《医药数理统计方法》自学考试.pdf

10452 班专用 1 第一章第一章 数据的描述和整理数据的描述和整理 一、学习目的和要求 1. 掌握数据的类型及特性； 2. 掌握定性和定量数据的整理步骤、显示方法； 3. 掌握描述数据分布的集中趋势、离散程度和分布形状的常用统计量； 4. 能理解并熟练掌握样本均值、样本方差的计算； 5. 了解统计图形和统计表的表示及意义； 6. 了解用 Excel 软件进行统计作图、频数分布表与直方图生成、统计量的计算。 二、 内容提要 （一）（一） 数据的分类数据的分类 数据类型数据类型 定性数据（品质数据） 定量数据 定类数据 （计数数据） 定序数据 （等级数据） 数值数据 （计量数据） 表现形式表现形式 类别 （无序） 类别 （有序） 数值 () 对应变量对应变量 定类变量 定序变量 数值变量 （离散变量、连续变量） 主要统计方法主要统计方法 计算各组频数， 进行列联表分 析、2检验等非参数方法 计算各种统计量，进行参数估计 和检验、回归分析、方差分析等 参数方法 常用统计图形常用统计图形 条形图，圆形图（饼图） 直方图，折线图，散点图， 茎叶图，箱形图 （二）（二） 常用统计量常用统计量 1、描述集中趋势的统计量、描述集中趋势的统计量 10452 班专用 2 名名 称称 公公 式（原始数据）式（原始数据） 公公 式（分组数据）式（分组数据） 意意 义义 均值 x 1 1 n i i xx n 1 1 k ii i xm f n 反映数据取值的平均水 平， 是描述数据分布集中 趋势的最主要测度值, 中位数 Me 为偶数当 为奇数当， nxx nx M nn n e ),( 2 1 )1 2 () 2 ( ) 2 1 ( 中位数所在组： 累积频数超过 n/2 的那个最低组 是典型的位置平均数， 不 受极端值的影响 众数 Mo 数据中出现次数最多的观察值 众数所在组: 频数最大的组 测度定性数据集中趋势， 对于定量数据意义不大 2、描述离散程度的统计量、描述离散程度的统计量 名名 称称 公公 式（原始数据）式（原始数据） 公公 式（分组数据）式（分组数据） 意意 义义 极差 R R = 最大值-最小值 R最高组上限值 最低组下限值 反映离散程度的最简单测度值， 不能反映中间数据的离散性 总体方差 2 N i i xx N 1 22 )( 1 22 1 1 () k ii i mxf N 反映每个总体数据偏离其总体均 值的平均程度，是离散程度的最 重要测度值, 其中标准差具有与 观察值数据相同的量纲 总体标准差 2 2 1 1 () N i i xx N 2 2 1 1 () N ii i mxf N 样本方差 S2 n i i xx n S 1 22 )( 1 1 i k i i fxm n S 1 22 )( 1 1 反映每个样本数据偏离其样本均 值的平均程度，是离散程度的最 重要测度值, 其中标准差具有与 观察值数据相同的量纲 样本标准差 S n i i xx n SS 1 2 2 )( 1 1 i k i i fxm n SS 1 2 2 )( 1 1 变异系数 CV CV= %100 | x S 反映数据偏离其均值的相对偏 差，是无量纲的相对变异性测度 样本标准误 x S n S Sx 反映样本均值偏离总体均值的平 均程度，在用样本均值估计总体 均值时测度偏差 10452 班专用 3 3、描述分布形状的统计量、描述分布形状的统计量 名名 称称 公公 式（原始数据）式（原始数据） 公公 式（分组数据）式（分组数据） 意意 义义 偏度 Sk 3 3 )2)(1( )( Snn xxn S i k 3 1 3 )( nS fxm S k i ii k 反映数据分布的非对称性 Sk=0 时为对称； Sk 0 时为正偏或右偏； Sk 0) 乘法公式 若 P(A)0, P(AB)=P(A)P(B|A) 若 P(B)0, P(AB)=P(B)P(A|B) 当 P(A1A2An-1)0 时，有 P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) P(An|A1A2An-1) 独立事件公式 A、B 相互独立：P(AB)=P(A)P(B) A1, A2, , An相互独立：P(A1A2An)= P(A1)P(A2)P(An) 全概率公式 若 A1, A2, , An为完备事件组*，对事件 B n i ii ABPAPBP 1 )|()( 逆概率公式 （贝叶斯公式） 若 A1, A2, , An为完备事件组*，P(B)0 n i ii jj j ABPAP ABPAP BAP 1 )|()( )|()( )|( *完备事件组 A1, A2, , An 1. A1, A2, , An互不相容且 P(Ai)0(i=1, 2, , n)； 2. A1+A2+An= 10452 班专用 14 三、综合例题解析 例例 1 从某鱼池中取 100 条鱼，做上记号后再放入该鱼池中。现从该池中任意捉 来 50 条鱼，发现其中有两条有记号，问池内大约有多少条鱼？ 解解：设池内大约有 n 条鱼，令 A=从池中捉到有记号鱼 则从池中捉到有记号鱼的概率 P(A)= n 100 由统计概率的定义知，它近似于捉到有记号鱼的频率 fn (A) = 50 2 ，即 50 2100 n 解之得 n=2500，故池内大约有 2500 条鱼。 例例 2 口袋里有两个伍分、三个贰分和五个壹分的硬币，从中任取五个，求总值 超过一角的概率。 解一：解一：令 A=总值超过一角，现将从 10 个硬币中任取 5 个的每种取法作为每个 基本事件，显然本例属于古典概型问题，可利用组合数来解决。所取 5 个硬币总值超 过一角的情形，其币值由大到小可根据其中有 2 个伍分、有 1 个伍分和没有伍分来考 虑。则 252 126 )( 5 10 2 5 3 3 1 2 2 5 2 3 1 2 3 8 2 2 C CCCCCCCC AP=0.5。 解二解二：本例也可以先计算其对立事件 A=总值不超过一角 考察 5 个硬币总值不超过一角的情形，其币值由小到大先根据壹分硬币、贰分硬 币的不同个数来计算其有利情形的组合数。则 252 126 1 )( 1)(1)( 5 10 3 3 2 5 1 2 1 3 2 3 3 5 1 5 4 5 5 5 C CCCCCCCCC APAP=0.5 10452 班专用 15 或 252 126 1 ) 1)(1)( 5 10 3 5 1 3 4 5 1 2 5 8 C CCCCC APAP （ =0.5 例例 3 将 n 个人等可能地分配到 N（nN）间房中去，试求下列事件的概率： （1）A=某指定的 n 间房中各有一人； （2）B=恰有 n 间房，其中各有一人； （3）C=某指定的房中恰有 m（mn）个人。 解：解：把 n 个人等可能地分配到 N 间房中去，由于并没有限定每一间房中的人数， 故是一可重复的排列问题，这样的分法共有 Nn种。 （1）对事件 A，对指定的 n 间房，第一个人可分配到该 n 间房的任一间，有 n 种 分法；第二个人可分配到余下的 n1 间房中的任一间，有 n1 种分法，以此类推， 得到 A 共含有 n!个基本事件，故 n N n AP ! )( （2）对事件 B，因为 n 间房没有指定，所以可先在 N 间房中任意选出 n 间房（共 有 n N C种选法） ，然后对于选出的某 n 间房，按照上面的分析，可知 B 共含有 n N C n！ 个基本事件，从而 n n N N nC BP ! )( （3）对于事件 C，由于 m 个人可从 n 个人中任意选出，故有 m n C种选法，而其余 nm 个人可任意地分配到其余的 N1 间房中，共有(N1)n-m种分配法，故 C 中共含 有 m n C (N1)n-m个基本事件，因此 mnmm n n mnm n NN C N NC CP ) 1 1 () 1 ( ) 1( )( 注意注意：可归入上述“分房问题”来处理的古典概型的实际问题非常多，例如： （1）生日问题：n 个人的生日的可能情形，这时 N=365 天（n365） ； （2）乘客下车问题：一客车上有 n 名乘客，它在 N 个站上都停，乘客下车的各种 可能情形； 10452 班专用 16 （3）印刷错误问题：n 个印刷错误在一本有 N 页的书中的一切可能的分布（n 不 超过每一页的字符数） ； （4）放球问题：将 n 个球放入 N 个盒子的可能情形。 值得注意的是，在处理这类问题时，要分清什么是“人” ，什么是“房” ，一般不 能颠倒。 例例 4（1994 年考研题）设 A，B 为两事件，且 P(A)=p，P(AB)=)( BAP，求 P(B)。 解：由于 ),()()(1)(1)()(ABPBPAPBAPBAPBAP 现因为 P(AB)=)( BAP，则 )()()(1)(ABPBPAPABP 又 P(A)=p，故 pAPBP1)(1)(。 注意注意：事件运算的德摩根律及对立事件公式的恰当应用。 例例 5 设某地区位于河流甲、乙的交汇处，而任一何流泛滥时，该地区即被淹没。 已知某时期河流甲、乙泛滥的概率分别为 0.2 和 0.3，又当河流甲泛滥时， “引起”河 流乙泛滥的概率为 0.4，求 （1）当河流乙泛滥时， “引起”河流甲泛滥的概率； （2）该时期内该地区被淹没的概率。 解：令 A=河流甲泛滥，B=河流乙泛滥 由题意知 P(A)=0.2，P(B)=0.3，P(B|A)=0.4 再由乘法公式 P(AB)=P(A)P(B|A)=0.20.4=0.08， 则（1）所求概率为 267. 0 3 . 0 08. 0 )( )( )|( BP ABP BAP 10452 班专用 17 （2）所求概率为 P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB) =0.2+0.30.08=0.42。 例例 6 设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发生的概率为 1/9，A 发生 B 不发生的 概率与 B 发生 A 不发生的概率相等，求 P(A)。 解：解：由题设可知因为 A 和 B 相互独立，则 P(AB) = P(A)P(B)， 再由题设可知 9 1 )()()(BPAPBAP， )()(BAPBAP 又因为 )()(BAPBAP， 即 P(AB) = P(BA)， 由事件之差公式得 )()()()(ABPBPABPAP 则有 P(A) = P(B)，从而有 )()(BPAP 故有 3 1 )( , 9 1 )( 2 APAP 即 3 2 )(1)(APAP 。 例例 7（1988 年考研题） 玻璃杯成箱出售，每箱 20 只，假设各箱含 0，1，2 只残 次品的概率相应为 0，0.8，0.1 和 0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随 意取一箱，而顾客开箱随机地查看 4 只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。 试求 （1）顾客买下该箱的概率 ； 10452 班专用 18 （2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率 。 解解：由于玻璃杯箱总共有三类，分别含 0，1，2 只残次品。而售货员取的那一箱 可以是这三类中的任一箱，顾客是在售货员取的一箱中检查的，顾客是否买下这一箱 是与售货员取的是哪一类的箱子有关系的，这类问题的概率计算一般可用全概率公式 解决，第二问是贝叶斯公式也即条件概率问题。 首先令 A=顾客买下所查看一箱； B=售货员取的箱中恰好有 i 件残次品，i=0，1，2。 显然，B0，B1，B2构成一组完备事件组。且 . 19 12 )(, 5 4 )(, 1)( , 1 . 0)(, 1 . 0)(, 8 . 0)( 4 20 4 18 2 4 20 4 19 10 210 C C BAP C C BAPBAP BPBPBP （1）由全概率公式，有 94. 0 19 12 1 . 0 5 4 1 . 018 . 0)()()( 2 0 i ii BAPBPAP （2）由逆概率公式，得 85. 0 94. 0 18 . 0 )( )()( )( 00 0 AP BAPBP ABP 注意注意：本题是典型的全概率公式与贝叶斯公式的应用。 例例 8 （小概率事件原理）设随机试验中某事件 A 发生的概率为 ，试证明，不论 0 如何小，只要不断独立重复地做此试验，事件 A 迟早会发生的概率为 1。 证证：令 Ai=第 i 次试验中事件 A 发生, i=1,2,3, 由题意知，事件 A1, A2, , An, 相互独立且 P(Ai)=，i=1,2,3,， 则在 n 次试验中事件 A 发生的概率 P( n AAA 21 )=1P( n AAA 21 ) =1 n n APAPAP)1 (1)()()( 21 当 n+, 即为事件 A 迟早会发生的概率 10452 班专用 19 P( n AAA 21 )= n n )1 (1lim =1。 四、习题二解答 1考察随机试验： “掷一枚骰子，观察其出现的点数” 。如果设 i=掷一枚骰子所出现的点数为 i , i=1,2,6 试用 i 来表示该试验的基本事件、 样本空间 和事件 A =出现奇数点和事件 B=点数 至少是 4。 解：基本事件：0，1，2，3，4，5，6。 样本空间 = 0，1，2，3，4，5，6。 事件 A=1，3，5；B=4，5，6。 2用事件 A、B、C 表示下列各事件： （1）A 出现，但 B、C 不出现； （2）A、B 出现，但 C 不出现； （3）三个都出现； （4）三个中至少有一个出现； （5）三个中至少有两个出现； （6）三个都不出现； （7）只有一个出现； （8）不多于一个出现； （9）不多于两个出现。 解： （1）ABC （2）ABC （3）ABC （4）ABCBCACBACABCBACBACBA 或 A+B+C 或CBA （5）ABCBCACBACAB （6）ABC或(A+B+C)或CBA （7）ABCABCABC+ 10452 班专用 20 （8）ABCABCABCABC+ （9）BCACBACABCBACBACBACBA 或ABC 或ABC 3从 52 张扑克牌中，任取 4 张，求这四张花色不同的概率。 解：现将从 52 张扑克牌中任取 4 张的每种取法作为每个基本事件，其结果与顺 序无关，故可用组合数来解决该古典概型问题。 1055. 0 ! 4/49505152 134 4 52 1 13 1 13 1 13 1 13 C CCCC n m P。 4在一本标准英语词典中共有 55 个由两个不同字母组成的单词，现从 26 个英 文字母中任取两个字母排成一个字母对，求它恰是上述字典中单词的概率。 解： 现将从 26 个英文字母中任取两个字母件的每种取法作为每个基本事件，其结 果与顺序有关，故可用排列数来解决该古典概型问题。 0846. 0 2526 5555 2 26 An m P。 5某产品共 20 件，其中有 4 件次品。从中任取 3 件，求下列事件的概率。 （1） 3 件中恰有 2 件次品； （2）3 件中至少有 1 件次品； （3）3 件全是次品； （4）3 件全是 正品。 解： 现将从 20 件产品中任取 3 件的每种取法作为每个基本事件，其结果与顺序无 关，故可用组合数来解决该古典概型问题。 （1）0842. 0)( 3 20 1 16 2 4 C CC n m AP； （2）5088. 04912. 0111)(1)( 3 20 3 16 C C n m BPBP 或5088. 0)( 3 20 0 16 3 4 1 16 2 4 2 16 1 4 C CCCCCC n m BP； （3）0035. 0)( 3 20 3 4 C C n m CP； 10452 班专用 21 （4）4912. 0)( 3 20 3 16 C C n m DP。 6房间里有 10 个人，分别佩戴着 110 号的纪念章，现等可能地任选三人，记 录其纪念章号码，试求： （1）最小号码为 5 的概率； （2）最大号码为 5 的概率。 解：设 A=任选三人中最小号码为 5，B=任选三人中最大号码为 5 （1）对事件 A，所选的三人只能从 510 中选取，而且 5 号必定被选中。 0833. 0 12 1 )( 3 10 2 5 1 1 C CC n m AP； （2）对事件 B，所选的三人只能从 15 中选取，而且 5 号必定被选中。 05. 0 20 1 )( 3 10 2 4 1 1 C CC n m BP。 7某大学学生中近视眼学生占 22%，色盲学生占 2%，其中既是近视眼又是色盲 的学生占 1%。现从该校学生中随机抽查一人，试求： （1）被抽查的学生是近视眼或色 盲的概率； （2）被抽查的学生既非近视眼又非色盲的概率。 解解：设 A=被抽查者是近视眼，B=被抽查者是色盲； 由题意知，P(A)=0.22，P(B)= 0.02，P(AB)= 0.01，则 （1）利用加法公式，所求概率为 P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=0.22+0.020.01=0.23； （2）所求概率为 P(BA)=P(BA)=1P(A+B)=10.23 =0.77。 注意：上述计算利用了德摩根对偶律、对立事件公式和（1）的结果。 8设 P(A)=0.5，P(B)=0.3 且 P(AB)=0.l。求： （1）P(A+B)； （2）P(A+B)。 解： （1）P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=0.5+0.30.1=0.7； （2）P(A+B)= P(A)+P(B)P(AB)=1P(A)+P(B)P(BA) =1P(A) +P(B)P(B) P(AB)= 1P(A) + P(AB) =10.5+0.1=0.6。 注意：上述计算利用了加法公式、差积转换律、对立事件公式和事件之差公式。 10452 班专用 22 9假设接受一批药品时，检验其中一半，若不合格品不超过 2，则接收，否则 拒收。假设该批药品共 100 件，其中有 5 件不合格，试求该批药品被接收的概率。 解：设 A=50 件抽检药品中不合格品不超过 1 件， 据题意，仅当事件 A 发生时，该批药品才被接收，故所求概率为 1811. 0)( 50 100 49 95 1 5 50 95 C CCC n m AP。 10设 A,B 为任意两个事件，且 P(A)0，P(B)0。证明： （1）若 A 与 B 互不相容，则 A 和 B 不独立； （2）若 P(B|A)=P(B|A)，则 A 和 B 相互独立。 证明： （1）用反证法。假定 A 和 B 独立，因为已知 A 与 B 互不相容，则 AB=，P(AB)= P()=0 故 P(A) P(B)= P(AB)=0 但由已知条件 P(A)0，P(B)0 得 P(A) P(B)0，由此导出矛盾，所以若 A 与 B 互不 相容，则 A 和 B 不独立。 （2）由已知 P(B|A)=P(B|A)，又 )( )( )|( AP ABP ABP， )( )( )|( AP BAP ABP 则 )(1 )()( )(1 )( )( )( )( )( AP ABPBP AP ABP AP BAP AP ABP 即 P(AB)1P(A) = P(A)P(B)P(AB) P(AB)P(AB)P(A) = P(A)P(B)P(A)P(AB) 故 P(AB) = P(A)P(B) 这即 A 和 B 相互独立。 （2）又证：由已知 P(B|A)=P(B|A) )(1 )()( )(1 )( )( )( AP ABPBP AP ABP AP BAP 即 P(B|A)1P(A) = P(B)P(AB) 10452 班专用 23 P(B|A)P(B|A)P(A) = P(B)P(AB) P(B|A)P(AB) = P(B)P(AB) P(B|A) = P(B) 这即 A 和 B 相互独立。 11已知 P(A)=0.1，P(B)=0.3，P(A | B)=0.2，求： （1）P(AB)； （2）P(AB)； （3） P(B|A)； （4）P(BA)； （5）P(BA |)。 解： （1）P(AB)= P(B) P(A | B)=0.3 0.2=0.06； （2）P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=0.1+0.30.06=0.34； （3）6 . 0 1 . 0 06. 0 )( )( )|( AP ABP ABP； （4）P(BA)=P(AB)=P(A)P(AB)=0.10.06=0.04； （5）9429. 0 3 . 01 34. 01 )(1 )(1 )(1 )( )( )( )|( BP BAP BP BAP BP BAP BAP。 12某种动物活到 12 岁的概率为 0.8，活到 20 岁的概率为 0.4，问现年 12 岁的这 种动物活到 20 岁的概率为多少？ 解解：设 A=该动物活到 12 岁，B=该动物活到 20 岁；由题意知 P(A)=0.8，P(B)=0.4 显然该动物“活到 20 岁”一定要先“活到 12 岁” ，即有 BA，且 AB=B， 则所求概率是条件概率 5 . 0 8 . 0 4 . 0 )( )( )( )( )|( AP BP AP ABP ABP。 13甲、乙、丙三人各自独立地去破译一密码，他们能译出该密码的概率分别是 1/5，2/3，1/4，求该密码被破译的概率。 解：设 A=甲译出该密码，B=乙译出该密码，C=丙译出该密码. 由题意知，A，B，C 相互独立，而且 P(A)=1/5，P(B)=2/3，P(C)=1/4 10452 班专用 24 则密码被破译的概率为 P(A+B+C)=1)(CBAP=1)()()(CPBPAP= 4 3 3 1 5 4 1=0.8 或 P(A+B+C)=P(A)+P(B)+ P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC) =P(A)+P(B)+ P(C)P(A) P(B)P(A) P(C)P(B) P(C) + P(A) P(B) P(C) =8 . 0 5 4 4 1 3 2 5 1 4 1 3 2 4 1 5 1 3 2 5 1 4 1 3 2 5 1 。 14有甲乙两批种籽，发芽率分别为 0.8 和 0.7，在两批种籽中各任意抽取一粒， 求下列事件的概率： （1）两粒种籽都能发芽； （2）至少有一粒种籽能发芽； （3）恰好 有一粒种籽能发芽。 解解：设 A=甲种籽能发芽, B=乙种籽能发芽 则由题意知，A 与 B 相互独立，且有 P(A)=0.8，P(B)=0.7， 则所求概率为 （1）P(AB)=P(A)P(B)=0.80.7=0.56； （2）P(A+B) =1P(BA)=1P(BA)=1)()(BPAP=10.20.3=0.96； （3）P(BABA)=)()()()(BPAPBPAP=0.80.3+0.20.7=0.38。 15设甲、乙两城的通讯线路间有 n 个相互独立的中继站，每个中继站中断的概 率均为 p，试求： （1）甲、乙两城间通讯中断的概率； （2）若已知 p=0.005，问在甲、 乙两城间至多只能设多少个中继站，才能保证两地间通讯不中断的概率不小于 0.95？ 解：设 Ak=第 k 个中继站通讯中断, k=1,2,n，则 A1, A2, , An相互独立，而 且有 P(Ak)=p, k=1,2,n。 （1）所求概率为 P(A1+ A2+ An)=1P( n AAA 21 )=1P( n AAA 21 ) =1)()()( 21n APAPAP=1 n AP)( 1 1(1p)n； （2）设甲、乙两城间至多只能设 n 个中继站，由题意，应满足 P( n AAA 21 )=(1p)n0.95， 10452 班专用 25 即 (10.005)n0.95 0.995n0.95 nlog0.9950.95=ln0.95/ln0.995=10.233 故 n=10，即甲、乙两城间至多只能设 10 个中继站。 16在一定条件下，每发射一发炮弹击中飞机的概率是 0.6，现有若干门这样的 炮独立地同时发射一发炮弹，问欲以 99%的把握击中飞机，至少需要配置多少门这样 的炮？ 解：设至少需要配置 n 门炮。再设 Ak=第 k 门炮击中飞机, k=1,2,n， 则 A1, A2, , An相互独立，而且有 P(Ak)=0.6, k=1,2,n。 由题意，应有 P(A1+ A2+ An)= 1P( n AAA 21 )=1)()()( 21n APAPAP =1 n AP)( 1 10.4 n0.99 即 0.4 n0.01， 则有 nlog0.40.01=ln0.01/ln0.4=5.026 故 n=6，因此至少需要配置 6 门炮。 17甲袋中有 3 只白球，7 只红球，15 只黑球；乙袋中 10 只白球，6 只红球，9 只黑球。现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。 解：设以 A1、A2、A3分别表示从甲袋中任取一球为白球、红球、黑球； 以 B1、B2、B3分别表示从乙袋中任取一球为白球、红球、黑球。 则所求两球颜色相同的概率为 P(A1B1+ A2B2+ A3 B3)= P(A1)P(B1)+ P( A2)P(B2)+ P(A3)P( B3) 3312. 0 625 207 25 9 25 15 25 6 25 7 25 10 25 3 。 18在某地供应的某药品中，甲、乙两厂的药品各占 65%、35%，且甲、乙两厂 10452 班专用 26 的该药品合格率分别为 90%、80%，现用 A1、A2分别表示甲、乙两厂的药品，B 表示 合格品，试求：P(A1)、P(A2)、P(B|A1)、P(B|A2)、P(A1B)和 P(B)。 解：由题中已知条件可得 P(A1)=0.65，P(A2)=0.35，P(B|A1)=0.9，P(B|A2)=0.8， P(A1B)= P(A1)P(B|A1)= 0.65 0.9=0.585， P(B)= P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2) =0.65 0.9+0.35 0.8=0.865。 19 某地为甲种疾病多发区， 其所辖的三个小区 A1， A2， A3的人口比例为 974， 据统计资料，甲种疾病在这三个小区的发病率依次为 4，2，5，求该地甲种疾 病的发病率。 解：设以 A1、A2、A3表示病人分别来自小区 A1、A2、A3，以 B 表示患甲种疾病。 则由题意知 P(A1)= 20 9 ，P(A2)= 20 7 ，P(A3)= 20 4 ， P(B|A1)=0.004，P(B|A2)=0.002，P(B|A3)=0.005， 则该地甲种疾病的发病概率为 P(B)= P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3) =0035. 0005. 0 20 4 002. 0 20 7 004. 0 20 9 =3.5。 20若某地成年人中肥胖者（A1）占有 10，中等者（A2）占 82，瘦小者（A3） 占 8，又肥胖者、中等者、瘦小者患高血压病的概率分别为 20，10，5。 （1） 求该地成年人患高血压的概率； （2）若知某人患高血压病，他最可能属于哪种体型？ 解：设 B=该地成年人患高血压，则由题意知 P(A1)=0.10，P(A2)=0.82，P(A3)=0.08， P(B|A1)=0.20，P(B|A2)=0.10，P(B|A3)=0.05， （1）该地成年人患高血压的概率为 P(B)= P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3) =05. 008. 01 . 082. 02 . 01 . 0=0.106； （2）若已知某人患高血压病，他属于肥胖者（A1） 、中等者（A2） 、瘦小者（A3） 10452 班专用 27 体型的概率分别为 P(A1|B)=1887. 0 106. 0 2 . 01 . 0 )( )|()( 11 BP ABPAP P(A2|B)=7736. 0 106. 0 1 . 082. 0 )( )|()( 22 BP ABPAP P(A3|B)=0377. 0 106. 0 05. 008. 0 )( )|()( 33 BP ABPAP 因为 P(A2|B) P(A1|B) P(A3|B) 故若知某人患高血压病，他最可能属于中等体型。 21三个射手向一敌机射击，射中概率分别为 0.4，0.6 和 0.7。若一人射中，敌 机被击落的概率为 0.2；若两人射中，敌机被击落的概率为 0.6；若三人射中，则敌机 必被击落。 （1）求敌机被击落的概率； （2）已知敌机被击落，求该机是三人击中的概 率。 解：设 A1、A2、A3分别表示第一个射手、第二个射手、第三个射手射中敌机；B0、 B1、B2、B3分别表示无人射中、一人射中、两人射中、三人射中敌机；C 表示敌机被 击落。则 A1、A2、A3相互独立，且由题意可得 P(A1)=0.4，P(A2)=0.6，P(A3)=0.7 P(B0)= P( 321 AAA)=P( 1 A) P( 2 A) P( 3 A)= 0.6 0.4 0.3=0.072 P(B1)= P( 321321321 AAAAAAAAA)=)()()( 321321321 AAAPAAAPAAAP =)()()()()()()()()( 321321321 APAPAPAPAPAPAPAPAP =0.4 0.4 0.3+0.6 0.6 0.3+0.6 0.4 0.7=0.324 P(B2)= P( 321321321 AAAAAAAAA)=)()()( 321321321 AAAPAAAPAAAP =)()()()()()()()()( 321321321 APAPAPAPAPAPAPAPAP =0.4 0.6 0.3+0.6 0.6 0.7+0.4 0.4 0.7=0.436 P(B3)= P( 321 AAA)=P(A1) P(A2) P(A3)= 0.4 0.6 0.7=0.168 P(C|B0)=0，P(C|B1)=0.2，P(C|B2)=0.6，P(C|B3)=1 （1）敌机被击落的概率为 10452 班专用 28 P(C)=P(C|B0)P(B0)+P(C|B1)P(B1)+P(C|B2)P(B2)+P(C|B3)P(B3) =0 0.072+0.2 0.324+0.6 0.436+1 0.168=0.4944； （2）所求概率为 P(B3|C)=3398. 0 4944. 0 1168. 0 )( )|()( 33 CP BCPBP 。 五、思考与练习 （一）填充题（一）填充题 1若 P(A)=0.3，P(B)=0.6，则 （1）若 A 和 B 独立，则 P(A+B)= ， P(BA)= ； （2） 若 A 和 B 互不相容， 则 P(A+B)= ， P(BA) = ； （3）若 A B，则 P(A+B)= ，P(BA)= 。 2. 如果 A 与 B 相互独立，且 P(A)= P(B)= 0.7，则 P(BA)= 。 3在 4 次独立重复试验中，事件 A 至少出现 1 次的概率为 81 65 ，则在每次试验中 事件 A 出现的概率是 。 （二）选择题（二）选择题 1. 下列说法正确的是（ ） A. 任一事件的概率总在(0,1)之内 B. 不可能事件的概率不一定为 0 C. 必然事件的概率一定为 1 D. 以上均不对。 2 以 A 表示事件“甲种药品畅销， 乙种药品滞销”， 则其 A 的对立事件为 （ ） A. 甲，乙两种药品均畅销 B. 甲种药品滞销，乙种药品畅销 C. 甲种药品滞销” D. 甲种药品滞销或乙种药品畅销 3. 有 100 张从 1 到 100 号的卡片，从中任取一张，取到卡号是 7 的倍数的概率为 （ ） 10452 班专用 29 A. 50 7 B. 100 7 C. 48 7 D. 100 15 4. 设 A 和 B 互不相容,且 P(A)0，P(B)0，则下列结论正确的是（ ） A. P(B|A)0 B. P(A)=P(A|B) C. P(A|B)=0 D. P(AB)=P(A)P(B) （三）计算题（三）计算题 1设 =1，2，3，4，5，6，7，A=2，3，4，B=3，4，5。试求下列事件: （1）BA； （2）A+B。 2某城市的电话号话由 0，1，2，9 这 10 个数字中任意 8 个数字组成，试求 下列电话号码出现的概率： （1）数字各不相同的电话号码（事件 A） ； （2）不含 2 和 7 的电话号码（事件 B） ； （3）5 恰好出现两次的电话号码（事件 C） 。 3一部五卷的文集，按任意次序放到书架上去，试求下列事件的概率： （1）第一卷出现在两边； （2）第一卷及第五卷出现在两边； （3）第一卷或第五卷出现在两边； （4）第三卷正好在正中。 4电路由电池 A 与两个并联的电池 B、C 串联而成，设电池 A、B、C 是否损坏 相互独立，且它们损坏的概率依次为 0.3，0.2，0.2，求电路发生间断的概率。 5. 设一医院药房中的某种药品是由三个不同的药厂生产的，其中一厂、二厂、三 厂生产的药品分别占 1/4、1/4、1/2。已知一厂、二厂、三厂生产药品的次品率分别是 7%，5%，4%。现从中任取一药品，试求 （1）该药品是次品的概率； 10452 班专用 30 （2）若已知任取的药品是次品，求该次品是由三厂生产的概率。 6盒中放有 12 个乒乓球，其中有 9 个球是新球。第一次比赛从盘中任取 3 个来 用，比赛后仍放回盒中；第二次比赛时又从盒中任取 3 个。 （1）求第二次取出的球都 是新球的概率； （2）若已知第二次取出的球都是新球，求第一次取到的都是新球的概 率。 六、思考与练习参考答案 （一）填充题（一）填充题 1. （1）0.72，0.42； （2）0.9，0.6； （3）0.6，0.3 2. 0.09 3. 1 3 （二）选择题（二）选择题 1. C； 2. D； 3. A； 4 .C （三）计算题（三）计算题 1. A=1, 5，6, 7，B=1, 2，6, 7，则 （1）BA=1, 6, 7； （2）A+B=1，3，4，5，6，7 2 （1） 01814. 0 1010 345678910 8 8 10 8 A AP （2） 1678. 0 10 8 8 8 BP （3） 1488. 0 10 9 8 62 8 C CP 3. （1） 5 2 5 5 4 4 1 2 A AC P=0.4； （2） 10 1 5 5 3 3 2 2 A AA P=0.1； （3） 10 72 5 5 3 3 2 2 4 4 1 2 A AAAC P=0.7；或 10 7 1 5 5 3 3 2 3 A AA P=0.7； 10452 班专用 31 或 10 72 5 5 3 3 2 2 3 3 1 3 1 2 A AAACC P=0.7 （4） 5 1 5 5 4 4 A A P=0.2 4已知 P(A)=0.3，P(B)=0.2，P(C)=0.2 且 A、B、C 相互独立 则所求概率 P(CBA )=P(A)+P(CB)P(CBA) = P(A)+P(B)P(C)P(A)P(B)P(C) =0.3+0.20.20.30.20.2=0.328 5. 令 A=该药品是次品；Bk=药品是由 k 厂生产的，k=1，2，3。 由题意知 P(B1)=0.25, P(B2)=0.25，P(B3)=0.5， P(A|B1)=0.07，P(A|B2)=0.05，P(A|B3)=0.04， （1）P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|P2)P(B2)+P(A|B3)P(B3) =0.070.25+0.050.25+0.040.50=0.05 （2） 40. 0 0.05 0.02 5 . 004. 025. 005. 025. 007. 0 5 . 00.04 )()|()()|()()|( )(| )|( 332211 33 3 BPBAPBPBAPBPBAP BPBAP ABP 6令 Ak=第一次比赛任取 3 球中有 k 个新球，k=0，1，2，3； B=第二次取出的球都是新球。 由题意得 P(Ak)= 3 12 9 3 3 C CC kk ， P(B|Ak)= 3 12 3 9 C C k ，k=0，1，2，3。 （1） 3 0 3 12 3 9 3 12 9 3 3 3 0 146. 0)|()( k k kk k kk C C C CC ABPAPBP （2） 146. 0 )( )|()( )|()( )|()( )|( 3 12 3 6 3 12 3 933 3 0 33 3 C C C C BP ABPAP ABPAP ABPAP BAP i ii =0.238 10452 班专用 32 第三章第三章 随机变量及其分布随机变量及其分布 一、 学习目的和要求 1. 理解随机变量及其分布函数的概念； 2. 熟练掌握离散型、连续型随机变量的分布及性质； 3. 熟练掌握常用数字特征：数学期望 E(X)和方差 D(X)及其性质； 4. 熟练掌握二项分布、泊松分布、正态分布等的性质及概率计算； 5. 了解随机变量函数的分布； 6. 了解随机向量及分布函数的概念、性质； 7. 掌握离散型随机向量和连续型随机向量及其分布； 8. 掌握二维随机向量的数字特征； 9. 了解契比晓雪夫不等式和大数定律及其意义； 10. 掌握中心极限定理及其应用； 11. 了解用 Excel 计算二项分布、泊松分布、正态分布等常用分布的概率。 二、内容提要 （一）随机变量及常用分布（一）随机变量及常用分布 1. 离散型随机变量及常用分布离散型随机变量及常用分布 名名 称称 定定 义义 性质或背景性质或背景 备备 注注 分布律 PX=xk=pk，k=1,2, 或 X x1 x2 xk P p1 p2 pk 1. pk 0，k=1,2, 2. 1 1 k k p 0-1 分布 PX=1=p, PX=0=q，或 X 0 1 P q p 二项分布 n=1 的特例： B(1,p)( 一重贝努里试验) EX=p D(X)=pq 二项分布 B(n,p) PX= k= knkk n qpC ， k=0,1, ,n X 为 n 重贝努里试验中 A 事件发生的次数 EX=np D(X)=npq 10452 班专用 33 泊松分布 P() PX=k= e k k ! ， k0,1,2, , 0 是常数 二项分布泊松近似公式 e k qpC k knkk n ! ( np) (n 很大，p 较小) EX= D(X)= 超几何 分布 PX=k= n N kn MN k M C CC k=1,2,min(M,n) 无放回产品抽样试验 当 N+时， p N M 时， knkk n n N kn MN k N N qpC C CC lim EX= N nM ) 1( )( )( 2 NN MNnNnM XD 2. 连续型随机变量及常用分布连续型随机变量及常用分布 名名 称称 定定 义义 性质或背景性质或背景 备备 注注 密度函数 f(x) 对任意 a0 为常数 E(X)=1/ D(X)=1/ 2 均匀分布 Ua，b ,其它 , 0 , 1 )( bxa abxf 直线上几何概率模型 的分布描述 E(X)= (a+b)/2 D(X)=(b-a)2/12 对数正态分布 LN( 2 ,) f(x)