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微分方程典型例题 余杨 湖北大学数学与计算机科学学院 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 本章学习要求： n了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念. n了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程.熟练掌握 分离变量法和一阶线性方程的解法. n会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程. n知道下列高阶方程的降阶法： . )( )( xfy n = ),(yxfy= ),(yyfy= n了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线 性微分方程的解法. n熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法. n掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余 弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方 程的解法. PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 微分方程的基本概念 常微分方程 方程的阶数 线性方程、非线性方程 方程的解、通解、特解、所有解 初始条件（定解条件） 积分曲线（解的几何意义） 初值问题、初值问题的解 齐次方程、非齐次方程 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 常微分方程的初等方法 介绍常微分方程的解法 分离变量法 常数变易法 积分因子法 变量代换法 降阶法 高阶线性常系数微分方程解法 特征值法 变量代换法 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 )()( d d ygxf x y = 变量可分离方程变量可分离方程 = x y f x y d d 齐次方程齐次方程 + + = 222 111 d d cybxa cybxa f x y 可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程 0)( d d =+yxp x y 一阶线性齐方程一阶线性齐方程 )()( d d xqyxp x y =+ 一阶线性非齐方程一阶线性非齐方程 n yxqyxp x y )()( d d =+ 伯努利方程伯努利方程 变量代换变量代换变量代换变量代换变量代换变量代换 变量代换变量代换变量代换变量代换变量代换变量代换 变量分离变量分离变量分离变量分离 常数变易常数变易常数变易常数变易 变量代换变量代换变量代换变量代换变量代换变量代换 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 例 解解 tan d d 的通解。的通解。求方程求方程 x y x y x y += d d d d ，则，则令令 x u xu x y x y u+= 于是，原方程化为于是，原方程化为 d tan d ， x x u u = 两边积分，得两边积分，得 d tan d ， = x x u u |ln |ln |sin|ln，Cxu+= 即即 sin，Cxu = sin 。故原方程的通解为故原方程的通解为Cx x y = xuuxyddd+= u x u x x y += d d d d x x x xsin cos cot tan 1 = PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程 = X Y X Y d d 齐次方程齐次方程 + + = 222 111 d d cybxa cybxa f x y 可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程 变量代换变量代换变量代换变量代换变量代换变量代换 0 111 =+cybxa 0 222 =+cybxa ，=yx ，令令=yYxX d )( d X X ZZf Z = 变量分离方程变量分离方程 变量代换变量代换变量代换变量代换变量代换变量代换 ZXY = ZXY = PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 + + = 222 111 d d cybxa cybxa f x y 可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程 0 21 时，时，= cc = + + = + + = x y x y ba x y ba f ybxa ybxa f x y 22 11 22 11 d d 2 1 2 1 时，时，k b b a a = + + = + + = 2 1 222 122 )( )( d d cu cku f cybxa cybxak f x y PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 )()( d d ygxf x y = 变量可分离方程变量可分离方程 = x y f x y d d 齐次方程齐次方程 + + = 222 111 d d cybxa cybxa f x y 可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程 0)( d d =+yxp x y 一阶齐线性方程一阶齐线性方程 )()( d d xqyxp x y =+ 一阶非齐线性方程一阶非齐线性方程 n yxqyxp x y )()( d d =+ 伯努利方程伯努利方程 变量代换变量代换变量代换变量代换变量代换变量代换 变量代换变量代换变量代换变量代换变量代换变量代换 变量分离变量分离变量分离变量分离 常数变易常数变易常数变易常数变易 变量代换变量代换变量代换变量代换变量代换变量代换 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 求解一阶微分方程要特别注意：求解一阶微分方程要特别注意： 1正确识别方程所属类型，以采用相应的方法正确识别方程所属类型，以采用相应的方法 2如果方程不属于典型类型，可以考虑引入变量代如果方程不属于典型类型，可以考虑引入变量代 换，或考虑认定换，或考虑认定x为为y的函数，再判定方程的类型的函数，再判定方程的类型 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 问题与思考问题与思考 ( )() ( ) ( )() ( ) 2 2 1 2sinsin 22 31 lnln0 2 4tansin2cos 3cos yxy xyxy y xyx dxydy C yyxxyx x = + + = += = + 是二阶微分方程。 是可分离变量方程。 是齐次方程。 的通解为 问题问题1. 判断正误：判断正误： （1）否； （）否； （2）； （）； （3）是）是; (4)是是 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 ( )( )( ) 123 12 2., , y yy yp x yq x yf x C C += 问题 设线性无关函数都是二阶非齐次线性微分方程 的解。为任意常数，则该方程的通解是 () () () 112233 1122123 1122123 1122123 .; .; .1; .1 AC yC yC y BC yC yCCy CC yC yCCy DC yC yCCy + + + + 选择选择C PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 问题3. 以 12 , xx yeyxe= 为特解的二阶常系数齐次线性微分方程为 20yyy+= 正确正确 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 例 解解 0d)823(d)732( 2222 的通解。的通解。求求=+yyyxxxyx d2d d2d 22 ，则，则，令令yyvxxuyvxu= 于是，原方程变为于是，原方程变为 732 823 d d ， + + = vu vu v u 联立方程组联立方程组 0823=+ vu 0732=+ vu 解之，得解之，得 1 2。，=vu 12 ，则有，则有，令令=vXuY 32 23 d d ， XY XY X Y + + = 可化为齐次方程的可化为齐次方程的可化为齐次方程的可化为齐次方程的 可化为齐次方程的可化为齐次方程的可化为齐次方程的可化为齐次方程的 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 ddd ，于是得到，于是得到，则，则令令XZZXY X Y Z+= d2 d 1 32 2 ， X X Z Z Z = + 两边积分，得两边积分，得 |ln|ln2 | 1|ln 2 1 | 1|ln 2 5 ，CXZZ+=+ 即即 1 ) 1( 25 。C Z XZ = + 的通解为的通解为，代入上式，得原方程，代入上式，得原方程由由 1 2 1 2 2 2 = = y x v u X Y Z 3 ) 1( 22 522 。C yx yx = + PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 例 解解 1 d d 的通解。的通解。求方程求方程 xy xe x y e= + 变量代换变量代换 原方程即原方程即 1 d d 。 yx ex x y + =+ d d 1 d d ，则，则令令 x y x u yxu+=+=于是，原方程化为于是，原方程化为 d d ， u ex x u = 运用分离变量法，解得运用分离变量法，解得 2 1 2 ，Cxe u += 故原方程的通解为故原方程的通解为 0 2 1 2 。=+ Cex yx 不是讲过的类型不是讲过的类型 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 例 解解 0 )4()5( 的通解。求方程= yyx )4( ，则原方程化为，则原方程化为令令yp = 0 d d ，= p x p x 分离变量，得分离变量，得 dd ， x x p p = 积分，得积分，得 )4( ，Cxpy= 连续积分连续积分 4 次，得原方程的通解为次，得原方程的通解为 ) 120 ( 154 2 3 3 2 5 1 。， C CCxCxCxCxCy=+= 型型 )( )( xfy n = PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 例 解解 0)( 。的通解的通解求方程求方程= yfy 什么类型？什么类型？什么类型？什么类型？ 2 ，得到，得到两边同乘以两边同乘以 y 0)(22，= yfyyy 即即 0) d)(2( d d 2 ，= yyfy x =yyfyd)()( x y y y x y d d d )(d d )(d = 从而从而 d)(2 1 2 ，Cyyfy= 即即 d)(2 1 。 +=yyfCy 运用分离变量法求解此方程，即得原方程的通解：运用分离变量法求解此方程，即得原方程的通解： 。 d)(2 d )( 1 2 2 + = yyfC y Cx PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 例 解解 22 的通解。的通解。求方程求方程 x xeyyy=+ 该方程所对应的齐方程为该方程所对应的齐方程为 02。=+ yyy 由刘维尔公式得其通解为由刘维尔公式得其通解为 21 。 xx exCeCy+= 由常数变易法，解方程组由常数变易法，解方程组 0 )( )( 21 ，=+ xx xexCexC 2)( )( 21 。 xxxx exexexCexC=+ 2 1 x x exy ey = = ) 1 ( )2( ) 1 ()2(，得，得 2)( 2 ，xxC= PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 两边积分，取积分常数为零，得两边积分，取积分常数为零，得 )( 2 2 。xxC= ) 1 ( 式，得式，得代入代入 2)( 2 1 ，xxC= 两边积分，取积分常数为零，得两边积分，取积分常数为零，得 3 2 )( 3 1 。xxC= 故原方程有一特解故原方程有一特解 3 1 3 2 )()(* 323 2211 ， xxx exxexexyxCyxCy=+=+= 从而，原方程的通解为从而，原方程的通解为 3 1 * 3 21 。 xxx exxeCeCyyy+=+= 0 )( )( 21 =+ xx xexCexC PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 例: 求方程满足初始条件的特解. y dx dy yx=+)( 2 1| 3=x y 将 y 视为自变量,可以变成关于 x 的线性方程: yx ydy dx = 1 yyQ y yP=)(, 1 )( 11 Cdyyeex dy y dy y + = )(Cyy+= 由得: 1| 3=x y2=C 故所求特解为: )2( +=yyx PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 例:0)(2)( 2 =+dyyxydxxy 全微分方程 解:02)2( 22 =+dyyxdxxydydxy 0) 3 2 () 2 ()( 3 2 2 =+yd x dxyd 0) 3 2 2 ( 3 2 2 =+y x xyd Cyxyx=+ 322 3 2 2 1 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 例: 0= xdyydx 非全微分方程 由于 2 )( y xdyydx y x d =则是积分因子, 2 1 y C y x = 同乘以积分因子并积分得通解:xyx 1 , 1 2 易知 也是积分因子 例: 0)1 ()1 (=+xdyxyydxxy 非全微分方程 变形 0)()(=+xdyydxxyydxxdy 0)()( 22 =+ y dy x dx yxxyd则是积分因子, 22 1 yx 0 )( 22 =+ y dy x dx yx xyd .|ln 1 C y x xy =+ PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 注意注意:其他类型的微分方程往往可以化成上述类型其他类型的微分方程往往可以化成上述类型 例: yyx y 2sincos 1 + = 视x 为y 函数,可化成线性方程 yxy dy dx 2sincos= 通解为: 2sin coscos Cdyeyex ydyydy + = )sin1 (2 sin yce y += PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 例 的特解满足求2)0(, 1)0()(2. 1 2 = yyyyyy . 4 tan , 4 )tan(arctan ,d 1 d 1 d d . 1 21 , 11 ,d 2 d 1 1 ).0() 1(2 d d ),(2 d d d d 2 1)0( 22 2 2 1 2 1 2 1 2 += =+=+= = + += = += = = = = xy CCxyCxy x y y y x y Cyy yCyyCp y y p p pp y p y pp y p yp y p pypy y 故微分方程的特解为： 积分得： 分离变量得：，则方程化为： 代入上式得：时，把初始条件 ，即：两端积分并化简得： 分离变量得： ，否则与已知条件矛盾即： ，原方程可化为：，则令 Q PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 的通解求1)(2. 2 2 += yyyx ().1 3 2 , 11 ,d 1 d 1 2 , 1 d d 2 d d 2 2 3 1 1 11 2 2 CxC C y xCyxCp x x p p p p x p xp x p ypy += = = + += = ：积分得微分方程通解为 ，即： 简得：等式两端同时积分并化 分离变量得： 原方程可化为： ，则令 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 例 通解求 x eyyxyx 3 6)1 (241.=+ .e 5 1 ee .e 5 1 ee e6 d d d d d d 4 1 d d 4 1 d d d d d d d d d d 2 1 d d d d d d , 32 2 3 1 3u2u 2 3 1 3 2 2 32 2 22 2 xxx u u xCCyxu uCCy y u y u y u y uu y ux u x y ux y u y ux u u y x y ux += += = = 带回，得：将 其通解为： ，代入原方程可得： ， ，则令 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 的特解满足求0)0()0(2sin4. 3=+=+ yyxexyy x ;cos2* , 0 2 , 02 42 ,sin4cos2sin2 sin4 cos)2(sin)2(* ),sincos(* .sincos , , 01 1 1 1 21 2, 1 2 xxy B A B A xxBxA xyy xAxBxBxAy xBxAxy xCxCY ir r = = = = = =+ =+ += += += = =+ ：即此微分方程的特解为 ，并整理得：代入微分方程 ，则 个特解为：设非齐次微分方程的一 通解为：故对应齐次微分方程的 解得特征根为： 征方程为：对应齐次微分方程的特 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 = = =+ = =+ =+ += 1 1 022 22 ,e2e )222( e2 ,e )(* 2 D C DC C xDCCx xyy DCxy xx x x ，并整理得：代入微分方程 一个特解为：设非齐次微分方程的另 .e ) 1(cos2sin2cos , 2 1 0)0( )0( ,e ) 1(cos2sincos .e ) 1(* 2 1 21 2 x x x xxxxxy C C yy xxxxCxCy xy += = = = += = 故微分方程得特解为： 代入通解得：把 解为：原非齐次微分方程的通 ：即此微分方程的特解为 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 .)cossin()sincos(dy x y x x y yxdx x y y x y xy=+ 例例 求通解求通解 解解（齐次方程）（齐次方程）, x y u =令令.,uxuyuxy += 代入原方程得代入原方程得), cossin sincos ( uuu uuu uuxu + =+ 分离变量分离变量, cos2 cossin x dx du uu uuu = 两边积分两边积分 Cxuu+= 2 ln|cos|ln,cos 2 x e uu C = ,cos 2 x C x y x y = 所求通解所求通解.cosC x y xy= ,补充零解补充零解 2 cos x C uu= PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 用凑分法求解用凑分法求解: ) 1 ()( 3 2 y d y x d+= dy y dy y x dx y x 24 2 3 1 ) 32 (+= 故通解故通解. 1 23 2 C yy x = dy y xy dx y x 4 22 3 32 + ) 1 () 1 )( 1 ( 3 22 3 y d y dxxd y += ) 1 ( 3 2 yy x d= . 0 32 4 22 3 = +dy y xy dx y x 例例 求通解求通解 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 . 0)2()2( 2222 =+dyxyxdxyyx *例例 求通解求通解 解解 非全微分方程非全微分方程. （利用积分因子法）（利用积分因子法） 改写为改写为)(2)( 22 xdyydxdydxyx=+ C xy xy yx+ + =+| /1 /1 |ln 故通解为故通解为. yx yx ee Cyx + = + 得得同乘同乘 , 1 22 yx 22 2)( yx xdyydx dydx =+ 即即 2 )/(1 )/( 2)( xy xyd yxd =+|) /1 /1 |ln( xy xy d + = PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 . 2 1 2 y y y + = 例例 求通解求通解 解解）（不显含不显含 x , dy dP PyPy= =令令 代入方程，得代入方程，得 , 2 1 2 y P dy dP P + =,1 1 2 yCP =+解得，解得， , 1 1 =yCP, 1 1 =yC dx dy 即即 故通解为故通解为.1 2 21 1 CxyC C += PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 ，对应，对应有一特解有一特解设设xxfyxpy/1)()(=+ 例例 解解 ()由题设可得：由题设可得： =+ =+ ),() 1 )( 2 , 02)(2 23 xf x xp x xxp 解此方程组，得解此方程组，得 . 3 )(, 1 )( 3 x xf x xp= () 此方程为此方程为 . 31 3 x y x y= 线性无关的特解，线性无关的特解， 是对应齐次方程两个是对应齐次方程两个、显见，显见， 2 21 1xyy= 此原方程的特解此原方程的特解，又又 x y 1 * = 得所求通解为得所求通解为. 1 2 21 x xCCy+= . )()(),( )(此方程的通解此方程的通解的表达式；的表达式；xfxp ，试求，试求：的齐次方程有一特解为的齐次方程有一特解为 2 x PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 (1)tan5 dy xy dx = 方法方法1 看看作作一一阶阶线性微分方程线性微分方程 利用通解利用通解公公式，得式，得 cot5cotyx yx =变形 () () cotcot 5cot sin5cotcsc sincsc sin5 xdxxdx y ex edx C xxxdx C xx C Cx =+ =+ =+ = 方法方法2 看看作作可分离变量方程可分离变量方程 分离变量：分离变量：cot 5 dy xdx y = + 两边积分，得两边积分，得 ln5ln sinlnyxC+=+ sin5yCx=即 注 解题注 解题前要前要注意注意观察观察分分析析， 选择选择最简最简方法方法 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 (2)(1)()0 y x exdyx y dx += 解 原方程化为解 原方程化为11 y x dyy e dxx += , x y u =令令 .,uxuyuxy+= 代入方程得代入方程得() 11 u du exuu dx += 1 u u dxe du xue + = + 即 () u x ueC+=积分得 将将代代回回，得所求