量的影响，求系统的固有频率；设槽钢质量均布，考虑分布质量的影响，求系统的固有频率；设槽钢质量均布，考虑分布质量的影响，求系统的固有频率；设槽钢质量均布，考虑分布质量的影响，求系统的固有频率； ( ( ( (c c c c) ) ) )计算说明如何避开电机和系统的共振区。计算说明如何避开电机和系统的共振区。计算说明如何避开电机和系统的共振区。计算说明如何避开电机和系统的共振区。 52.15一质量一质量一质量一质量m m m m固定于长固定于长固定于长固定于长L L L L，弯曲刚度为，弯曲刚度为，弯曲刚度为，弯曲刚度为EIEIEIEI，密度为，密度为，密度为，密度为r r的弹性梁的一端，如图的弹性梁的一端，如图的弹性梁的一端，如图的弹性梁的一端，如图 所示，试以有效质量的概念计算其固有频率。所示，试以有效质量的概念计算其固有频率。所示，试以有效质量的概念计算其固有频率。所示，试以有效质量的概念计算其固有频率。 wLwLwLwL3 3 3 3/(3EI)/(3EI)/(3EI)/(3EI) 62.16求等截面求等截面求等截面求等截面U U U U形管内液体振动的周期，阻力不计，假定液柱总长度为形管内液体振动的周期，阻力不计，假定液柱总长度为形管内液体振动的周期，阻力不计，假定液柱总长度为形管内液体振动的周期，阻力不计，假定液柱总长度为L L L L。 解：假设解：假设解：假设解：假设U U U U形管内液柱长形管内液柱长形管内液柱长形管内液柱长 ，截面积为，截面积为，截面积为，截面积为，密度为，密度为，密度为，密度为，取系统静平衡时势能为，取系统静平衡时势能为，取系统静平衡时势能为，取系统静平衡时势能为0 0 0 0， ， ， ，lA 左边液面下降左边液面下降左边液面下降左边液面下降时，有：时，有：时，有：时，有：x =2 1 2 T EAlx =UAxgx 由由由由可知：可知：可知：可知：()0 T d EU+=+=20Alxg Ax 即：即：即：即：（rad/srad/srad/srad/s） ，） ，） ，） ，（s s s s）= 2 n g l = 2l T g 13 2 2 2 217171717水箱水箱水箱水箱 l l l l 与与与与 2 2 2 2 的水平截面面积分别的水平截面面积分别的水平截面面积分别的水平截面面积分别为为为为 A A A A1 1 1 1、A A A A2 2 2 2，底部用截面为，底部用截面为，底部用截面为，底部用截面为A A A A0 0 0 0的细管连接。的细管连接。的细管连接。的细管连接。求求求求 液面上下振动的固有频率。液面上下振动的固有频率。液面上下振动的固有频率。液面上下振动的固有频率。 解：设液体密度为解：设液体密度为解：设液体密度为解：设液体密度为，取系统静平衡时势能为，取系统静平衡时势能为，取系统静平衡时势能为，取系统静平衡时势能为0 0 0 0，当左边液面下降，当左边液面下降，当左边液面下降，当左边液面下降时，右边时，右边时，右边时，右边液液液液 1 x 面上升面上升面上升面上升，液体在水箱，液体在水箱，液体在水箱，液体在水箱l l l l与与与与 2 2 2 2 和细管中的速度分别为和细管中的速度分别为和细管中的速度分别为和细管中的速度分别为，则有：，则有：，则有：，则有： 2 x 123 ,x x x 222 11133222 111 ()() 222 T EA hxxA L xA hxx=+ 222 11 1321 32 ()() 2 AA AhA LAhx AA + （由于：（由于：（由于：（由于：） 1 ;hxh 2 ;hxh+ 112233; AxA xA x= 1122 AxA x= 12 1 2 xx UAx g + = 由由由由可知：可知：可知：可知：()0 T d EU+= 111 11 232 (1)()(1)0 AAA hLxgx AAA += 即：即：即：即：（rad/srad/srad/srad/s） 1 2 11 23 (1) (1)() n A g A AA hL AA + = + 82.18如图所示，一个重如图所示，一个重如图所示，一个重如图所示，一个重WWWW、面积为、面积为、面积为、面积为A A A A的薄板悬挂在弹簧上，使之在粘性液体的薄板悬挂在弹簧上，使之在粘性液体的薄板悬挂在弹簧上，使之在粘性液体的薄板悬挂在弹簧上，使之在粘性液体 中振动。设中振动。设中振动。设中振动。设T T T T1 1 1 1、T T T T2 2 2 2分别为无阻尼的振动周期和在粘性液体中的阻尼周期。试证分别为无阻尼的振动周期和在粘性液体中的阻尼周期。试证分别为无阻尼的振动周期和在粘性液体中的阻尼周期。试证分别为无阻尼的振动周期和在粘性液体中的阻尼周期。试证 明：明：明：明： 2 2 2 2 21 2 TT TgAT W = 并指出并指出并指出并指出的意义的意义的意义的意义( ( ( (式中液体阻尼力式中液体阻尼力式中液体阻尼力式中液体阻尼力F F F Fd d d d= = = =m m 2 2 2 2AvAvAvAv) ) ) )。 14 92.19试证明：对数衰减率也可用下式表示试证明：对数衰减率也可用下式表示试证明：对数衰减率也可用下式表示试证明：对数衰减率也可用下式表示，( ( ( (式中式中式中式中x x x xn n n n是经过是经过是经过是经过n n n n个循个循个循个循 n x x n 0 ln 1 = 环后的振幅环后的振幅环后的振幅环后的振幅) ) ) )。并给出在阻尼比。并给出在阻尼比。并给出在阻尼比。并给出在阻尼比为为为为 0.0l0.0l0.0l0.0l、0.1、0.3 时振幅减小到时振幅减小到时振幅减小到时振幅减小到 50%50%50%50%以下所需以下所需以下所需以下所需 要的循环数。要的循环数。要的循环数。要的循环数。 解：设系统阻尼自由振动的响应为解：设系统阻尼自由振动的响应为解：设系统阻尼自由振动的响应为解：设系统阻尼自由振动的响应为；( )x t 时刻的位移为时刻的位移为时刻的位移为时刻的位移为；时刻的位移为时刻的位移为时刻的位移为时刻的位移为；则：；则：；则：；则： 0 t 0 x 0n ttnT=+ n x 0 0 00 () 0 cos() cos() n nd nd t nT d tnT ndd xXet e xXetnT + = + 所以有：所以有：所以有：所以有：，即：，即：，即：，即： 00 1 lnln nd n xx nTnn xx = n x x n 0 ln 1 = 当振幅衰减到当振幅衰减到当振幅衰减到当振幅衰减到50%50%50%50%时，时，时，时，即：，即：，即：，即： 0 0.5 n xx= 2 11 ln2ln2 2 n = 1)1)1)1)当当当当时，时