应用数值分析第四版张明主编文世鹏主审课后答案.pdf

第一章习题解答第一章习题解答 1. 在下列各对数中，在下列各对数中，X 是精确值的近似值 是精确值的近似值 （1） =，x=3.1 （2） =1/7，x=0.143 （1） =，x=3.1 （2） =1/7，x=0.143 （3） =/1000，x=0.0031 （4） =100/7，x=14.3 （3） =/1000，x=0.0031 （4） =100/7，x=14.3 试估计 x 的绝对误差和相对误差。 试估计 x 的绝对误差和相对误差。 解： （1） e=3.1-0.0416， 解： （1） e=3.1-0.0416， r r= e/x0.0143 = e/x0.0143 （2） e=0.143-1/70.0143 （2） e=0.143-1/70.0143 r r= e/x0.1 = e/x0.1 （3） e=0.0031-/10000.0279 （3） e=0.0031-/10000.0279 r r= e/x0.9 = e/x0.9 (4) e=14.3-100/70.0143 (4) e=14.3-100/70.0143 r r= e/x0.001 = e/x0.001 2. 已知四个数：x已知四个数：x1 1=26.3，x=26.3，x2 2=0.0250， x=0.0250， x3 3= 134.25，x= 134.25，x4 4=0.001。试估计各近似数的有效位=0.001。试估计各近似数的有效位 数和误差限，并估计运算数和误差限，并估计运算1 1= x= x1 1 x x2 2 x x3 3和和1 1= x= x3 3 x x4 4 /x /x1 1的相对误差限。 的相对误差限。 解：x解：x1 1=26.3 =3 x=26.3 =3 x1 1=0.05 =0.05 r rx x1 1=x=x1 1/x/x1 1=0.1901110=0.1901110 -2 -2 x x 2 2=0.0250 =3 x=0.0250 =3 x2 2=0.00005 =0.00005 r rx x2 2=x=x2 2/x/x2 2=0.210=0.210 -2-2 x x3 3= 134.25 =5 x= 134.25 =5 x3 3=0.005 =0.005 r rx x3 3=x=x3 3/x/x3 3=0.37210=0.37210 -4 -4 x x4 4=0.001 =1 x=0.001 =1 x4 4=0.0005 =0.0005 r rx x4 4=x=x4 4/x/x4 4=0.5 =0.5 由公式：e由公式：er r（）= e（）/1/（）= e（）/1/ n n i=1i=1f/f/x xi ixxi i e er r（1 1）1/）1/1 1xx2 2 x x 3 3xx1 1+ x+ x1 1 x x 3 3xx2 2 +x +x1 1 x x 2 2xx3 3 =0.34468/88.269275 =0.34468/88.269275 =0.0039049 =0.0039049 e er r（2 2）1/）1/2 2-x-x3 3 x x 4 4/ x/ x 2 2 1 1xx1 1+ + x x 4 4/ x/ x1 1xx3 3 + x + x3 3 / x / x1 1xx4 4 =0.49707 =0.49707 3. 设精确数0，x 是的近似值，x 的相对误差限是 0.2，求 x 的相对误差限。设精确数0，x 是的近似值，x 的相对误差限是 0.2，求 x 的相对误差限。 解：解：r r n n i=1i=1f/f/x xi ixxi i =1/ x1/ xx=1/ x1/ xx=r rx/ x=0.2/ x 即x/ x=0.2/ x 即r r0.2/ x0.2/ x 4. 长方体的长宽高分别为 50cm，20cm 和 10cm，试求测量误差满足什么条件时其表面积的长方体的长宽高分别为 50cm，20cm 和 10cm，试求测量误差满足什么条件时其表面积的 误差不超过 1cm误差不超过 1cm 2 2。 。 解：S=2（xy+yz+zx） 解：S=2（xy+yz+zx） r rS(x+y)z+(y+z)x+(z+x)y/xy+yz+zx S(x+y)z+(y+z)x+(z+x)y/xy+yz+zx x=y=z x=y=z r rz(x+y+z)x /xy+yz+zx1 z(x+y+z)x /xy+yz+zx1 x17/61.0625 x17/61.0625 5. 432 ( )(10)0.200(10)0.0500(10)0.00500(10)0.00100p xxxxx已知已知 (10.11),3.( ( ).pCond f x用秦九韶法计算计算用 位有效数字 并求此问题的条件数用秦九韶法计算计算用 位有效数字 并求此问题的条件数 2 ( )(10)(10)(10)(10) 0.200) 0.0500) 0.0500) 0.00100 (10.11)0.11(0.11(0.11(0.11 0.200) 0.0500) 0.0500) 0.00100 0.0014676 0.147 10 ( ) ( ( ) ( ) 10.11* (10.11) ( (10.11) p xxxxx p xfx Cond f x f x p Cond p 解： 解： 故故 0.6291 (10.11)p 6.6. 改变下列表达式，使计算结果更准确。 改变下列表达式，使计算结果更准确。 （1）（1）1,| 1xxx （2） （2） 11 ,| 1 121 x x xx （3）（3） (1cos ) ,0,| 1 x xx x （4） （4） 11 ,| 1xxx xx 解： （1）（1） 1 1 1 xx xx （2）（2） 2 112 121(12 )(1) xx xxxx （3）（3） 2 (1cos )sin (1cos ) xx xxx （4）（4） 22 112 (11) xx xx xxx 7、计算7、计算 6 ( 21) 的近似值，取的近似值，取21.414 。利用以下四种计算格式，试问哪一种算法误差。利用以下四种计算格式，试问哪一种算法误差 最小。最小。 （1）（1） 6 1 ( 21) （2） （2） 3 (32 2) （3）（3） 3 1 (32 2) （4） （4）9970 2 解：计算各项的条件数 解：计算各项的条件数 ( ) ( ( ) | ( ) xfx cond f x f x 111.4146 1 ( ),( )|20.4804 (1) x fxcond fx x 3 221.414 ( )(32 ) ,( )|49.3256 x fxxcond fx 331.4143 1 ( ),( )|49.4448 (32 ) x fxcond fx x 441.414 ( )9970 ,( )|4949 x fxx cond fx 由计算知，第一种算法误差最小。由计算知，第一种算法误差最小。 1 1 8. n n 考虑无穷级数它是微积分中的发散级数。在计算机上计算该级数的部分和，会得考虑无穷级数它是微积分中的发散级数。在计算机上计算该级数的部分和，会得 到怎样的结果？为什么？到怎样的结果？为什么？ 解：在计算机上计算该级数的是一个收敛的级数。因为随着解：在计算机上计算该级数的是一个收敛的级数。因为随着n的增大，会出现大数吃的增大，会出现大数吃 小数的现象。小数的现象。 9、 通过分析浮点数集合通过分析浮点数集合 F=（10，3，-2，2）在数轴上的分布讨论一般浮点数集的分布情）在数轴上的分布讨论一般浮点数集的分布情 况。况。 解：浮点数集合解：浮点数集合 F=（10，3，-2，2）在数轴上离原点越近，分布越稠密；离原点越远，）在数轴上离原点越近，分布越稠密；离原点越远， 分布越稀疏。一般浮点数集的分布也符合此规律。分布越稀疏。一般浮点数集的分布也符合此规律。 10、试导出计算积分、试导出计算积分 1 0 (1,2,3,4) 14 n n x Idxn x 的递推计算公式的递推计算公式 1 1 1 () 4 nn II n ，用此递，用此递 推公式计算积分的近似值并分析计算误差，计算取三位有效数字。推公式计算积分的近似值并分析计算误差，计算取三位有效数字。 解：解： 1111 111 1 0000 141 () 14414414 nnnnn n n xxxxx Idxdxxdxdx xxx 1 1 1 () 4 nn II n 1 0 0 11 ln50.402 144 Idx x 1021 3243 11 (1)0.150, (1)0.213 44 11 (1)0.197, (1)0.201 44 IIII IIII 此算法是数值稳定的。此算法是数值稳定的。 第二章习题解答第二章习题解答 1.（1） R.（1） R nnnn中的子集“上三角阵”和“正交矩阵”对矩阵乘法是封闭的。 中的子集“上三角阵”和“正交矩阵”对矩阵乘法是封闭的。 （2）R（2）R nnnn 中的子集“正交矩阵” ， “非奇异的对称阵”和“单位上（下）三角阵”对矩阵中的子集“正交矩阵” ， “非奇异的对称阵”和“单位上（下）三角阵”对矩阵 求逆是封闭的。 求逆是封闭的。 设 A 是的正交矩阵。证明 A设 A 是的正交矩阵。证明 A -1-1也是的正交矩阵 也是的正交矩阵。 证明：证明：(1), n n ABA BR 证明： 为上三角阵， 为上三角阵，证明： 为上三角阵， 为上三角阵， 1 0(),0() ,0() , , ()() ),() () ijij n ijikkjij k n n TTTT TTTTTT aij bij CABca bcij ABA BR AAA AE BBB BE ABABABB AEABABB A ABE AB 则则 上三角阵对矩阵乘法封闭。上三角阵对矩阵乘法封闭。 以下证明： 为正交矩阵， 为正交矩阵，以下证明： 为正交矩阵， 为正交矩阵， 为正交矩阵,故正交矩阵对矩阵乘法封闭。为正交矩阵,故正交矩阵对矩阵乘法封闭。 （2）A 是的正交矩阵 （2）A 是的正交矩阵 A A A A -1-1 =A =A -1-1A=E 故（A A=E 故（A -1-1） ） -1-1=A =A A A -1-1（A （A -1-1） ） -1-1=（A =（A -1-1） ） -1-1A A-1-1 =E 故 A =E 故 A -1-1也是的正交矩阵。 也是的正交矩阵。 设 A 是非奇异的对称阵，证 A设 A 是非奇异的对称阵，证 A -1-1也是非奇异的对称阵。 也是非奇异的对称阵。 A 非奇异 A 可逆且 AA 非奇异 A 可逆且 A -1-1非奇异 非奇异 又 A 又 A T T=A （A =A （A -1-1） ） T T=（A =（A T T） ） -1-1=A =A -1 -1 故 A 故 A -1-1也是非奇异的对称阵 也是非奇异的对称阵 0 1 1 4 ) 1( .)( 4 1 eIIIIe n n n n n nn 设 A 是单位上（下）三角阵。证 A设 A 是单位上（下）三角阵。证 A -1-1也是单位上（下）三角阵。 也是单位上（下）三角阵。 证明：A 是单位上三角阵，故|A|=1，A 可逆，即 A证明：A 是单位上三角阵，故|A|=1，A 可逆，即 A -1-1存在，记为（b 存在，记为（bijij）nn nn 由 A A由 A A -1-1 =E，则 =E，则 n j ikjkijb a 1 （其中 （其中0 ij a ji 时， ji 时，1 ii a） ） 故 b 故 bnnnn=1, b=1, bnini=0 (nj) =0 (nj) 类似可得，b 类似可得，biiii=1 (j=1n) b=1 (j=1n) bjkjk=0 (kj) =0 (kj) 即 A 即 A -1-1是单位上三角阵 是单位上三角阵 综上所述可得。R综上所述可得。R nnnn中的子集“正交矩 中的子集“正交矩阵” ， “非奇异的对称阵”和“单位上（下）三“非奇异的对称阵”和“单位上（下）三 角阵”对矩阵求逆是封闭的。 角阵”对矩阵求逆是封闭的。 2、试求齐次线行方程组 Ax=0 的基础解系。 2、试求齐次线行方程组 Ax=0 的基础解系。 A= A= 54100 00110 14121 解解：A= 54100 00110 14121 54100 54010 14121 54100 54010 40021 54100 54010 148001 故齐次线行方程组 Ax=0 的基础解系为故齐次线行方程组 Ax=0 的基础解系为 0 1 4 4 8 1 ， 1 0 5 5 14 2 3.求以下矩阵的特征值和特征向量。 3.求以下矩阵的特征值和特征向量。 A A1 1= = 25 43 ， A， A2 2 221 111 122 解 解：A1= 25 43 ，|I- A1|= 25 43 =0145 2 7 1 ，2 2 解（解（1 1I- A）x=0 得I- A）x=0 得 1 1 1 解（ 解（2 2I- A）x=0 得I- A）x=0 得 5 4 2 4、已知矩阵4、已知矩阵 1211 2 43 0 1215 A ，求 A 的行空间，求 A 的行空间() T R A及零空间及零空间( )N A的基。 的基。 解：解： 12112112 1 2420000 10 13 105 00 0 1 10502 40 00 T A ()3 T r A ()121 1,2430 1215 02100 ( )2100 TT T T T T R A Axx N A 1212 3 3 的基为和的基为和 由可解得由可解得 的基为。的基为。 5、已知矩阵、已知矩阵 32 1 23 0 103 A ，试计算试计算 A 的谱半径的谱半径( )A 。 解：解： 2 321 ( )det()230(3)(64)0 103 A fIA max 35( )35.A 6、试证明、试证明 2 2 112212211221 ,R EEEEEE 是中的一组基。是中的一组基。，其中 1112 1001 , 0000 EE 22 21 0000 , 1001 E E 。 1222 1121 12211221 134 112212211221234 1 344 112212211221234 1 00 10 00 0 , 0 00 01 00 1 0 101 1 01 0 0 0 0 0 EE EE EEEE kkk kkkkEEEEEE kkk kkkEEEEE 解：解： ， （） （）（） （）令令 因此（） （因此（） （ 0 0 0 0 O E ） 1233 1112 2122 12211221 1112211221221122 2 2 112212211221 0 , 22 , kkkk aa AV aa aaaa A aaEEEEEE R EEEEEE 对于任意二阶实矩阵对于任意二阶实矩阵 有（）（）有（）（） 是中的一组基。是中的一组基。 7、在 R7、在 R 4 4中求向量 x=（1，2，1，1） 中求向量 x=（1，2，1，1） T T在基 S=（ 在基 S=（1 1，2 2，3 3，4 4）下的坐标，其中）下的坐标，其中1 1= = （1，1，1，1）（1，1，1，1） T T， ， 2 2=（1，1，-1，-1）=（1，1，-1，-1） T T， ，3 3=（1，-1，1，-1）=（1，-1，1，-1） T T， ，4 4=（1，-1，=（1，-1， -1，1）-1，1） T T。 。 解：由 x=sy 得 y解：由 x=sy 得 y -4-4=s =s -1-1x= x= 4 1 4 1 4 1 4 5 1 1 2 1 1111 1111 1111 1111 1 8、在8、在 2( ) P t中向量中向量 2 2( ) 12P ttt ，取基，取基 2 1,2,Sttt ，求，求 2( ) P t 在基下的坐标在基下的坐标。 。 22 2 2 2123 ( )12,1,2, ( )(1)(2) P tttSttt P tk tktk t 解：基解：基 令令 31212 123 2 2 2121 322 ( )1,2,-3 2 2 . T kkkkk kkk P tSttt 则有，则有， 解之得，。解之得，。 在基下的坐标为（， ， ）在基下的坐标为（， ， ） 9、已知 R9、已知 R 3 3中两组基 中两组基 S S1 1=1 1，2 2，3 3= 1 1 0 , 1 0 1 , 1 1 1 ，S，S2 2=1 1 ， ，2 2 ，3 3 = = 1 1 1 , 1 0 0 , 1 0 1 求从 S求从 S1 1 到 S 到 S2 2的过度矩阵； 的过度矩阵； 设已知 u=（2，1，2）设已知 u=（2，1，2） T T R R 3 3求 u 在 S 求 u 在 S1 1 下的坐标和 u 在 S 下的坐标和 u 在 S2 2下的坐标。 下的坐标。 解： A= S解： A= S1 1 -1-1S S 2 2= = 212 011 112 111 100 101 111 101 011 1 对 u=（2，1，2） 对 u=（2，1，2） T T 在 S 在 S1 1 下，由 u=S 下，由 u=S1 1x 可求出 x= Sx 可求出 x= S1 1 -1-1u= u= 3 1 2 在 S在 S2 2下，由 u=S下，由 u=S2 2x 可求出 x= Sx 可求出 x= S2 2 -1-1u= u= 1 1 0 10. 已知 A=10. 已知 A= 8951 4313 1311 ，求 dim(R(A), dim(R(A，求 dim(R(A), dim(R(A T T), dim(N(A). ), dim(N(A). 解：A=解：A= 8951 4313 1311 dim(R(A)=dim(R(Adim(R(A)=dim(R(A T T)=r(A)=2 )=r(A)=2 dim(N(A)=n-r=4-2=2 dim(N(A)=n-r=4-2=2 11、已知 A=span1,e11、已知 A=span1,e x x,e ,e -x-x,D= ,D= dx d 是 X 上的线性变换，求 是 X 上的线性变换，求 D 关于基 S D 关于基 S1 1=1,2e=1,2e x x,3e ,3e -x-x的矩阵 A； 的矩阵 A； D 关于基 S D 关于基 S2 2=1,（e=1,（e x x+e +e -x-x）/2， （e ）/2， （e x x-e -e -x-x）/2的矩阵 B。 ）/2的矩阵 B。 解：由 Dx=S解：由 Dx=S1 1A,设 A=XA,设 A=X （1）（1） ，X，X （2）（2） ，X，X （3）（3） D（1）=0，0= S D（1）=0，0= S1 1 X X （1）（1）=01+02 e =01+02 e x x+03e +03e -x-x, X, X （1）（1）=(0,0,0) =(0,0,0) T T D（e D（e x x）= e ）= e x x ,e ,e x x= S = S1 1 X X （2）（2）=01+ =01+ 2 1 2 e2 e x x+03e +03e -x-x, X, X （2）（2）=(0, =(0, 2 1 ,0),0) T T D（e D（e -x-x）= -e ）= -e -x-x , -e , -e -x-x = S = S1 1 X X （3）（3）=01+02 e =01+02 e x x+ + 3 1 3e3e -x-x, X, X （2）（2）=(0, 0, =(0, 0, 3 1 ) ) T T 3 1 00 0 2 1 0 000 A 类似的可得 D 关于基 S 类似的可得 D 关于基 S2 2=1,（e=1,（e x x+e +e -x-x）/2， （e ）/2， （e x x-e -e -x-x）/2的矩阵 B 为 ）/2的矩阵 B 为 110 110 000 12、已知线性变换 T：P12、已知线性变换 T：P2 2（t）P（t）P3 3（t）,定义 T 为 T（P（t） ）=（t）,定义 T 为 T（P（t） ）= t dttP 0 )(求线性变换 T 在求线性变换 T 在 基偶（S基偶（S1 1=1,t,t=1,t,t 2 2, S , S2 2=1,t，t=1,t，t 2 2/2,t /2,t 3 3/3）下的矩阵。 /3）下的矩阵。 解：设所求矩阵为 A，则有 T S 解：设所求矩阵为 A，则有 T S1 1 =S =S2 2A A T（1）= T（1）= 3 0 2 01101 32 0 tt ttdt t T（t）= T（t）= 3 0 2 1010 2 32 0 2 tt t t tdt t T（t T（t 2 2）= ）= 3 1 2 1010 3 32 0 3 2 tt t t dtt t 100 010 001 000 A 13、设 A13、设 A R R mnmn,定义从 R ,定义从 R n n到 R 到 R m m的变换 T 为 T：x 的变换 T 为 T：xR R n n y=Ax x y=Ax xR R m m 试证明 T 是线性变换。 试证明 T 是线性变换。 证明：证明： nn RyRx , m RTyTxAyAxyxAyxT)()( Rk ，有，有 m RxkTkAxkxAkxT)()( 故，由定义知，T 是线性变换。 故，由定义知，T 是线性变换。 14、 已知R14、 已知R 3 3中取基S 中取基S1 1= = 1 0 1 , 1 1 0 , 0 1 1 321 ， R， R 2 2中取基S 中取基S2 2= = 1 1 , 0 1 21 。 。 线性变换 T：R线性变换 T：R 3 3R R 2 2 定义为 定义为x=（xx=（x1 1 ，x，x2 2 ，x ，x3 3） T T R R 3 3，Tx=（x ，Tx=（x2 2 +x +x3 3 ，x ，x1 1 +x +x3 3） T T R R 2 2. . 求 T 在（S求 T 在（S1 1 ，S ，S2 2）下的矩阵 A； ）下的矩阵 A； 设 u=（2，-3，2） 设 u=（2，-3，2） T T R R 3 3，u 在 S ，u 在 S1 1 下的坐标和 Tu 在 S 下的坐标和 Tu 在 S2 2下的坐标。 下的坐标。 解： 由题知，T（S解： 由题知，T（S1 1）= S）= S2 2A A TT11)( 1 TT12)( 2 TT21)( 3 211 110 211 121 10 11 )( 1 1 1 2 sTsA 对 u=（2，-3，2） 对 u=（2，-3，2） T T在 S 在 S1 1 下 下 由由xsu 1 可求出可求出Tusx321 1 1 TTu32在 S在 S2 2下 下 由由ysTu 2 可求出可求出TTusy35 1 2 15、求由向量15、求由向量1 1=（1，2，1）=（1，2，1） T T 与与2 2=（1，-1，2）=（1，-1，2） T T 张成的 R张成的 R3 3的子空间 X=span的子空间 X=span1 1, ,2 2 的正交补的正交补 X （即所有与 X 垂直的向量的全体） 。 （即所有与 X 垂直的向量的全体） 。 解：令解：令 21 A解解oAx 得得 1 0 0 x 故 故 X = = 1 0 0 spanxspan 16、 试证明若16、 试证明若1 1，2 2， ， ，t t是内积空间 H 中不含零向量的正交向量组， 则是内积空间 H 中不含零向量的正交向量组， 则1 1，2 2， ， ， t t必线性无关。 必线性无关。 证明：假设存在证明：假设存在 t kkk, 21 使使0 2211 tt kkk 两边与 两边与 i 作内积得 作内积得 ), 2 , 1( , 0tik iii 又 又0 ii （因（因)0 i 故 故0 i k 故故1 1，2 2，t t必线性无关。 必线性无关。 17、计算下列向量的x17、计算下列向量的x ，x ，x1 1和x和x2 2 。 x=（3，-4，0，3/2） 。 x=（3，-4，0，3/2） T T x=（2，1，-3，4） x=（2，1，-3，4） T T x=（sink,cosk,2 x=（sink,cosk,2 k k） ） T T k 为正整数。 k 为正整数。 解： 解：x=4max 1 i ni x n i i xx 1 1 5 . 8 2202. 5 2 1 1 2 2 n i i xx x =4max 1 i ni x n i i xx 1 1 10 4772. 5 2 1 1 2 2 n i i xx x= k i ni x2max 1 n i k i kkxx 1 1 2cossin k n i i xx41 2 1 1 2 2 18、18、 , C a b在中，试证明在中，试证明 , 1 2 2 2 1 |max |( )|( ) 2 |( )( ) xa b b a ff xf x fft dtf x （ ）为的范数。（ ）为的范数。 （ ）为的范数。（ ）为的范数。 证明：证明：1|0 |0( )0fff x 1、（ ）显然，1、（ ）显然， , , , , , , 2 |max |( )| | max |( )| | 3 |max |( )( )| max |( )|max | ( )| | |max |( )|( ) xa bxa b xa b xa bxa b xa b kfkf xkf xkf fgf xg x f xg xfg ff xf x （ ）（ ） （ ）（ ） 为的范数为的范数 2 2 2 (1)( )0|0ftf、正定性，则、正定性，则 1 2 2 ( )0( )0 b a ft dtft 且且 1 22 2 22 (2),|( )|( )| b a kFkf tk ft dtkf 齐次性齐次性 (3)三角不等式三角不等式 2222 2 |( )( )( )2( ) ( )( ) bbbb aaaa fgf tg tdtft dtf t g t dtgt dt 222 222222 |2| |(| )ffggfg 222 |fgfg | | , C a b 是上的一个范数。是上的一个范数。 - n RCauchy Schawz1919、在内积空间中给出不等式，其中内积、在内积空间中给出不等式，其中内积 ,1 ( , ):, n T iijj i j x yx Ayx C xA 为对称正定矩阵。为对称正定矩阵。 ,1 11 22 ,1,1 ( ,) | n T iijj i j nn iijjiijj i ji j x yx Ayx C x x C xy C yxy 解：| | |解：| | | () ()() () 20、(1430) ,(3612) ,( , ). TT xyx yx y 已知向量求之间的距离已知向量求之间的距离 11 ( , ) |(2242) |10 T x yxy 解：解： 21、试计算、试计算 2 1 |sin|mx（ ）（ ）， 2 (2)|cos|mx， 2 (3)|sincos|mxnx ，其中其中 m, n 是正整是正整 数数, x 。 11 22 22 2 11 22 22 2 1 2 2 2 1 2 2 1 |sin|(|sin| )(sin) ) (2)|cos|(|cos| )(cos) ) (3)|sincos|(|sincos| ) (sincos) )2 mxmxmx mxmxmx mxnxmxnx mxnx 解：（ ）解：（ ） 22、已知、已知 210 121 012 A ，试计算试计算 1 |A，|A ，| |FA， 2 |A。 3 1 13 1 1|m ax|5 ij j i Aa 解 ： （ ）解 ： （ ） 3 13 1 |max|5 ij i j Aa 1 33 2 2 11 |(| )4 Fij ij Aa 2 |()3 T AA A 23、 在、 在0,1C上， 由上， 由 2 1, ,x x构造带权构造带权 1 ln x 的首的首 1 正交多项式正交多项式 0( ) x ， 1( ) x 和 2( ) x 。 解：解：由公式得由公式得 0 110 00 11 00 22110 11 2 11 11 1 00 2 2 ( )1 ( )()( ) ( ),( )11 ,( ) ( ),( )44 ( )()( )( ) ( ),( )13 ( ),( )28 ( ),( )7 ( ),( )144 1317517 ( )()() 284144725 x xxx xxx xx xx xxxx xxx xx xx xx xxxxx 2 24、给出点集、给出点集 0,0.5,0.8,1.2,1.5及权及权1(0,1,2,3,4) i wi，试构造正交函数组试构造正交函数组 0( ) x ， 1( ) x 和 2( ) x 。 解: 由公式得解: 由公式得 0( ) 1x 110 ( )()( )xxx 4 000 114 00 0 ( ),( )44 ,( ) ( ),( )55 1 i i i x xxx xx xx 22110 ( )()( )( )xxxx 4 2 011 24 2 11 0 4 () ( ),( )815 4( ),( )115 () 5 ii i i i x x xxx xx x 11 1 00 2 2 ( ),( )69 ( ),( )250 814691731653 ( )()() 11552501155750 xx xx xxxxx 25、( , ( )P i j kkR 将线性代数中的消元阵（用初等变换阵表示将线性代数中的消元阵（用初等变换阵表示。 ( , ( )( ,)() T ijij P i j kE e ekIk e e 解：解： 26、试求矩阵 A 的三角分解 A=LU。 26、试求矩阵 A 的三角分解 A=LU。 A= A= 542 774 322 对不选列主元和选列主元两种情况分别计算。 对不选列主元和选列主元两种情况分别计算。 解：A=解：A= 542 774 322 2 . 100 5 . 85 . 70 774 , 015 . 0 001 12 . 05 . 0 UL 对选列主元的 对选列主元的 001 100 010 , 2 . 100 5 . 85 . 70 774 , 12 . 0