程稼夫电磁学第二版第二章习题解析.pdf

前言：特别感谢质心教育的题库与解析，以及“程稼夫力学、电磁学习题答案详解”的作者 前辈和血色寂宁前辈的资料. 2-1 将过程分为电流从金属球发散到无穷远,再从无穷远流向另一个金属球这两部分. 法一：从一球表面到无穷远的电压与从无穷远到另一球的电压降相等 利用电压可叠加原理，总电压： 因此两球间介质间的电阻：. 法二：设总电流为，两球心间距，一球直径对另一球球心的张角 利用电流的叠加原理，用张角为的这部分电流计算电势差： 后同法一 2-2 变阻器在 A 位置时，焦耳热：，其中. 变阻器在中间时，焦耳热：. 代入题中数据，可得. 2-3 2-4（1） 即，在图中作出该直线，交伏安特性曲线于. 电阻 R 热平衡：，解得. （2），即 在图中作出该直线，交伏安特性曲线于. 即. 2-5（1）消耗的功率，不变，而随减小而增大，因而 时，最大，消耗的功率最大. （2）电路中电流，消耗的功率 根据均值不等式得，时，消耗的功率最大. 2-6（1）电压按电阻分配.合上开关前，上电压为；闭合开关后，两端 电压，所以. （2）电源功率之比就等于干路电流之比，即总电阻之反比，设总电阻分别为， 则. 2-7 未烧断前总电阻，烧断后， 故干路电流之比为 炉丝上电流由干路均分，所以 故，几乎相等. 2-8 题意应是恰好不能烧开，即 100时达到热平衡，断电后只下降 1，可以认为散热功 率是不变的： ，其中水的比热容为 2-9（1）周期， A 位置时热平衡：，其中加热时间 B 位置时热平衡：，其中加热时间 两式相除，解得 （2）连续加热时热平衡：，解得. 2-10 注意电阻温度系数的基准是 0，得. 负载时， 负载时， 联立解得：. 2-11 题设是默认加热间断时间相等的，设为. 电压最小时，解得. 2-12 保险丝要保证熔断电流是一定的.在一定的融化温度下，辐射功率 P 与辐射体表面积 S 成正比.电流一定时，电功率 Q 与 R 成正比. 解得，与 无关. 2-13 绝缘层损坏使得相邻的两圈电阻丝接触，相当于损坏处产生的接触电阻与一圈漆包线 并联之后，再与剩余九圈漆包线串联. 一圈电阻为 设绝缘层损坏处产生电阻为，则 解得. 2-14 （1） 作直线交 A 于， 交 B 于 故. （2）. 即 110V 为 A、B 串联时的工作电压的等差中项 作伏安特性曲线关于直线的对称图像，分别交另一曲线于 和. 得. 2-15（1）电容器极板带电量，极板间电流保持为 电势差为 0 时，极板不带电，所以. （2）最大动能的电子到达上极板时动能全部转化为电势能 所以，得. 2-16（1）设流过的电流为，上流过的电流为.所以 ，故 . 此时 . （2），取最小值（此时） 代入得. 2-17 设流过灯泡电流为，.设图中三个定值电阻从左至右分别为 K 闭合时，R3 与 R 并联，流过 R2 的电流 于是可列出： K 断开时，R 与 R1 串联，该支路总电压 该支路与 R2 并联，为 R2 两端电压，又 R2，R3 串联，R3 两端电压为 可以列出： 两式联立，代入数据可解得：. 2-18（1）由基尔霍夫方程知：. （2）沿 n 个电源这一路计算： . 2-19 一个电源两端的电势差恰好为零，说明电流恰好为此电源电动势除以其内阻. 可以将 R 看作另一个电源内阻一部分，则此新电源两端电势差也为 0 等效后，两电源电动势相等，电流相等，所以内阻相等 有或； 又，所以. 2-20 设通过电源 1 的逆时针电流为，通过电源 2 顺时针电流为 于是在电源 1 与 R1 构成的回路可列出： 在电源 2 与 R1R2 构成的回路中，可列出： 代入数据可解得，通过 R1 的电流为 1A，通过 R2 的电流为 0.5A . 2-21 题中的图是按照等效电源计算的，各位可自行尝试. 这里运用叠加定理，先计算只有时 R 上电流，此时把当成导线.这时 R 上电流与 R1 无 关. R 与 R3 并联，流过 R2 的电流，所以流过 R 的电流 再计算只有时 R 上电流，此时把当成导线，又与 R1 没关系.R2 与 R3 并联，所以此时 流过 R 的电流电路中真实流过 RR 的电流为. 2-22 注意看题，不要啥都不想直接 Y-变换了 设从 1 向 O 流的电流为，从 2 向 O 流的电流为，则从 O 向 3 流的电流为 则可由三点的电势得到： 代入数据，联立可解得：. 2-23 设 R1 上电流为，R2 上电流为 由并联得 又由节点电流方程知：，联立解得：. 又因为，所以可得 即 CD 上电流大小为 1.0A，方向由 C 流向 D. 2-24 将 R 替换为导线，用叠加原理计算短路电流 等效内阻，等效电源. 将 R 替换为导线，用叠加原理计算短路电流. 等效内阻，等效电源. 2-25 设有 x 组电池组串联，每组内有 y 个电池并联. 法一：电源最大输出功率，电池个数 . 要使电源达到最大输出功率，则必有内阻与负载相等： 解得 法二：回路内满足： 代入数据，化简得 令，电源最少，要使最小 代入得是关于 x 的一元二次方程，该方程要有实数解： 将 n 带回原方程即可解得答案同法一 答：至少需要 120 个电池.此时有 20 组电池组串联，每组内有 6 个电池并联. 2-26 首先，B 与 B为同一节点，思考时可视为一点，由（2）可知电路对称，此时容易联想 到的是 Y-变换的 Y 型电路（b） ，设出电阻即可求解，然后用 Y-变换得到型电路（a）. 2-27 上式联立解得. 2-28（i）由知 1221回路为电路干路而无支路，该干路总电阻； 1 2 与 12间若有电阻，则应被导线短路. （ii）由知 1 2 与 12间确有电阻，设为； 由于要求电路最简，不妨设 12 间仅有一个电阻； 故此情况中两电阻并联： 代入数据得：，带回各条件检查，满足. 故电路图如下： ，所以. 2-29 由分析知，安培表读数由两部分组成. 第一部分，R2 回路； 第二部分，流过 R1 电流，于是流过 R3R3（电流表）的电流： . 所以安培表示数. 2-30题意即5两端接电源.电压表示数是由其上电流决定的， 所以可以把电压表全看成电阻， 求其上电流比例.由分析，电路可简化为如下图： 其中 由对称性知 V3 示数始终为 0，此处拆去不影响电路其余部分 由串并联性质可知：，即得答案. 2-31（1） （2） 设流经 V1 的电流为， 流经 V2 的电流为， 则流经 V3 从左到右的电流为 则有 2-32 设电压表电阻为，电流表电阻为 由并联两表电压相等可知 由节点方程可知流经并联两表中电压表的电流 欧姆定律： 得. 2-33由每个量程达到满偏时通过电流计的电流相同得： 解得：. 如用A修复， 则在用1mA量程测量1mA电流时流过A的电流为0.195mA0.5 mA 故可以考虑并联一个17 欧的电阻或者串联一个40 欧的电阻。原则：总电流1mA时通过B 的电流为 0.5mA. 2-34 设电流计的内阻为，电流计每格对应的电流为，路端电压恒为 由欧姆定律，有（舍去不合理解） ： 2-35在图 （a） 中， 电压表读数为， A， B间的电压即为， 干路电流为， 而 B， C 间的电流为， 即 100k 电阻和电压表各分得干路电流的一半，可知电压表内阻也为 100k. 在图 （b） 中， 200k电阻与电压表并联后的电阻为， 电压表读数为 A、B 间所分的电压为. 由本题推广，可以证明，电压表接入串联电路测得的数值与所测部分电阻成正比，此性质与 电压表内阻无关. 2-36 首先说明，若测量过程中测得某两点间电阻为 1，由对称性及电阻串并联等效可以判 断：特异电阻被短路，连接在另外两端点间. 2-37 设，蓄电池电压为，金属导线单位电阻为，金属包皮单位电阻为 利用蓄电池和毫安表接入 A 端导线和金属包皮间，测得电流，同理测得电流 . 2-38 等效电路图如下： 其中， 由电桥平衡条件，有，解得. 2-39 第一次实验，B 端电压为 40V，即电阻 R 分压 40V，则左段电缆电阻为 第二次实验，A 端电压为 40V，即电阻 R 分压 40V，则右段电缆电阻为 左右电缆的电阻之比为： 由于电缆的电阻与长度成正比，可知左段电缆长度为 . 2-40（1）有种可能，由叠加原理计算： （2）易知当所有输入电压均取 1V 时 B 点电势最高. 考察与节点 n 之间的支路，由叠加原理及电路并联的电流分配： 在此处产生的电流向下，；在此处产生的电流向上， 在此处产生的电流向上，在此处产生的电流向上， 由此得： 2-41 分析电源 U2 所在支路，设其电流为，以向左为正（若解出电流值为负则说明电流方向向 右，与所设正方向相反，下同）.由欧姆定律，有，解得 ； 分析电源 U6 所在支路，设其电流为，以向上为正.由欧姆定律，有 ，解得； 对于上述两支路的交点 A，列节点方程：； 由欧姆定律，图中 B 点的电势为：.显然 U1 与 U3 所在 支路的电流为 0； 由于电容所在支路电流为 0，由节点方程，图中 B 与 C 之间的支路上电流为； 对图中红圈内的部分列节点方程（以向下为正方向） ： . 2-42 设该平行板电容器极板面积为 S，极板间距为 d，漏电流为 I. 由平行板电容器的电容公式，得 玻璃的电阻为 欧姆定律：. 2-43 介质 1 的电阻为，介质 2 的电阻为.由欧姆定律，电流为 （1）由欧姆定律的微分形式，有 （2）由欧姆定律的微分形式，有 （3）作一个底面与极板形状完全相同的柱形高斯面，使两介质分界面在此高斯面内.由高斯 定理有，解得 （4）承第（3）问，介质 1 中的电位移为，介质 2 中的电位移为 .设自由电荷面密度为，由有介质时的高斯定理有 ，解得. 2-44 首先明确，无论短接哪个电阻，总电阻一定变小 将五个电阻分两类，一类是四周的 4 个电阻臂，一类是中间的 100桥上电阻. 短接桥上电阻，总电阻变为 203； 短接一支电阻臂，以 500的为例：两个 100的并联后与 200的串联再与 300的并联. 可以看出 300的在这里与其他所有电阻并联， 而并联电路中的总电阻不超过最小的电阻，故让 100与其他电阻并联可以使变化最大. 2-45 等效电阻 整理得，故或. 2-46 本题为无穷网络等效电阻题.先分析对称性：电路呈轴对称，可将图中各个处于对称轴 上的中点断开，于是电路转化为： 利用无穷网络自相似性求 RAB：去掉最大边框，剩余部分每条边都是原图的一半，故剩余部 分电阻为.依此列方程求解即可.如图： 利用无穷网络自相似性： 其中 RI 为支路 I 等效电阻： 可得： 舍去负根，得 AB 间的等效电阻. 2-47 本题为等效电阻题.先分析对称性：电路呈轴对称，可将图中上端点断开，于是电路转 化为： 支路 I 等效电阻：，支路 II 等效电阻： 故 AB 间的等效电阻. 2-48 本题为无穷网络等效电阻题.先分析对称性：电路呈轴对称，虚线轴上各点等电势，故 可将其视为断路.再将呈三角形的各电阻等效为一个电阻， 于是电路 转化为： 再将 A,B 两点左侧网络“翻折”至右侧： 则RAB为一个r0与无穷网络并联， 记无穷网络等效电阻为r1.利用无穷网络的自相似性求r1： 去掉两个电阻 r2 和一个 r02 后，剩余部分仍构成 r1. 由以上分析可知：利用无穷网络的自相似性求 舍去负根得 故 AB 间的等效电阻. 2-49 本题为等效电阻题.先分析对称性：电路呈轴对称，可将 C 点断开，则原电路转化为简 单电路： 由以上分析可知： 支路II等效电阻 支路 II 等效电阻 故 AB 间的等效电阻. 2-50 在任两个 P 点接入电源后，其他电阻可视为并联电路，可用一个等效电阻代替，这样， 整个电路即成为由五个电阻构成的桥式电路.由于未接电源的任一支路切断后电阻电流不变， 即桥式电路中“桥”的电阻改变不影响桥臂之电流，由电路的节点定律知桥中无电流，即此 电桥必平衡，因此，同时，根据电桥平衡条件有 ，即两导线间电压为零. 2-51 本题为无穷网络等效电阻题，解题关键在于网络的自相似性.记 A 点左侧无穷网络等效 电阻为 R1.分析电路可知： 故只需求出 R1.分析 R1 结构可知：除去三个电阻 r 后剩余部分仍为一无穷网络 R1： 故 得，舍去负根， 故. 2-52（1）本题中的三角形电阻网络具有高度对称性，可将分割 n 次后的电阻网络（设其两 顶点之间的电阻为；图中未画出分割后电阻网络的全貌；最初的只有三条边的三角形当 作分割了 0 次）等效为如下的 Y 形网络： 其中每个电阻的大小均为 则下一次分割所得的电阻网络可以等效为三个上图所示的网络相连接而成 （每个电阻变为一 半） ，如下图所示： 其中每个电阻大小为.这是一个简单的电阻网络，我们可以依据串并联关系计算其两端 点间的电阻： 故作了 n 次分割后，三角形 ABC 任意两个顶点间的等效电阻为： 容易得到，故. （2）依题意，最初有 分割 n 次后有 两式相比较，可得，解得. 2-53 本题为等效电容题.（a）图中三电容实为并联； （b）图为中心对称图形，由对称性可知 中间的 C0 等价为断路： 故（b）图化为简单电路. 由以上分析可知：对于（a）图，等效电容 对于（b）图，等效电容 2-54 本题为无穷网络等效电容题，解题关键在于无穷网络的自相似性.先分析对称性：电路 呈轴对称，对称的两点电势相等，故可将 A，B 两点上方部分“翻折”至下方，等效为： AB 线上电容大小不变，其余电容变为 记 A 点左侧无穷网络等效电容为 C1. 求 C1 的方法：去掉三个电容 C 后，剩余部分仍构成 C1.据此，可列方程解出 C1. 对 A 点左侧无穷网络，有 即，舍去负根，得 故 2-55 本题为等效电容题.由对称性可知： 对称轴上各点等势， 故可将中间的 C1 拆掉， 等效为： 则此电路变为简单电路. 由以上分析可知：对于支路 I 等效电容： 故. 对于支路 II 等效电容 对于支路 III 等效电容 故等效电容. 2-56 根据线路的对称性，将除 1、n 这两点以外的任一点上的连线和另一点上的连线对调， 整个线路和原来的线路完全一样，线路结构没有改变，各线上电流、各点的电势均无改变. 可见，由点 2 到点 n1 这 n2 个点是完全等价的. 因此，上述 n2 个点的电势必然完全相同，从而这些点之间的连线上都没有电流，在考虑本 题所问时，这些连线可以全部撤去，于是可得. 2-57 本题为含源电路题，且应忽略电池内阻. 状态 1：电源电压 U=3V 时无电流通过电源，即灯泡两端电压为 3V；由于忽略电池内阻，故 电池电动势 E=3V. 状态 2：电池不放电，即无电流通过电池，则灯泡两端电压为 3V；由图像读出当灯泡两端 电压 UL 为 3V 时通过灯泡的电流 IL 为 0.55A，则电源电压. 2-58（1）电阻网络 E、G 两点间电压可表示为 从图中的二极管 D 的正向伏安曲线中可査得， 电压 UDI 对应的电流 I1 为 25.0 mA， 此电流就 是流过电阻 R 及由 E 点流入电阻网络的电流，将数据代入上式得 由对称性可得 H、A、C、F 电势相等，其等效电路如图 13-13 所示（除两只电阻为外， 其余电阻均为，R0 为原来每只电阻的阻值） ，易得 而等效电阻，求得 由对称性可得 H、A、C、F 电势相等，则 （2）当引线两端 P、Q 与电阻网络 B、D 两点相接时，等效电路仍如图所示，易 得 通过二极管 DD 的电流与二极管两端电压有关系 代入数据得 这是一条联系 UD 与 ID 的方程，但是 UD 与 ID 又必须满足二极管的伏安特性曲线，在图中 绘出上式所述直线，它与曲线的交点的纵坐标即为通过二极管的电流 ID，由图中读 出 由对称性，则. 2-59 本题为图像分析题，同时需要用到“负载功率最大时，路端电压等于电源电动势的一 半”的结论（此处证明从略）.图像显示电源可视为两个负载电流范围不同的电源拼接而 成，分段讨论即可.电流小于 0.26A 时，电源电动势等于 6.