万学海文届钻石卡I阶VIP课程讲义高等数学习题训练答案.pdf

2014 届钻石卡学员2014 届钻石卡学员 I 阶段阶段 VIP 课程讲义课程讲义 高等数学 高等数学 习题训练精选答案 习题训练精选答案 万学海文教学与研究中心万学海文教学与研究中心 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 目目 录录 第一讲 函数、极限与连续性 1 第二讲 导数与微分 10 第三讲 微分中值定理及其应用 20 第四讲 不定积分 32 第五讲 定积分及其应用 38 第六讲 常微分方程 49 第七讲 多元函数微分法及其应用 56 第八讲 重积分（上） ） 67 第九讲 无穷级数 77 第十讲 向量代数与空间解析几何 84 第八讲 重积分（下） 88 第十一讲 曲线曲面积分 90 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 1 第一讲第一讲 函数、极限与连续性（函数、极限与连续性（P14） 一、选择题 1、 【答案】B 【解析】 因为当0x 时, 2 2412 1 (1 cos )ln(1)sin,(1) 2 nnx xxxxxxex ?，,所以 214n 满足题设条件的2n .故选 B. 2、 【答案】B 【解析】当 1 ( )x n 时, 1 1nn x ， n x 1 , 当 1 ( )x n 时, 1 1nn x ， 1n x 1 , (1/ )(1/ ) 1 lim( )lim 1, xnxn f xx x (1/ )(1/ ) 11 lim( )lim 1. xnxn n f xx xn 故 1 (2 3xn n ， ， ）是( )f x的跳跃间断点.选 B. 3、 【答案】B 【解析】方法方法 1: ln22 1 21ln2( ln2) 2! xx exx , ln32 1 31ln3( ln3) 2! xx exx ( )232(ln2ln3)( ) xx f xxx 故0x 时( )f x与x是同阶但非等价无穷小量. 方法方法 2: 000 ( )2322 ln23 ln3 limlimlimln2ln3 1 xxxx xxx f x xx , 0x 时( )f x与x是同阶但非等价无穷小量. 4、 【答案】D 【解析】由 2 1 limlim0 2 n nn x n 及 2 2n+1 (2n+1)21 limlim 21 nn n x n , 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 2 知 D 成立. 5、 【答案】D 【解析】 2 2 0 ( ) 0 xx f x xxx , 令xt 有 2 2 )0 () )0 tt ft ttt , 2 2 0 () 0 xx fx xxx . 6、 【答案】D 【解析】 取1/(2)(12) 2 xkk ， ，,则 2 2 11 sin(2) 2 k xx .当k绝对值无限 增大时,0x , 2 2 11 sin(2) 2 k xx 大于任意给定的正数M. 取1/2(12)xkk ， ，,则 2 11 sin0 xx .当k绝对值无限增大时0x . 因此0x 时, 2 11 sin xx 是无界的但不是无穷大量. 7、 【答案】A 【解析】由 2 2 00 1 2 ln(1)() 1 limlim2 2 xx abx xaxbx x xx 知 0 1 lim()0 1 x a x 因此1a . 从而 000 1 2 2(1)1 2 (1) 1 limlimlim2 22 (1)2(1) xxx abx xbxxbx x xxxx 即 1245/2bb . 8、 【答案】C 【解析】取2(12) 2 xkk ， ，,则当k无限增大时, ( )22 22 f xkk 大于任给的正数M,故( )sinf xxx在() ，内无界. 但2xk时,( )0f x . 所以当x时,( )f x不是无穷大. 9、 【答案】D 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 3 【解析】 + (/2)(/2) lim sin(tan )limsin(tan ) xx xx 及均不存在. 2 x 是第二类间断点. 10、 【答案】A 【解析】 因为函数单调有界,所以它在间断点处的左、 右极限必存在,因此只可能为第一类 间断点. 11、 【答案】B 【解析】 0 000 0 ( )sin d ( )( )sin lim0limlim0 10 ( )( ) ( )d x x xxx f tt t f xf xx g xg x x tg tt . 故0x 时 0 ( )sin d x f tt t 是比 0 ( )d x tg tt 高阶的无穷小.所以选 B. 12、 【答案】A 【解析】因为 00 sinsin11 limarctan( 1)()limarctan1 2222 xx xx xxxx ，.由 极限存在的充要条件知 0 sin1 limarctan x x xx 存在.故选 A. 13、 【答案】C 【解析】用排除法 取 1 000 ( )( ) 0 010 xx f xx xx ，,则( )f x为有界函数,且lim( ) ( )0 x f xx ,满 足 A 的条件,但lim( )0 x x ,故排除 A. 0x 时,( )0xx,取( )sinxx,则 0 ( ) lim10 ( ) x x x ,满足 B 的条件,但 0 lim( ) x x 不为无穷大.故排除 B. 取 0 ( )( ), 0 xxx f xx xxx 为有理数为有理数 为无理数为无理数 则x 时( )f x为无界函 数,且lim( ) ( )0 x f xx ,满足 D 的条件,但lim( ) x f x 不存在.故排除 D. 14、 【答案】D 【解析】 00 1 lim ( )lim( )(0) 0 xx g xfag x ，=. ( )g x在点0x 处的连续性与a的取值有关. 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 4 15、 【答案】A 【解析】方法方法 1:由于( )f x在1x 或2x 附近均出现无穷大的情况,故排除 B、C、D. 方法方法 2: 2 sin(2) ( ) (1)(2) x f x xx 在( 10)x ，时, 2 11 ( ) 1(2)2 f x xx . 16、 【答案】D 【解析】 /(1) 00 1 lim( )lim0 1 xx xx f xx e 是第二类间断点 又 /(1)/(1) 1111 11 lim( )lim1lim( )lim0 11 xxxx xxxx f xf x ee .故选 D. 二、填空题 17、 【答案】13x 【解析】因( )f u的定义域为04u,故(1)(1)f xf x的定义域为不等式组 014 014 x x 的解,即为13x. 18、 【答案】 2 ln 1x 【解析】因 2 e1 g x fg xx ,故 2 ( )ln 1g xx. 19、 【答案】2 【解析】因 2 0 ln 1( ) lim2 x f x x ,故 0 limln 1( )0 x f x .因0u 时,ln(1)uu?,故 22 00 ln 1 limlim2 xx + f(x)f(x) xx . 20、 【答案】 1 3 【解析】原式 4 33 33 0 1 sin ee2 lim(0sin) xx x x x x xxx xx 时， 3 00 1ee2 =lim sinlim xx xx x x xx 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 5 - 2 000 ee2eeee1 0limlimlim 3663 xxxxxx xxx xx 21、 【答案】 2 1 e 【解析】 1 lim(1)lim() 2 x xx x f x x 2 2 2 1 11 lim. 22 (1) (1 1 lim ) ) 2 (1 x xx x xx x e 22、 【答案】不存在 【解析】 1( ) ( )0 ( ) 1 g x f g x g x ( )2 ( )2 ( )2 g x g x g x 11 12 0 12 1 1 12 xx x xx ee e ee 2 0 0 0 0 x x ex x ex . 23、 【答案】 1 3 【解析】因 22 000 1211 lim( )limlim, 333 xx xxx exe f x x 2 0 3 00 2 2 0 sin d 1 lim( )l sin 3 im 3 lim, x xxx tt x f x xx 故 0 1 lim( ) 3 x f x . 24、 【答案】 2 【解析】因 ln cos lnln(1) x xxxxxx x (1)x 而 ln1/ limlim0 1 xx xx x , 故 ln lim(1) x x x x ,因此原式 2 . 25、 【答案】1 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 6 【解析】原式= 0 sinsin(sin ) sin(sin ) sin lim1 sin(sin )sintan x xxx xxx . 26、 【答案】0abe， 【解析】因0x 是( )f x的无穷型间断点,故0a ,否则 0 lim( ) x f x .又1x 是( )f x 的可去间断点,而 1 lim (1)=0 x x x ,故 1 lim()=0 x x eb ,得be. 27、 【答案】4 【解析】 因图形关于2x 对称,故( )(4)f xfx.又( )f x为偶函数,则()( )fxf x, 则由( )(4)f xfx得()(4)fxfx,故 ( )()(4)4f xfxfxT. 28、 【答案】 2 max 1, 2 x x ，; 【解析】当01x时,由lim0 n n x ， 2 lim()0 2 n n x 得( )1f x 当12x时, 1 ( )lim( )1 ( ) 2 nn n n x f xxx x 当2x时, 22 2 22 ( )lim()( )1 22 nn n n xx f x xx . 29、 【答案】 4 e 【解析】 2 lim 1tan1 4 n n n 原式= 2 tan1 14 * 12 tan1 4 2 lim 1tan1 4 n nn n n 22 tan1tan1 44 exp limexp lim 11 nx nx nx 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 7 2 24 22 sec 244 exp limexp2 lim sec. 4 1 xx xx e x x 30、 【答案】14ab， 【解析】因 22 0 00 limlim1 sincos x xx tx dt btbx axxax ， 故 0 lim(cos )01 x axa ， 则 22 00 1 limlim() 1 cos(1 cos ) xx xx xxbxbx 0 212 (lim)14 sin x x b xbb . 31、 【答案】0 【解析】原式 2 0 lim ln(0 ln x x xx x 时,ln(1) lnln xx xx ? 00 2 1 ln limlim0 11xx x x xx . 32、 【答案】2 【解析】原式= 11 12 limlim (1) (1) 2 NN NN nn n n n n 111111 2 lim(1)2 lim(1)2 22311 NN NNN . 33、 【答案】 1 2 【解析】原式 coscos 2 0 (1) lim xxx xx x ee x x (0x 时, 22 ln(1)xx? cos cos 3 00 1 limlim x xx xx xx e e x (0x 时, cos e1cos ) x xx xxx ? 3 0 cos lim x xxx x 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 8 2 00 1 cossin1 limlim. 22 xx xx xx 34、 【答案】0 【解析】 2 2 11 limsincos 2 x x x xx 22 2 1sin(1/) 1 limcos (2)1/ x xx x x xxx 22 2 1sin(1/)1 limlimlimcos1 1 00 (2)1/ xxx xx x x xxx 三、解答题 35、 【解析】 22 00 ( )ln(1 2 )( )ln(1 2 ) lim44,lim0 xx xf xxxf xx xx 其中 22 2 (4)ln(1 2 )( )2(4)ln(1 2 )2 ( ) xxf xxxx f x xxx 2 22 000 ( )2(4)ln(1 2 )2ln(1 2 )2 limlim4lim xxx f xxxxxx xxx 2 0000 2 2 ln(12 )22(1 2 )24(12 ) limlimlimlim2 22 (1 2 )2(12 ) xxxx xxxx xxxxx 2 00 ( )2ln(1 2 )2 lim4lim6 xx f xxx xx . 36、 【解析】 0x 时，sin 2xxx，tanxx， tantan ln(sin )ln(sin ) 000 lim(sin )limlim xxxxxxx xxx xxee . 37、 【解析】 当n时，1 23 3 nnn ，2sin 2nnn故 11 2sin2 lim(123 )lim(3 )3 nnn nnn nn 38、 【解析】 222 000 1sin1sin1sin limln()limln1(1)lim(1) xxx xxx xxxxxx (sin1)0 0 lim1 x xx x ee 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 9 2 322 000 sincos1/ 21 lim()lim()lim() 336 xxx xxxx xxx 39、 【解析】 2 22 2 222 0000 1 sec tanarctancos12 1 limlimlimlim 2cos(1)22 xxxx x xxxx x xxxxxx . 40、 【解析】 3 5 3 33344 2 33 1212 tanarctan 1 2 limlimlim0 310310 3 10 sinarcsin xxx xxx xx x xxxx 41、 证明： 令函数( )( )F xf xx， 由题意可知有(1)(1)10Ff ，(0)(0)0Ff， 当(1)0F时，此时1；当(0)0F时，0；当(1)0F，(0)0F时，则必有 (1)0F，(0)0F，此时有(1)(0)0FF，由零点定理可至少存在一个使得 ( )( )0Ff。命题得证。 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 10 第二讲第二讲 导数与微分（导数与微分（P28） 一、选择题 1、 【答案】A 【解析】 因两曲线相切于点 1 (2) 2 ，,故相交于该点.将 1 2 2 xy，代入 2 yaxb中得 1 4 2 ab,又相切于该点,故切线的斜率相等,则导数相等,则 2 1 2ax x .将2x 代入得 1 16 a ,故 3 4 b . 2、 【答案】D 【解析】设( )( )( )( )fxg xf xg xC.例如( )sin1f xx，( )sing xx，那 么，( )( )fxg x,但( )( )f xg x,故不选 A. ( )2f x ，( )sing xx， 则( )( )f xg x， 但( )0fx，( )cosg xx， ( )( )fxg x不成立，故不选 B.类似可证 C 不成立，故选 D. 3、 【答案】C 【解析】 0 000 000 0 () ()()() limlimlim0 () xxx y fx fx dxyfxfxdyy x y yyfx x ? . 4、 【答案】B 【解析】 3 ( )2 ( )(2( ),)fxf xxfxf 2224 1 ( ) ( )3 2( )( )3!( )( )3!( ), ( )!( ). n n fxf xfxf xf xf x fxnf x 5、 【答案】B 【解析】因( )f x在0x 处可导,故其在0x 处必连续, 00 cos lim( )lim(0)0 xx abx f xf x 则， 0 lim(cos )0 0. x abxab 所以得 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 11 0 ( )(0) (0)lim x f xf f x 由 2 00 (cos )/0cos limlim xx abxxabx xx 2 00 cossin limlim, 22 xx aaxaxa xx 0 0 ( )(0) (0)limlim1. x x f xfx f xx 又( )f x在0x 处可导,则(0)(0)ff ,故1 2 a ,得2a . 将2a 代入0ab中得2b . 6、 【答案】C 【解析】 由 3 3 40 ( ) 20 xx f x xx ， ， 得 2 2 120 ( )00 60 xx fxx xx ， ， ， , 240 ( )00 120 xx fxx xx ， ， ， , 而 0 240 (0)lim=24 x x f x , 0 120 (0)lim=12 x x f x , 因(0)(0)ff ,故(0) f 不存在. 7、 【答案】B 【解析】 00 ( )(0) lim( )lim(0) xx f xf F xf x ( )f x为奇函数,(0)0f) 而( )F x在0x 处无定义,故0x 是( )F x的可去间断点. 8、 【答案】D 【解析】因可导周期函数的导函数是与( )f x有相同周期的函数,故 00 (1)(1)(1)(1) (5)(1)lim2lim2( 1)2 2 xx fxfffx ff xx . 故曲线在点(5(5)f，处的切线的斜率为2 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 12 9、 【答案】D 【解析】排除法：设 3 ( )f xx,排除 A；设 2 ( ) 2 x f x ,排除 B；设( )f xx,排除 C. 10、 【答案】A 【解析】 sincos0 ( )00 sincos0 xxxx fxx xxx x , 00 ( )(0)sincos0 (0)lim= lim2 xx fxfxxx f xx , 00 ( )(0)sincos (0)lim= lim2 xx fxfxxx f xx . 故(0)(0)ff ,则(0) f 不存在. 11、 【答案】B 【解析】 2 22 ( ) 4 xx f x xx 因为已知函数在(0, 2)及(2, 4)都可导,而有不可导的点只能是2x .或用导数的定义求 (2)f及(2)f也可以. 12、 【答案】C 【解析】 2 2 00 sin/21sin2 (0)limlim xx x xxxxx f xx 00 cos41sin4 limlim2 22 xx xxx x 2 cossin ( )2(0) xxx fxx x 2 000 0 cossincossincos lim( )lim2lim2 2 sin lim22(0), 2 xxx x xxxxxxx fx xx x f 故( )fx在0x 处连续. 13、 【答案】C 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 13 【解析】 12 11 cossin01) ( ) 00(0) 0 nn nxxxn f xxx xf (注： 是用定义所求) 要使( )fx在0x 处连续,则必须 0 lim( )(0)0 x fxf ,故只有当10n 且20n 时才可能( 0 1 limcos x x 及 0 1 limsin x x 都不存在),所以答案为3n . 14、 【答案】C 【解析】在关系式中令 12 0xxx，,则(0)( ) (0)f xf x f.而( )f x 0,否则 (0)2 f ,故(0)1f. 15、 【答案】D 【解析】因()f axb与()f axb有相同的周期,而()f axb的周期为 l a ,故 ()f axb的周期也是 l a . 16、 【答案】D 【解析】因0x 时, 2 2 1 x ex?， 2 1cos 2 x x?,故 2 2 2 0000 ( ) 1 cos( )1 2 lim( )limlimlim( )0 22 (1) x xxxx x f x xf x f xf x x xx x e ? . 又 00 ( )( )(0)11 limlim(0)(0)1 2222 xx f xf xf ff xx . 二、填空题 17、 【答案】m 【解析】因()( )fxf x ,故( )f x为奇函数.又( )f x在 0 x处可导,则它在 0 x处必可导, 且有 00 00 00 00 ()() ()liml m ) () ( i () hu fxuff xhf xx fxuh h fxm u . 18、 【答案】 ( )( ) 1 (ln )(ln )( ) f xf x fx efx efxdx x 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 14 【解析】因 ( )( ) 1 (ln )(ln )( ) f xf x yfx efx efx x , 则 ( )( ) 1 (ln )(ln )( ) f xf x dyfx efx efxdx x . 19、 【答案】 18 380 2 【解析】 (20)2(20)2(19)2(18) 20 19 ( )(cos2 )20 () (cos2 )() (cos2 ) 2 fxxxxxxx 2(20)(19)18 (cos2 )20 2 (cos2 )20 19 2 ( cos2 ),xxxxx 故 (20)18 (0)380 2f . 20、 【答案】1 【解析】原式 1 ( )(0) (0)1 11 (0) ( )(0) 11 (0) ( )(0)( )(0) limlim 1 (0)(0) ff f n n f ff nn nn fffff nn ff (0) 0(0) 1 ( )(0) 1 explim1 1 (0) f f n ff n ee f n . 21、 【答案】0 【解析】当x为无理数时, 2 00 ( )(0)0 limlim0 xx f xfx xx 当x为有理数时, 00 ( )(0)00 limlim0 xx f xf xx .故(0)0 f . 22、 【答案】2 【解析】将 2 6+10 y exy x 两边对x求导得 6620 y eyxyyx 将再对x求导得 2 ( )61220 yy eye yxyy 当0x 时,由原方程知0y .将0x ,0y 代入得(0)0 y ,再将(0)0xy y 代 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 15 入得(0)2 y . 23、 【答案】2( )ba 【解析】若0b 时，则( )0f x ，故(0)0 f .若0b 时，由导数定义可得 00 ( )(0)()() (0)imim 0 xx f xfabxabx fll xx 00 ()( )()( ) =imim xx abxaabxa b ll bxbx =( )+( )2( ).baaba 24、 【答案】 2 (1)/ee 【解析】由原方程知0x 时 1 ye.在方程两边对x求导得 ()/1/(1)0 xy eyxyyyx， 将 -1 (0)e，代入后解得 2 (0)(1)/yee. 25、 【答案】!n 【解析】 00 ( )(0) (0)limlim (1)(2)()! xx f xf fxxxnn x . 26、 【答案】 (1 ln ) dx xy 【解析】 ln ()()( ln )(1 ln ) yyyyy dxd yd ey d yyyy dy， 故 (1 ln )(1 ln ) y dxdx dy yyxy . 27、 【答案】1 【解析】 0 ()1fx , 00 0000 1 limlim (2 )()(2 )() / xx x f xxf xxf xxf xxx 原式=, 而 00 0 (2 )() lim x f xxf xx x 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 16 0000 0 (2 )()()() lim( 2) 2 x f xxf xf xxf x xx 000 2()()()1 , fxfxfx 故原式=1 28、 【答案】 2 (1 2 ) t t e 【解析】 2 22 11 ( )lim (1)lim (1) t txxt xx f tttte xx , 222 ( )2(1 2 ) ttt fxetet e . 29、 【答案】e 【解析】令 1/ln(1) 1( ) x yf x ,则 ln 1( ) ln ln(1) f x y x 1 00 ( )1(0) limlnlim11 1( )11(0) xx fxf y f xxf , 1 0 lim x yee 原式. 30、 【答案】4 【解析】由 0 ( ) 1 lim2( ) sin x f x f x xx ，在0x 连续可得 0 (0)lim( )1 x ff x .所以， 00 ( )(0)( ) 1 (0)limlim xx f xff x f xx 0 ( ) 1sin lim2 24. sin x f xxx xxx 31、 【答案】0 【解析】 2 ( ) lim1( ) () xa g x g x xa ，连续 ( )lim ( )0 xa g ag x 又( )1 ()( )f xxa xag x ( )1( )1f ag a 故 2 ( )( )( )( ) () ( )limlim0lim1 00. () xaxaxa f xf ag xg xxa faxa xaxaxa 32、 【答案】1 【解析】 00 ( )( )(0) limlim(0)cos0(0)sin01 xx g xg xg gg xx . 三、解答题 33、同 27 题 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 17 34、 32 11 1 (1)3(1) limlim ( ) ( ) x xx xx f x f t dt 由于(1)0f，于是 2 1 3(1) lim ( ) x x f x 依然是一个“ 0 0 型” 的极限，继续用洛必达法则 2 11 3(1)6(1) limlim ( )( ) xx xx fxfx 对隐函数 32 210yxyxx 两边对x求导，得 2 2 22 3220 3 dydydyyx yyxx dxdxdxyx 有 2 11 22 lim( )lim()0 3 xx yx fx yx ，所以 1 6(1) lim ( ) x x fx 依然是一个“ 0 0 型”，继续用洛必达 法则 11 6(1)6 limlim ( )( ) xx x fxfx 于是求得 1 lim( ) x fx 是关键 2 22 ( ) 3 dyyx fx dxyx 2 22 ( )( )() 3 ddyx fxfx dxdxyx 2 22 (3)(2)(22)(61) (3) yx yyxyy yx . 当1x 时，( )0yf x， ( ) 0yfx经计算 ( ) 2yfx，于是 3 111 1 (1)6(1)6 limlimlim3 ( )( ) ( ) x xxx xx fxfx f t dt . 35、证明： （I）( )0f a ，设( )0f a ，由保号性，存在xa的某邻域U，当xU时， ( )0f x 从而( )( )f xf x，xU， ( )( )( )( ) limlim( ) xaxa f xf af xf a fa xaxa . 因此 ( )( ) x a f xfa 若( )0f x ，则可得 ( )( ) x a f xfa 总之，当 ( ) f a存在且( )0f a 时， ( ) x a f x 必存在 （II）若( )0f a ，则 ( )( )( )( )( ) limlimlim, xaxaxa f xf af xf xf a xaxaxa 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 18 ( )( )( )( )( )( ) limlimlim( ) ; xaxa xa f xf af xf af xf a fa xaxaxa 同理， ( )( )( )( ) limlim( ) ; xaxa f xf af xf a fa xaxa 所以，( )f x在xa处可导 ( )( )( )0( )0fafafafa . 当满足上述充要条件时， ( )0 x a f x 36、 （I） 2 2 00 ( )ln(1) lim2( )ln(1)(2),lim0 xx xf xx xf xxx x 其中 22 00 (2)ln(1)(2)ln(1) ( )lim( )lim1 xx xxxx f xf x xx 又 ( )f x 在0x 的某邻域内连续，则 0 (0)lim( )1 x ff x 2 00 (2)ln(1) 1 ( )(0) (0)limlim xx xx f xf x f xx 2 22 00 (2)ln(1)ln(1) lim2lim xx xxxxx xx 00 1 1 3(1) 2lim2lim 22 (1)2 xx xx xxx . （II）又当0x 时， 2 1 ( ) 2 k F xxbx得到 2222 00 0000 1111 ( )( )()() ( ) 2222 lim1limlimlim xx kkkk xxxx F xxF xxtf xt dtxxt f t dtx bxbxbxbx 22 000 0 1 000 11 () ( )( )( ) ( )( )( ) 22 limlimlim xxx x kkk xxx xt f t dtxxf t dttf t dtx f t dtxf xxf xx bxbxbkx 0 1223 0000 ( ) ( ) 11( ) 11( )(0) limlimlimlim (1)(1)(1) x kkkk xxxx f t dtx f xf xf xf bkxbk kxbk kxbk kxx 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 19 33 00 111131 lim(0)1lim(0)13,13, (1)(1)2(1)4 kk xx ffkkb bk kxbk kxbk k 37、 将 21 2 0 arctan cos 0 1 y u t xt u e dudu u 中的两式分别求微分，得 2 2 2 1 1 cos 0 1 y dxdt t t e dydt t ， 即 2 2 2 1 1 cos 1 y dxdt t t dyedt t ， 所以 2 cos y dy et dx ， 从而 22 2 2 2 2 cos ( 2)sin (cos ) 1 1 yy y d ydetydyet et dxdx dt t ， 将 2 2 cos 1 y t dyedt t 代入上式，得 22 2 22 2 ( 2 )(cos )(1)sin yy d y y ettet dx 2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案 针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 20 第三讲第三讲 微分中值定理及其应用（微分中值定理及其应用（P49） 一、选择题 1、 【答案】B 【解析】因 f x在,a b内可导,所以 f x在,a b内连续,所以,对任何 ,a b, limlimlim0 xxx fxffxfff ,因此选B.也 可以举出反例说明A、C、D不一定成