全国卷理科数学试题详细解析.pdf

1 2017 年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷） 理科数学 解析人李跃华 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上， 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合131 x Ax xBx，则（） A 0ABx x B ABR C 1ABx x D AB 【答案】 A 【解析】1Ax x，310 x Bxx x 0ABx x，1ABx x， 选 A 2.如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白 色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的 概率是（） A 1 4 B 8 C 1 2 D 4 【答案】 B 【解析】 设正方形边长为 2，则圆半径为1 则正方形的面积为 224，圆的面积为 2 1，图中黑色部分的概率为 2 则此点取自黑色部分的概率为 2 48 故选 B 2 3.设有下面四个命题（） 1p：若复数 z 满足 1 z R，则 zR； 2 p ：若复数 z 满足 2 zR ，则zR； 3 p ：若复数 12 zz， 满足 12 z zR，则 12zz ； 4 p ：若复数zR，则 zR A 13 pp， B 14 pp， C 23 pp， D 24 pp， 【答案】 B 【解析】 1: p设zabi，则 22 11abi zabiab R ，得到0b，所以 zR.故1 P正确； 2: p 若 z 2 1，满足 2 zR，而zi，不满足 2 zR，故 2 p不正确； 3: p若 1 z1， 2 z2，则 12 z z2，满足 12 zzR，而它们实部不相等，不是共轭复 数，故 3 p不正确； 4: p实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故 4 p正确； 4.记 n S 为等差数列n a的前 n项和，若 456 2448aaS， ，则n a的公差为（） A1 B2 C4 D8 【答案】 C 【解析】 4511 3424aaadad 61 65 648 2 Sad 联立求得 1 1 2724 61548 ad ad 3 得21 1524d 624d 4d 选 C 5.函数 fx 在 ， 单调递减， 且为奇函数 若 11f ，则满足 121fx 的 x的取值范围是（） A 22， B 1 1， C 04， D 13， 【答案】 D 【解析】 因为fx为奇函数，所以 111ff， 于是121fx等价于121ffxf| 又fx在，单调递减 121x 3x1 故选 D 3 6. 6 2 1 11x x 展开式中 2 x 的系数为 A 15 B 20 C 30 D 35 【答案】 C. 【解析】 666 22 11 1+1111xxx xx 对 6 1x的 2 x 项系数为 2 6 65 C15 2 对 6 2 1 1x x 的 2 x 项系数为 4 6 C =15， 2 x 的系数为 151530 故选 C 7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成， 正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这 些梯形的面积之和为 A 10 B 12 C 14 D 16 【答案】 B 【解析】 由三视图可画出立体图 该立体图平面内只有两个相同的梯形的面 24226S梯 6212S全梯 故选 B 8.右面程序框图是为了求出满足321000 nn 的最小偶数 n， 那么在 和两个 空白框中，可以分别填入 4 A 1000A 和 1nn B 1000A 和 2nn C 1000A 和 1nn D 1000A 和 2nn 【答案】 D 【答案】 因为要求A大于 1000 时输出，且框图中在“否”时输出 “”中不能输入A1000 排除 A、B 又要求 n为偶数，且n 初始值为0， “”中 n依次加 2可保证其为偶 故选 D 9.已知曲线 1 :cosCyx， 2 2 :sin2 3 Cyx，则下面结论正确的是（） A把 1 C 上各点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6 个单位长度，得到曲线 2 C B把 1C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 再把得到的曲线向左平移 12 个单位长度，得到曲线 2 C C把 1 C 上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变， 再把得到的曲线向右平移 6 个单位长度，得到曲线 2 C D把1 C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变， 再把得到的曲线向左平移 12 个单位长度，得到曲线 2 C 【答案】 D 【解析】 1: cosCyx， 2 2 :sin 2 3 Cyx 首先曲线 1 C、 2 C统一为一三角函数名，可将 1: cosCyx用诱导公式处理 coscossin 222 yxxx 横坐标变换需将 1变成2， 5 即 1 1 2 sinsin 2sin 2 224 C 上各坐短它原 yxyxx 点横标缩来 2 sin 2sin2 33 yxx 注意的系数，在右平移需将2提到括号外面，这时 4 x平移至 3 x， 根据“左加右减”原则，“ 4 x”到“ 3 x”需加上 12 ，即再向左平移 12 10.已知F为抛物线 C： 2 4yx的交点，过F作两条互相垂直 1 l， 2 l，直线 1 l与C交于A、 B两点，直线 2 l与C交于D，E两点，ABDE 的最小值为（） A16B14C12D10 【答案】 A 【解析】 设 AB倾斜角为 作 1 AK垂直准线， 2 AK垂直x轴 易知 1 1 cos 22 AFGFAK AKAF PP GPP （几何关系） （抛物线特性） cosAFPAF 同理 1cos P AF， 1cos P BF 22 22 1cossin PP AB 又 DE与AB垂直，即DE 的倾斜角为 2 2 2 22 cos sin 2 PP DE 而 2 4yx ，即2P 22 11 2 sincos ABDEP 22 22 sincos 4 sincos 22 4 sincos 2 4 1 sin 2 4 2 16 16 sin 2 ，当 4 取等号 即ABDE最小值为16，故选 A 6 11.设 x，y， z 为正数，且 235 xyz ，则（） A 235xyz B 523zxy C3 52yzx D 325yxz 【答案】 D 【答案】 取对数：ln 2ln3ln5xy. ln 33 ln 22 x y 2 3xy ln 2ln 5xz 则 ln55 ln 22 x z 25xz3 25yxz ，故选 D 12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣， 他们推出了 “解数学题获取软件激活码”的活动， 这款软件的激活码为下面数学问题的 答案：已知数列 1, 1, 2, 1, 2, 4 , 1, 2 , 4 , 8, 1, 2 , 4 , 8 , 16，, ， 其中第一项是 0 2 ， 接下来的两项是 0 2 ， 1 2 ，在接下来的三项式 6 2 ， 1 2 ， 2 2 ，依次类推，求满足如下条件 的最小整数N：100N且该数列的前N项和为2的整数幂那么该款软件的激活码是 （） A 440 B 330 C 220 D 110 【答案】 A 【解析】 设首项为第1 组，接下来两项为第 2 组，再接下来三项为第3 组，以此类推 设第n组的项数为 n，则n组的项数和为 1 2 nn 由题，100N，令 1 100 2 nn 14n 且 * nN ，即 N出现在第 13 组之后 第 n 组的和为 12 21 12 n n n组总共的和为 2 12 22 12 n n nn 若要使前N项和为 2 的整数幂，则 1 2 nn N项的和 21 k 应与2n互为相反 数 即 * 21214 k n knN ， 2 log3kn 295nk， 则 29129 5440 2 N 故选 A 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。 13.已知向量 a ， b的夹角为 60，2a，1b，则2ab _ 7 【答案】 2 3 【解析】 2 22 2 2(2 )22cos602ababaabb 22 1 22222 2 44412 2122 3ab 14.设x， y满足约束条件 21 21 0 xy xy xy ，则32zxy 的最小值为 _ 【答案】 5 不等式组 21 21 0 xy xy xy 表示的平面区域如图所示 y x 2x+y+1=0 x+2y-1=0 1 C B A 由32zx y 得 3 22 z yx， 求 z 的最小值，即求直线 3 22 z yx的纵截距的最大值 当直线 3 22 z yx过图中点 A时，纵截距最大 由 21 21 xy xy 解得 A点坐标为 ( 1,1)，此时 3( 1)215z 15.已知双曲线 22 22 : xy C ab ， （ 0a ， 0b ）的右顶点为A，以A为圆心， b 为半径作圆A， 圆A与双曲线 C的一条渐近线交于 M， N两点，若60MAN ，则C的离心率为 _ 【答案】 2 3 3 【解析】 如图， 8 OAa，ANAMb 60MAN， 3 2 AP b， 22 223 4 OPOAPAab 22 3 2 tan 3 4 b AP OP ab 又 tan b a ， 22 3 2 3 4 b b a ab ，解得 22 3ab 2 2 12 3 11 33 b e a 16.如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为5cm ，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O， D、E、F为元 O上的点，DBC ，ECA，FAB分别是一 BC，CA， AB为底边 的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以 BC，CA， AB为折痕折起DBC，ECA， FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥当ABC的边长变化时，所得三棱锥体 积（单位： 3 cm ）的最大值为_ 【答案】 4 15 【解析】 由题，连接OD，交BC与点G，由题， ODBC 3 6 OGBC ，即 OG的长度与BC的长度或成正比 设OGx，则 2 3BCx， 5DGx 三棱锥的高 222 25 102510hDGOGxxxx 21 2 3 33 3 2 ABC Sxx 则 2 1 32510 3 ABC VShxx 45 = 32510xx 9 令 45 2510fxxx ， 5 (0,) 2 x， 34 10050fxxx 令 0fx ，即 43 20xx， 2x 则280fxf 则 38045V 体积最大值为 3 4 15cm 三、解答题： 共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60 分。 17.ABC的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知ABC的面积为 2 3sin a A （1）求sinsinBC； （2）若 6coscos1BC ， 3a ，求ABC的周长 【解析】 本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用. （1）ABC面积 2 3sin a S A .且 1 sin 2 SbcA 2 1 sin 3sin2 a bcA A 223 sin 2 abcA 由正弦定理得 223 sinsinsinsin 2 ABCA ， 由sin0A得 2 sinsin 3 BC. （2）由（ 1）得 2 sinsin 3 BC， 1 coscos 6 BC ABC 1 coscos cossinsinCcoscos 2 ABCBCBBC 又 0A， 60A， 3 sin 2 A， 1 cos 2 A 由余弦定理得 222 9abcbc 由正弦定理得sin sin a bB A ，sin sin a cC A 10 2 2 sinsin8 sin a bcBC A 由 得 33bc 333abc ，即ABC周长为 333 18.（12 分）如图，在四棱锥PABCD中，ABCD中，且90BAPCDP （1）证明：平面PAB平面PAD； （2）若PAPDABDC，90APD，求二面角APBC的余弦值 【解析】 （1）证明：90BAPCDP PA AB，PDCD 又ABCD， PDAB 又PDPAP， PD 、 PA平面 PAD AB平面 PAD ，又 AB 平面 PAB 平面 PAB平面 PAD （2）取 AD 中点 O ， BC 中点 E ，连接 PO ， OE ABCD 四边形 ABCD 为平行四边形 OEAB 由（ 1）知， AB平面 PAD OE平面 PAD ，又 PO 、 AD 平面 PAD OEPO ， OE AD 又 PAPD ， PO AD PO、OE、AD两两垂直 以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz 设2PA，0 02D， ， 、220B， ，、002P， ，、2 02C， ， ， 022PD， ，、222PB， ，、2 2 0 0BC， ， 设 n xyz,为平面 PBC 的法向量 由 0 0 n PB n BC ，得 2220 2 20 xyz x 令1y，则 2z ，0x，可得平面PBC 的一个法向量012n, 90APD， PDPA 又知 AB平面 PAD ， PD 平面 PAD PD AB ，又PAABA PD平面 PAB 11 即 PD 是平面 PAB的一个法向量，022PD, 23 cos 32 3 PD n PDn PDn , 由图知二面角APBC 为钝角，所以它的余弦值为 3 3 19.（12 分） 为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程，实验员每天从该生产线上随机抽取16 个 零件，并测量其尺寸（单位： cm） 根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状 态下生产的零件的尺寸服从正态分布 2 N， （1） 假设生产状态正常， 记X表示一天内抽取的16 个零件中其尺寸在 33， 之外的零件数，求1P X 及 X 的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在33，之外的零件，就认为这 条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查 （I）试说明上述监控生产过程方法的合理性： （II）下面是检验员在一天内抽取的16 个零件的尺寸： 9.951 0 . 1 29.969.9610.019.929.981 0 . 0 4 10.269.911 0 . 1 3 10.029.2210.0410.059.95 经计算得 16 1 9.97 i i xx ， 1616 2 22 11 11 160.212 1616 ii ii sxxxx ，其中 i x为 抽取的第i个零件的尺寸，1216i， ， 用样本平均数 x作为的估计值 ?，用样本标准差s作为 的估计值?，利用估计 值判断是否需对当天的生产过程进行检查，剔除 ?33， 之外的数据，用剩下 的数据估计和（精确到0.01） 附：若随机变量 Z服从正态分布 2 N， ,则 330.997 4PZ 16 0.997 40.9592 ， 0.0080.09 【解析】 （1）由题可知尺寸落在 33， 之内的概率为0.9974，落在 33，之外的概率为0.0026 0 016 16 0C10.99740.99740.9592P X 11010.95920.0408P XP X 由题可知 160.0026XB， 160.00260.0416E X （2）（ i ）尺寸落在33，之外的概率为0.0026， 由正态分布知尺寸落在 33， 之外为小概率事件， 因此上述监控生产过程的方法合理 （ii ） 39.9730.2129.334 39.9730.21210.606 339.33410.606， 12 9.229.33410.606， ， 需对当天的生产过程检查 因此剔除 9.22 剔除数据之后： 9.97169.22 10.02 15 22222 2 22222 22222 9.9510.0210.1210.029.9610.029.9610.0210.0110.02 9.9210.029.9810.0210.0410.0210.2610.029.9110.02 1 10.1310.0210.0210.0210.0410.0210.0510.029.9510.02 15 0.008 0.0080.09 20.（12 分） 已知椭圆C： 22 22 1 xy ab 0ab， 四点 1 11P， 2 01P， 3 3 1 2 P ， ， 4 3 1 2 P ， 中恰有三点在椭圆 C上 （1）求C的方程； （2）设直线l不经过 2 P点且与C相交于 A、B两点，若直线2 P A与直线 2 P B的斜率的 和为1，证明： l过定点 【解析】 （1）根据椭圆对称性，必过 3 P 、 4 P 又 4 P横坐标为 1，椭圆必不过 1 P，所以过 234 PPP， 三点 将 23 3 011 2 PP，代入椭圆方程得 2 22 1 1 3 1 4 1 b ab ，解得 2 4a， 2 1b 椭圆 C 的方程为： 2 2 1 4 x y （2） 当斜率不存在时，设 : AA lxmA myB my， 22 112 1 AA P AP B yy kk mmm 得2m，此时 l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足 当斜率存在时，设 1lykxb b 1122A xyB xy， 联立 22 440 ykxb xy ，整理得 222 148440kxkbxb 12 2 8 14 kb xx k ， 2 12 2 44 14 b xx k 则 22 12 12 11 P AP B yy kk xx 212121 12 xkxbxxkxbx x x 13 22 2 2 2 8888 14 44 14 kbkkbkb k b k 81 1 411 k b bb ，又1b 21bk，此时64k ，存在 k 使得0成立 直线l的方程为21ykxk 当 2x 时， 1y 所以 l 过定点21， 21.（12 分） 已知函数 2 e2 e xx fxaa x （1）讨论 fx 的单调性； （2）若 fx 有两个零点，求 a的取值范围 【解析】 （1）由于 2 e2 e xx fxaax 故 2 2 e2 e1e12e1 xxxx fxaaa 当 0a时， e10 x a， 2e10 x 从而 0fx恒成立 fx 在R上单调递减 当0a时，令0fx，从而e10 x a，得 lnxa xln a，ln aln a， fx 0 fx单调减极小值单调增 综上，当0a时，( )f x 在R上单调递减； 当 0a 时，( )f x 在 (,ln)a 上单调递减，在(ln,)a上单调递增 （2）由（ 1）知， 当0a时， fx 在R上单调减，故 fx 在R上至多一个零点，不满足条件 当0a时， min 1 ln1lnffaa a 令 1 1lng aa a 令 1 1ln0g aa a a ，则 2 11 0ga aa 从而 g a 在 0， 上单调 增， 而 10g 故当 01a 时， 0g a 当1a时 0g a 当1a时 0g a 若1a，则 min 1 1ln0fag a a ，故 0fx恒成立，从而fx无零点， 不满足条件 若1a，则 min 1 1ln0fa a ，故 0fx仅有一个实根ln0xa，不满足 条件 若 0 1a，则 m i n 1 1ln0fa a ，注意到 ln0a 2 2 110 eee aa f 14 故 fx 在 1ln a， 上有一个实根，而又 31 ln1lnln a aa 且 33 ln1ln1 33 ln(1)ee2ln1 aa faa aa 3333 132ln11ln10aa aaaa 故 fx 在 3 lnln1a a ，上有一个实根 又 f x 在 ln a，上单调减，在ln a，单调增