第十三章北航材料力学全部课件习题答案.pdf

1 第十三章 能量法 13-2 图示变宽度平板，承受轴向载荷 F 作用。已知板件厚度为，长度为 l，左、右端 的截面宽度分别为 b1与 b2，材料的弹性模量为 E，试用能量法计算板件的轴向变形。 题 13-2 图 解：对于变截面拉压板件，应变能的表达式为 x xbE F x xEA F V ll d )(2 d )(2 0 2 N 0 2 N (a) 由图可知，截面 x 的宽度为 x l bb bxb 12 1 )( 代入式（a）,并考虑到FF N ,于是得 1 2 12 2 12 1 2 0 ln )(2 d 2 1 b b bbE lF x x l bb b F E V l 设板的轴向变形为l，则根据能量守恒定律可知， 1 2 12 2 ln )(22 b b bbE lFlF 由此得 1 2 12 ln )( b b bbE Fl l 13-4图示结构，承受铅垂载荷 F 作用。已知杆 BC 与 DG 为刚性杆，杆 1 与 2 为弹性杆， 且各横截面的拉压刚度均为 EA，试用能量法计算节点 D 的铅垂位移。 题 13-4 图 2 解： 1. 轴力计算 未知支反力四个，未知轴力两个，即未知力共六个，而独立或有效平衡方程也为六个，故为一 静定问题。设杆 1 与杆 2 均受拉，则刚性杆 BC 与 DG 的受力如图 b 所示。 由平衡方程 02 , 0 N2N1 aFaFMB 022 , 0 N2N1 aFaFaFMG 得 3 4 N1 F F， 3 2 N2 F F 2. 铅垂位移计算 结构的应变能为 EA lF EA lF EA lF EA lF V 9 10 3 2 3 4 222 2 22 22 2N 2 1N 设节点 D 的铅垂位移Dy与载荷 F 同向，因此，载荷 F 所作的功为 2 Dy F W 根据能量守恒定律，于是有 EA lF FDy 9 10 2 2 由此得节点 D 的铅垂位移为 9 20 EA Fl Dy 13-5 图 a 所示圆柱形大螺距弹簧，承受轴向拉力 F 作用。试用能量法证明弹簧的轴向 变形为 cos sin2 cos 8 2 4 3 E G Gd nFD 式中：D 为弹簧的平均直径，d 为弹簧丝的直径，n 为弹簧的圈数，为螺旋升角，E 为弹性模量， G 为切变模量。 题 13-5 图 3 解：由图 b 可知，s 截面的弯矩与扭矩分别为 cos 2 cos ,sin 2 sin FD MsT FD MsM FF （a） 据能量守恒定律，有 VW （b） 其中， 2 F W （c） 而 s EI sM s GI sT V ll d 2 d 2 0 2 0 P 2 （d） 式中，l为簧丝总长，其值为 cos Dn l （e） 将式（a）代入式（d） ，并注意到式（e） ，得 ) c o s s i n c o s( 8 2 P P 32 EI GI GI nDF V （f） 最后，将式（c）和（f）代入式（b） ，于是得 ) cos sin2 cos( 8 2 4 3 E G Gd nFD 13-6 图示等截面直杆，承受一对方向相反、大小均为 F 的横向力作用。设截面宽度为 b、 拉压刚度为 EA，材料的泊松比为。试利用功的互等定理，证明杆的轴向变形为 EA bF l 题 13-6 图 解：设该杆两端承受轴向拉力 1 F作用，杆的横向变形为 EA bF b EA F bb 11 根据功的互等定理，于是有 EA bF FlF 1 1 由此得 EA bF l 4 13-8 图示桁架，在节点 B 承受载荷 F 作用。设各杆各截面的拉压刚度均为 EA，试用卡 氏定理计算该节点的铅垂位移 B 。 题 13-8 图 解：根据卡氏定理，有 F F lF EA i i i iB N 5 1 N 1 各杆编号示如图 13-8。 图 13-8 求 B 的运算过程示如下表： l i l i FN F F i N F F lF i ii N N 1 a2 F 2 2 2 2 Fa 2 2 2 a2 F 2 2 2 2 Fa 2 2 3 a F 2 1 2 1 Fa 4 1 4 a F 2 1 2 1 Fa 4 1 5 a F 1 Fa 5 Fa 2 223 由此得 EA Fa B 2 223 （） 13-9 图示刚架，承受载荷 F 作用。设弯曲刚度 EI 为常数，试用卡氏定理计算截面 C 的 转角。 题 13-9 图 解：在截面 C 处假想附加一矩为 C M的力偶（见图 13-9） ，由图可得 a x M xM x a M FxM C C11 11 )( , )( 1 )( , )( C 2 22 M xM MFxxM C 图 13-9 根据卡氏定理，得 EI Fa xFxx a x Fx EI aa C 6 5 d) 1)(d)( 1 2 0 0 221 1 1 （） 13-10 图示各梁， 弯曲刚度 EI 均为常数， 试用卡氏定理计算横截面 A 的挠度A与转角A。 6 题 13-10 图 （a）解：令 A MFa，由图 13-10a 易得 FxMxM A ， x F xM ， 1 A M xM 图 13-10(a) 注意到左半段梁上0M，于是得 EI Fa xxFxFa EI a A 6 d )( 1 3 0 （） EI Fa xFxFa EI a A 2 d) 1 ( )( 1 2 0 （） （b）解：令Fqa，并在 A 端附加一顺钟方向的力偶矩 A M，自 A 向左取坐标 x，有 2 2 1 qxFxMxM A ， x F xM )( ， 1 )( A M xM 根据卡氏定理，得 EI qa xxqxqax EI a A 24 11 d)( ) 2 1 ( 1 4 0 2 （） EI qa xqxqax EI a A 3 2 d) 1)( 2 1 ( 1 3 0 2 （） 13-12 图示圆截面轴，承受集度为 m 的均布扭力矩作用。设扭转刚度 GIp为常数，试用 卡氏定理计算杆端截面 A 的扭转角。 题 13-12 图 解：在 A 端附加一扭力矩 A M，自 A 向左取坐标 1 x，自轴中间截面向左取坐标 2 x，于是有 7 maMxTmxMxT AA 211 , 及 1 21 AA M xT M xT 依据卡氏定理，得 p 2 0 0 211 p 2 3 d) 1)(d) 1)( 1 GI ma xmaxmx GI aa A 13-14 图示简支梁， 承受集度为q(x) 的分布载荷作用， 现在， 使梁发生横向虚位移)( * xw， 该位移满足位移边界条件与变形连续条件，试证明： ll xMxxqxw * * d)()()(d 即证明外载荷 q (x) 在虚位移上所作之总虚功 We ，等于可能内力 M(x)在相应虚变形上所作之总虚 功 Wi 。 题 13-14 图 解：虚位移为满足变形连续条件与位移边界条件的微小位移，因此 x w d d ， 0)()0( * lww 可能内力是满足平衡与静力边界条件的内力，即 d d d d S S , x M xF, x F xq 0)( 0 )lMM 于是有 x x w FFwx x F xwxxqxwW l l l l d d d d d d )(d)()( 0 S 0 S S 0 e i 0 0 0 d)(d)(d d d WxMxMMx x M l l l l 13-15 图示阶梯形简支梁， 承受载荷 F 作用。 试用单位载荷法计算横截面 C 的挠度 C 与 横截面 A 的转角 A 。 题 13-15 图 解：设两种单位状态如下： 8 1令1F； 2在截面 A 处假想加一顺钟向力偶矩1 A M，坐标示如图 13-15。 图 13-15 三种弯矩方程为 111111 3 3 1 1 3 1 x F xM,x a xM,xxM 222222 3 3 1 1 3 1 x F xM,x a xM,xxM 333333 3 2 3 1 3 2 x F xM,x a xM,xxM 依据单位载荷法，有 )( 54 13 d ) 3 2 )( 3 2 ( 2 1 d) 3 )( 3 ( 2 1 d ) 3 )( 3 1 ( 1 3 3 0 33 2 22 2 1 0 11 EI Fa xx F x EI xx Fx EI xx F x EI aa a a C 及 EI Fa xx F a x EI xx F a x EI xx F a x EI aa a a A 108 31 )d 3 2 )( 3 ( 2 1 d) 3 )( 3 1 ( 2 1 d ) 3 )( 3 1 ( 1 2 0 33 3 2 22 2 1 0 1 1 （） 13-16 图示含梁间铰的组合梁，外伸段承受均布载荷 q 作用。设各梁各截面的弯曲刚度 均为 EI，试用单位载荷法计算该铰链两侧横截面间的相对转角。 题 13-16 图 解：求的单位状态及坐标取法示如图 13-16。 图 13-16 两种弯矩方程为 2 111 2 , 0x q xMxM 22 2 2 2 ,1x qa xM a x xM 9 33 3 3 2 ,1x qa xM a x xM 由此得到 EI qa xx qa a x EI xx qa a x EI aa 3 d ) 2 )(1 ( 1 d ) 2 )(1 ( 1 3 3 0 3 3 2 0 2 2 （） 13-17 图示桁架，在节点 B 处承受载荷 F 作用。设各杆各截面的拉压刚度均为 EA，试 用单位载荷法计算该节点的水平位移 B 与杆 AB 的转角 AB 。 题 13-17 图 (a) 解：求 B 和 AB 的单位状态分别示如图 13-17a（1）和 a（2） 。 图 13-17a 求 B 的运算过程列表如下： i i l iFN i FN ii ilFF N N 1 a 3 3 F Fa 3 3 2 a 3 3 F Fa 3 3 3 a 6 3 2 F Fa 12 3 Fa 12 3 10 故有 EA Fa EA lFF i ii i B 12 3 3 1 N N （） 求 AB 的运算过程列表如下： i i l iFN i FN ii ilFF N N 1 a a3 2 F F 3 32 2 a a3 1 F F 3 3 3 a a3 1 2 F F 6 3 F 6 35 故有 3 1 N N 6 35 i ii i AB EA F EA lFF （） (b) 解：求 B 和 AB 的单位状态分别示如图 13-17b（1）和 b（2） 。 图 13-17b 求 B 的运算过程列表如下： i i l iFN i FN ii ilFF N N 1 a 1 F Fa 2 a2 0 F2 0 3 a 1 F Fa 4 a2 2 F2 Fa22 11 5 a 0 F 0 Fa222 故有 EA Fa EA lFF i ii i B )222( 5 1 N N （） 求 AB 的运算过程列表如下： i i l iFN i FN ii ilFF N N 1 a a 1 F F 2 a2 a 2 F2 F22 3 a 0 F 0 4 a2 a 2 F2 F22 5 a a 1 F F F242 故有 EA F EA lFF i ii i AB )242( 5 1 N N （） 13-18 图示刚架，弯曲刚度 EI 为常数。试用单位载荷法计算截面 A 的转角及截面 D 的 水平或铅垂位移。 12 题 13-18 图 (a)解：求 A 及 D 的单位状态分别示如图 13-18a（1）和（2） 。 图 13-18a 弯矩方程依次为 2 111111 2 , , 1 x q qaxxMxxMxM 22222 2 , , 1 x qa xMaxMx a xM 0 , , 0 3333 xMxxMxM 依据单位载荷法，有 EI qa x qax a x xx q qax EI aa A 2 d) 2 )(d) 2 )(1 ( 1 3 0 0 2 22 1 2 11 （） 及 EI qa xx qa axx q qaxx EI aa D 24 11 d) 2 )(d) 2 )( 1 4 0 0 221 2 111 （） (b)解：求 A 及 D 的单位状态如图 13-18b（1）和 b（2）所示。 13 图 13-18b 弯矩方程为 x a M xMxxMx a xM e , 2 1 , 1 注意到 BC 段的M和M 均为 0，AB 段的 M 为 0，于是得到 EI aM xx a M a x EI a A 3 d )( 1 e 0 e （） EI aM xx a M x EI a D 6 d)( 2 ( 1 2 e 0 e （） 13-21 图示圆截面刚架，横截面的直径为 d，且 a=10d 。试按下述要求计算节点 A 的铅 垂位移 A ，并进行比较。 （1）同时考虑弯矩与轴力的作用； （2）只考虑弯矩的作用。 题 13-21 图 解：令 F=1 即为求 A 的单位状态，坐标 x 自下顺轴线向上取。 （1）考虑 M 与 N F同时作用 FxxMxxM 4 2 , 4 2 FFF 4 2 , 4 2 N N 14 利用对称性，可得 Ed F EA Fa EI Fa aF EA xFxx EI a A 3 16030 412 ) 4 2 )( 4 2 ( 2 d) 4 2 )( 4 2 ( 2 3 0 （） （2）只考虑 M 作用 此时，有 Ed F EI Fa A 3 16000 12 3 （） 比较可知，后者只比前者小 0.2%。 13-23 图示变截面梁，自由端承受集中载荷 F = 1kN 作用，材料的弹性模量 E =200GPa。 试用单位载荷法计算截面 A 的挠度。 题 13-23 图 解：令 F=1 即为求 A 的单位状态，自 A 向左取坐标 x，则有 FxxMxxM , 梁截面之惯性矩为 )100. 0( 6 10000. 1 ) 5 020. 0( 12 010. 0 12 )( 73 3 x xhxb xIz 由此得 m01683. 0m 1020010 0560943. 01016 d 100. 010 6 d )( )()( 97 3 400. 0 0 2 7 0 x x x E F x xEI xMxM l z A （） 13-24 图示结构，在截面 C 处承受载荷 F 作用。梁 BC 各截面的弯曲刚度均为 EI，杆 DG 各截面的拉压刚度均为 EA，试用单位载荷法计算该截面的铅垂位移C与转角C。 题 13-24 图 解：令 F=1 作为求 C 的单位状态；求 C 的单位状态如图 13-24 所示，坐标取法亦示于图中。 15 图 13-24 梁的弯矩方程为 11111 , 1 ,FxxMxMxxM 22 2 222 , ,FxxM a x xMxxM 杆的轴力为 FF a FF22 , 2 ,22 NN N 依据单位载荷法，得 EA Fa EI Fa aF EA xFxx EI a C 28 3 2 )2)(22)(22( 1 d)( 2 3 0 111 （） EA F EI Fa aF aEA xFx a x xFx EI aa C 24 6 5 )2)(22)( 2 ( 1 d)(d)(1( 1 2 0 0 22 2 11 （） 13-26 图示结构，在铰链 A 处承受载荷 F 作用。各曲杆各截面的弯曲刚度均为 EI，试用 单位载荷法计算该铰链两侧横截面间的相对转角。 题 13-26 图 解：求的单位状态如图 13-26 所示。 图 13-26 16 自A处量起，弯矩方程为 1cossin 2 ,cos FR MM 注意到左右对称，可得 EI FR EI FR R FR EI 4 )2( d )coscoscossin( d)1cossin( 2 )cos( 2 2 2 0 2 2 2 0 （） 13-28 图示圆弧形小曲率杆，横截面 A 与 B 间存在一夹角为的微小缝隙。设弯曲刚 度 EI 为常数，试问在横截面 A 与 B 上需加何种外力，才能使该二截面恰好密合。 题 13-28 图 解：设在 A、B 面上需加一对力偶矩 Me及一对力 F 后可使二截面恰好密合，现确定 Me及 F 之 值。载荷状态及求 BA/ 、 BA / 的单位状态分别示如图 13-28（a）,（b）和（c） 。 图 13-28 弯矩方程依次为 cos1 , 1 ,cos1 e RMMFRMM 根据单位载荷法，有 )( 2 d)cos1 ()1 ( 2 e 0 e/ FRM EI R RFRM EI BA ) 2 3 ( 2 d)cos1 ()cos1 ( 2 e 2 0 e/ FRM EI R RFRMR EI BA 根据题意要求，应有 , / R BABA 由此得 17 2 , 0 e R EI MF 结论：加一对矩为REIM2 e 的力偶，可使缝隙处该二截面恰好密合。 13-29 图示开口平面刚架，在截面 A 与 B 处作用一对与刚架平面垂直的集中力 F。试用 单位载荷法计算该二截面沿载荷作用方向的相对线位移 BA/ 。弯曲刚度 EIy与 EIz以及扭转刚度 GIt 均为常数，且 Iy=Iz= I 。 题 13-29 图 解：求 BA / 的单位状态及路径分段坐标示如图 13-29。 图 13-29 载荷状态及单位状态的弯矩方程依次为 1111 ,xxMFxxM 2222 ,xxMFxxM 3333 ,xxMFxxM 两种状态的扭矩方程依次为 2 , 2 22 l xT Fl xT lxTFlxT 33 , 18 根据单位载荷法，并据III zy ，可得 d 1 d 1 d 4 1 d 1 d 1 2 2/ 0 3 2 t 3 2/ 0 2 32 0 2 t 2 0 2 21 2/ 0 2 1/ lllll BA xFl GI xFx EI x Fl GI xFx EI xFx EI t 33 2 3 6 5 GI Fl EI Fl （） 13-30 图示圆弧形小曲率杆，承受矩为 Me的力偶作用。设弯曲刚度 EI 与扭转刚度 GIt 均为常数，试用单位载荷法计算截面 A 的扭转角 A 与铅垂位移 A 。 题 13-30 图 解：求 A 和 A 的单位状态俯视图如图 13-30a 和 b 所示。 图 13-30 求 A 的弯矩、扭矩方程依次为 sin ,sin e MMM cos ,cos e MTT 由此得 t ee2 0 e t 2 0 e 2 2 dcos 1 dsin 1 GI RM EI RM RM GI RM EI A （） 求 A 的单位状态的弯矩，扭矩方程依次为 cos1 ,sin RTRM 19 由此得 t 2 e 2 e2 0 e t 0 2 e 2 2 d)coscos( 1 d sin 1 GI RM EI RM RRM GI RRM EI A （） 13-32 图示等截面刚架，杆 AB 的左侧及杆 BC 的顶面的温度升高 T1，另一侧的温度升 高 T2，并沿截面高度线性变化。设横截面的高度为 h，材料的线膨胀系数为 l ，试用单位载荷法计 算截面 C 的铅垂位移 y 、水平位移 x 与转角 C 。 题 13-32 图 解：1求d和d 设 2 T 1 T，由题 13-31 之解可知， 2 d d , d d 1212 xTT h xTT ll 2求截面 C 的位移 求 y ， x 和 C 的单位状态依次示如图 13-32a,b 和 c。 图 13-32 由图 a 可知， 1 , , 2N 211 FlxMxxM 由此得 22 3 d 2 1dd 1212 2 2 12 0 2 12 0 1 12 0 1 TTl h TTl x TT x h TT lx h TT x ll l l l l l l y （） 由图 b 可知， 20 22 N , 1xxMF 由此得 h TTlTTl x h TT xx TT lll l l l x 22 dd 2 1 12 2 12 2 12 0 21 12 0 （） 由图 c 可知， 1 , 1 21 xMxM 由此得 h TTl x h TT x h TT ll l l l C 12 2 12 0 1 12 0 2 d1d1 （） 若 2 T 1 T，各位移均反向。 13-33 图示桁架，在节点 C 承受载荷 F 作用。各杆的横截面面积均为 A，各杆的材料相 同，应力-应变关系呈非线性，拉伸时为c，压缩时亦同，其中 c 为已知常数，试用单位载荷 法计算该节点的铅垂位移 y 与水平位移 x 。 题 13-33 图 解：1令 F=1 作为求 y 的单位状态；求 x 的单位状态及各杆编号示如图 13-33。 图 13-33 2内力计算结果及杆长列于下表： 21 i iFN i FN i FN i l 1 0 1 0 l 2 1 0 F l 3 1 0 F l 4 0 0 0 l 5 2 0 F2 l 2 3建立 i l与 i FN的关系 根据 c （压缩时为 c） 得 22 c 或写成 22 2 N 2 2 cA F cl l 由此得 22 2 N 22 2 N , cA lF l cA lF l ii i （拉取“”号，压取“”号） 4求位移 根据单位载荷法及以上内力结果，得 22 2 5 1 N 6 cA lF lF i i i y （） 0 5 1 N i i ix lF 13-34 题 13-17 所述桁架，材料的线膨胀系数为 l 。设杆 AB 的温度升高T，试计算由 此引起的节点 B 的铅垂位移。 （a）解：由图 13-34a 可得 22 图 13-34a i iFN i l i ilFN 1 1 0 0 2 1 Ta l Ta l 3 21 0 0 Ta l 于是有 TalF li i i B 3 1 N （） （b）解：由图 13-34b 可得 图 13-34b i iFN i l i ilFN 1 1 Ta l Ta l 2 2 0 0 3 1 0 0 23 4 2 0 0 5 1 0 0 Ta l 于是有 TalF li i i B 5 1 N （） 13-36 试用图乘法解题 13-15。 解：由图 13-36 可得 图 13-36 aMFaC 9 2 , 6 1 1 2 1 aMFaC 27 14 , 2 1 2 2 2 aMFaC 9 4 , 3 1 3 2 3 9 7 , 27 13 , 9 2 321 CCC MMM 于是得到 24 EI Fa a Fa EI a Fa EI a Fa EI C 54 13 ) 9 4 )( 3 ( 2 1 ) 27 14 )( 2 ( 2 1 ) 9 2 )( 6 ( 1 3222 （） 及 EI FaFa EI Fa EI Fa EI A 108 31 ) 9 7 )( 3 ( 2 1 ) 27 13 )( 2 ( 2 1 ) 9 2 )( 6 ( 1 2222 （） 13-38 试用图乘法解题 13-11。 解：由图 13-38 可得 图 13-38 1 ,2 1 N 1 CFFa 1 , 2 2 N 2 2 CF qa 于是有 EA aqaFqa Fa EA A 2 )4( )1)( 2 () 1)(2( 1 2 13-40 图示等截面刚架，承受均布载荷作用。设弯曲刚度 EI 与扭转刚度 GIt均为已知常 数，试用图乘法计算截面 A 的铅垂位移A。 题 13-40 图 解：由图 13-40 可得 25 图 13-40 aM qa C 4 3 , 6 1 3 1 3 2 , 2 2 2 2 l M qal C aT lqa C 3 , 2 2 3 于是有 t 3342 t 23 238 )( 2 ( 1 ) 3 2 )( 2 ( 1 ) 4 3 )( 6 ( 1 GI lqa EI qal EI qa a lqa GI lqal EI aqa EI A （） 13-42 图示圆截面简支梁，直径为 d，承受均布载荷 q 作用，弹性模量 E 与切变模量 G 之比为 8/3。 （1）若同时考虑弯矩与剪力的作用，试计算梁的最大挠度与最大转角； （2）当 l/d =10 与 l/d =5 时，试计算剪切变形在总变形（最大挠度与最大转角）中所占百分比。 26 题 13-42 图 解： （1）计算梁的最大挠度的单位状态如图 13-42a 所示。 图 13-42 2 22 , 2 1 x q x ql xMxxM qx ql xFxF 2 , 2 1 S S 得最大挠度为 )( ) 27 8 6 ( 5 d) 2 )( 2 1 ( 9 210 d) 22 )( 2 ( 2 2 2 2 2 2/ 0 2/ 0 2 max d l Ed ql xqx ql GA xx q x qlx EI ll 计算梁的最大转角的单位状态如图 13-42b 所示。 l xF l x xM 1 ,1S 得最大转角为 4 33 0 0 2 max 3 8 24 d ) 2 )( 1 ( 9 10 d) 22 )(1 ( 1 Ed ql EI ql xqx ql lGA xx q x ql l x EI ll （2） 由以上结果可知，剪力引起的挠度为 2 2 s 27 40 Ed ql 占总挠度的比例为 27 8 6 1 27 8 2 2 max s d l 当10dl时，%75. 1 当5dl时，%64. 6 由此可见，对于细长梁，剪力对位移的影响比弯矩小得多，通常可以忽略不计。 13-43 图示两端铰支细长压杆，承受均布载荷 q 作用。试利用能量法确定载荷 q 的临界 值。设压杆微弯平衡时的挠曲轴方程为 l x fw sin 式中，f 为压杆中点的挠度即最大挠度。 27 题 13-43 图 解：由题设可知， l x l f w l x fw cos , sin 据此得 xx l x l x l f x l x l f xwx 0 2 * * 22* 0 22 sin 2 8 d cos) ( 2 1 d)( 2 1 cr q所作之功则为 8 d 2 sin 2 8 d cr 22 0 cr 2 cr 0 qf x l x l x l qf xqxW ll 又由于 l x