第06章习题解答.pdf

1 习题习题 6 参考解答参考解答 6.1 下图所示为两个相干成像系统。所用透镜的焦距都相同。单透镜系统中光阑直径为D， 双透镜系统为了获得相同的截止频率，光阑直径l应等于多大(相对于D)写出关系式。 解：设物距为 o d ，像距为 i d ，放大率为M，为使成实像时M为正，将像面坐标相对于物面 坐标反演，使倒像的影响不反映在M 上。于是M 可表示成： ii o ddf M df 即有 i (1)dM f。此系统的光瞳函数是直径为D的圆形孔径，其截止频率与物像空间截止 频率 oc 的关系为： coc i 1 2 D dM 。即有： oc i = 22 (1) MDMD dM f 为求得当 oc 取最大值时的放大倍数M，将 oc 对M求导出并令其为零得： oc 2 d1 0 d2(1) D MfM 因此，只有当放大倍数M为无穷大时，系统才有最大的空间截止频率，此截止频率为： ocmax lim 212 M DMD fMf 此时，物置于透镜前焦面，像在像方无穷远，在物空间的通频带为： f D f D 22 这样，对单透镜系统，其截止频率为： f D c 4 对于右图的双透镜成像系统，因其孔径光阑置于频谱面上，故入瞳和出瞳分别在物方和 2 像方无限远处。又由于入瞳、孔径光阑与出瞳三者互为共轭，故对于这种放大率为1的系统， 能通过孔径光阑的最高空间频率，也必定能通过入瞳和出瞳。换言之，系统的截止频率可通 过孔径光阑的尺寸来计算。 为保证右图物面上每一面元发出的低于某一空间频率的平面波，都毫无阻挡地通过光成 像系统，则要求相应的截止频率为： c /2 2 ll ff 当 cc 时，可以得到：/2lD 6.2 一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为： 0 1 ()(1 cos2) 2 oo t xx 放在下图所示成像系统的物面上，用单色平面波倾斜照明，平面波传播方向在 o x z平面内，与 z轴夹角为。透镜焦距为f，孔径为l。 (1) 求物体透射光场的频谱。 (2) 使像平面出现条纹的最大等于多少？求此时像面强度分布。 (3) 若采用上述极大值，使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少？与0时截止频 率比较，结论如何？ 解：(1) 倾斜单色平面光波入射，在物平面上产生的入射光场为 i sin e o kx A ，则物平面的透射光 场为： 00 i sini sin 0 sinsin i2i2 i sin 1 (,)e(,)e(1 cos2) 2 11 eee 222 oo oo o kxkx ooooo kxkx kx U xyAt xyAx A AA 其频谱为： 3 00 ( , ) (,) sin1sin1sin , 222 oo UF U xy A 其频谱图如下。由图中可见，物体有三个频率分量，与垂直入射(0)的情况相比，当光波 以角倾斜入射时，物频谱沿轴整体平移了sin/ 距离。 (2) 物的空间频谱仅包含3个频谱分量，其中每一个频谱分量代表某一特定方向的平面 波，如果只让一个频谱分量通过系统，像面是不会有强度变化的。欲使像面有强度变化，即 有条纹，至少要有两频谱分量通过系统。对于相干成像系统，其截止频率为： 24 c i ll df 式中：l为透镜直径；2 i df。因此选择最低的两个频谱分量使其在系统通频带内，角才 能取尽量大的值。于是要求： 0 sin 4 sin 44 c l f ll ff 用相干光照明 - 上列两式联解得： sin 44 ll f ff 所以 max arcsin 4 l f 当取该最大值时，只有两个频率分量通过系统，像的频谱为： 0 sin1sin ( , ), 22 A U 4 对应的复振幅分布为： 0 sin sin i2 i2 1 1 ( ,) ( , )ee 22 i i x x iii A U x yFU 则强度分布为： 2 2 0 5 ( ,)( ,)cos(2) 44 iiiiii A Ix yU x yx (3) 当取该最大值时，要求光栅频率满足如下关系 0 sin 44 ll ff 即要求： 0 2 l f 。或者说： maxmax () 2 l f 当0时，要求光栅频率我大于系统截止频率，即要求： 0 4 l f 。或者说： max (0) 4 l f 可见，当采用 max 倾斜角的平面波照明时，系统的允许通过物光栅的频率比垂直照明 时提高一倍。 6.3 下图所示相干成像系统中，物体复振幅透过率为： 1 ( , )1 cos() 2 ab t x yxy 为了使像面能得到它的像，问：(1) 若采用圆开光阑，直径应大于多少？(2) 若采用矩形 光阑，各边边长就大于多少？ 解：物体的频谱为： 111 ( , ) ( , )( , )(,)(,) 244 abab TF t x y 其频谱如下图所示。 5 物体有三个频谱分量，在谱面上的位置分别(0,0),(,),(,) abab 。要使像面上得到物体的 像，则必段要求这三个频率分量都通过系统，即系统的截止频率要都要大于这三个频率分量 中任何一个分量的频率。 (1) 若采用圆形光阑，假设光阑直径为D，系统的截止频率为： 0 2 D f 根据上面的分析，要使像平面得到物体的像，必须要求 22 0ab 即要注 22 2 ab Df (2) 若采用矩形光阑，假设其大小为a b，则系统截止频率为： 00 , 22 xy ab ff 根据上面的分析，要使像平面得到物体的像，必须要求 00 , xayb 即要求 2,2 ab afbf 6 6.4 当点扩散函数( ,) Iii h x y 成点对称时，证明OTF为实函数，即等于调制传递函数。 证明：已知点扩散函数( ,) Iii h x y 是实偶函数： i2() ( , )( ,)ed d ( ,)cos 2(d di( ,)sin 2(d d xy IIiiii IiiiiIiiii Hh x yx y h x yxyx yh x yxyx y 由于( ,) Iii h x y 是偶函数，正弦函数是奇函数，两者乘积也为奇函数，上式第二项积分为 零，所以， ( , )( ,)cos 2(d d IIiiii Hh x yxyx y 当( ,) Iii h x y 是实函数，( , ) I H 也是实函数。归一化的光学传递函数等于调制传递函数： ( , ) ( , ) (0,0) I I H H H 6.5 一个非相干成像系统，出瞳由两个正方形孔构成。如下图所示，正方形孔的边长1a cm， 两孔中心距3b cm。若光波波长0.5m，出瞳与像面距离10 i dcm，求系统的OTF，画 出沿和轴的截面图。 解：假定这是一个衍射受限的非相干成像系统。根据OTF的几何解释，光学传递函数为： 0 ( , ) ( , ) S H S 式中： 0 S 是光瞳面积；( , )S 是中心位于, 22 ii dd 和, 22 ii dd 的两个平移光瞳的 重叠面积。 7 在轴上，0。左下图表示中心在0, 2 i d 和0, 2 i d 的两个错开的光瞳。重叠面 积和总面积 0 S 同时增加一倍，两者比值保持不变。因而(0, )H与单个正方形孔情况下沿轴 的OTF相同，即有 0 (0, )tri 2 H 式中： 311 0 10 210 mm200mm 100 0.5 i a d 。其截面图如右下图所示。 在轴上，0，根据重叠情况的变换，可分为四个区间进行讨论： 如左下图所示， 当0| i da或 0 0| 2 i d时， 此时重叠区面积与总面积的比值与 单个孔的情况相同，因此 0 ( ,0)tri 2 H 如右下图所示，当0| i dba，因为3b ，即 00 2| 4时，两个孔相互错开， 重叠面积为零，因此 ( ,0)0H 如左下图所示，当| i badba或即 00 4| 8时，只有一个孔发生重叠，但总 面积是两个孔的面积，因此OTF的大小只是第一种情况的一半，即 8 0 0 6 ( ,0)tri 2 H 如右下图所示，当| i dba或 0 | 8时，光瞳完全错开，无重叠部分，即： 0 ( ,0)tri 2 H 其沿轴的光学传递函数截面图如下图所示。 6.6 物体的复振幅透过率可以用矩形波表示，它的基频是50/mm。通过圆形光瞳的透镜成像。 透镜焦距为10cm，物距为20cm，照明波长为0.6m。为了使像面出现条纹，在相干照明 和非相干照明的条件下，分别确定透镜的最小直径应为多少？ 解：要使像面上出现条纹，则必须至少使矩形波的基频分量通过系统，而矩形波的基频分量 的频率为 1 50mm，因此要求系统的截止频率至少要大于这个基频值。 已知透镜焦距为10cmf，物距20cmd ，则根据透镜成像关系 111 i fdd 可确定像距 i d ，代入上述数值，有： 20cm i d 对于相干照明系统，系统截止频率为： 9 0 2 i D d 式中，D为透镜直径；0.6m。根据以上分析知，要使像面上出现条纹，则要求 50 2 i D d ，即10012mm i Dd 对于非相干光照明，系统的频率分析是相对强度而言的。但由于物体的振幅透过率为矩 形波，强度透过率是振幅透过率的平方，因此同样是一个矩形波，基频还是 1 50mm。非相干 成像系统截止频率为 0 i D d 式中，D为透镜直径；0.6m。根据以上分析知，要使像面上出现条纹，则要求 50 i D d ，即506mm i Dd 6.7 若余弦光栅的透过率为： ( , )cos2t x yabx 式中，0ab。用相干成像系统对它成像。设光栅频率足够低，可以通过系统。忽略放 大和系统总体衰减，并不考虑像差。求像面的强度分布，并证明同样的强度分布出现在无穷 多个离焦的像平面上。 解：设用单位振幅单色平面波垂直照明时，透过物体的光场复振幅分布为： ( , )( , )cos2U x yt x yabx 则透过物的空间频率f足够低，可以通过系统，且忽略放大和总体衰减，又不考虑像差， 故像平面上复振幅分布为： ( ,)( , )cos2 ii U x yt x yabx 这样，可得到强度分布为： 2222 22 2 ( ,) |( ,)|cos (2)2cos(2) 2cos(2)cos(4) 22 iiii I x yU x yabxabx bb aabxx 10 当观察平面选在未聚焦的像平面，即某一离焦平面时，它的复振幅分面可以理解为理想 像平面上的光场继续传播到该离焦平面上的结果。假设该离平面距离理想像平面为z，则根 据菲涅耳衍射在频域的关系，可得离焦平面上的复振幅分布频谱 ( , )( , )( , ) i GGH 式中： i G和H分别是理想像面的光场复振幅的频谱及菲涅耳衍射的传递函数，且有 ( , )( , )(, )(, ) 22 i bb Ga 22 ii() ( , )e e kzz H 则有： 2 ii ( , )e( , )e(, )(, ) 222 kzz bbb Ga 可得么离焦平面复振幅表达式为： 2 ii ( ,)e ecos(2) kzz iiii U x yabx 因此可知，当 2 2 (0, 1, 2,)znn 时 2 i e1 z 离焦面平面的复振幅分布为： i ( ,)ecos(2) kz iiii U x yabfx 其强度为 2 2 222 ( ,) |( ,)|cos(2) cos (2)2cos(2) iiiiiii ii Ix yU x yabfx abxabx 这与理想像平面上的强度分布相同，可见，当 2 2 ,0, 1, 2,znn 时，可在这些离焦 平面上出现同样的强度分布，也就是说有无穷多个像面，而这些离焦像面关于理想像对称分 布。这一性质类似于泰伯效应，仅适用于周期性理想成像对离焦像的分析 6.8 物体的复幅透过率为 1( ) cos(2 / )t xx b 通过光学系统成像。系统的出瞳是半径为a的圆孔径，且/2/ ii dbadb。 i d为出瞳到像 面的距离，为波长。问对该物体成像，采用相干照明和非相干照明，哪一种方式更好？ 11 解：按题设条件，物周期 2 b L ，其频率为 12 Lb 。 采用相干照明时： 2 2 C ii aa dd 。所以， 12 C bb 。 采用非相干照明时： 22 O ii aa dd 。所以， 24 C bb 。 显然，在相干照明条件下， C ，系统的截止频率小于物的基频，此时，系统只允许零频 分量通过， 其他频谱分量均被档住， 所以物不能成像， 像呈均匀分布。 在非相干照明下， O ， 系统的截止频率大于物的基频，故零频和基频均能通过系统参与成像，在像面上将有图像存 在。基于这种分析，非相干成像要比相干成像好。 6.9 在上题中，如果物体换为 1( ) cos(2 / )t xx b 结论如何？ 解：这时，物周期b，其频率为 11 Lb 。显然 CO 。即在相干照明下，这个呈正 弦分布的物函数复振幅能够不受衰减地通过此系统成像。而对于非相干照明方式，物函数的 基频也小于其截止频率，故此物函数也能通过该系统成像，但其幅度要随空间频率的增加受 到逐渐增大的衰减，即对比度降低。由此可见，在这种物结构下，相干照明方式要比非相干 照明方式好。 6.10 利用施瓦兹不等式证明OFT的性质：|( , )| |(0,0)|HH 。 证明：施瓦兹不等式的表述为，若( , )X p q和( , )Y p q为( , )p q的任意两个复值函数，那么： 2 22 |XYdpdqXdpdqYdpdq 其中等号当且仅当 * YKX才成立，K是一个复常数。令 ( , )(,) 22 X p qH pq 和 * ( , )(,) 22 Y p qHpq 得到 12 2 * 2*2 2 2 (,)(,) 2222 |(,)|(,)| 2222 |( , )| H pqHpqdpdq H pqdpdqHpqdpdq H p qdpdq 用不等式右边的项进行归一化，便得到|( , )|H 永远不大于1。而(0,0)| 1H。所以有： |( , )| |(0,0)|HH 。 6.11 一个非相干成像系统， 出瞳为宽为2a的狭缝， 它到像面的距离为 i d。 物体的强度分布为： ( )cos2g xx 条纹的方向与狭缝平行。假定物体可以通过系统成像，忽略总体衰减，求像面光强分布(照明 光波长为)。 解：系统的截止频率为： 00 2 2 i a d 则系统的OTF : 0 ( )triH 物体的强度频谱为： ( ) ( )( )()() 22 GF g x 则输出频谱为 0 0 ( )( )( )( )()() tri 22 ( )tri()() 2 i GGH 利用傅里叶逆变换，其对应输出强度为： 1 0 ( )( )tricos(2)1cos(2) 2 i ii d g xFGxx a 可见，像是频率的余弦条纹，但对比度下降。 13 6.12 下图所示成像系统，光阑为双缝，缝宽为a，中心间隔为d，照明光波长为。求下述 情况下系统的脉冲面积响应和传递函数， 画出它们的截面图。(1) 相干照明；(2) 非相干照明。 解：对于相干照明情况下，光瞳函数为： /2/2 ( )rectrect xdxd P x aa 相干传递函数为： 22 ( )()rectrect c dd ff HPf aa ff 对应的相干脉冲响应为： 1 2 ( )( )sinccos c aaxdx h xFH fff 脉冲响应和传递函数的截面图如下图所示。 对非相干照明，利用上面计算的结果，非相干脉冲响应为： 2 222 2 ( ) | ( )|sinccos I aaxdx h xh x fff 则非相干传递函数为： 14 0 ( )11 ( )tri*( ) ( )22 1/()1/() tritritri /()2/()2/() I I F h xfdd H F h xaff dfdf afafaf 脉冲响应和传递函数的截面图如下图所示。 6.13 下图所示非相干成像系统，光瞳为边长l的正方形。透镜焦距50f mm，光波长 3 0.6 10 mm，若物面光分布为： 1 ( )1cos(600 ) 2 I xx 希望像面光强分布为： 1 ( )1cos(600 ) 4 i I xCx 式中，C为总体衰减系数。 (1) 画出系统沿 x f轴的OTF截面图。 (2) 光瞳尺寸l应为多少？ (3) 若物面光强分布改为 1 ( )1cos(900 ) 6 I xx ，求像面的光强度分布( ) i I x。 解：(1) 输入光强频谱和输出光强频谱分别为： 11 ( , ) ( )( , )(300, )(300, ) 44 g HF I x 15 11 ( , ) ( )( , )(300, )(300, ) 88 ii HF I xC 光学传递函数OTF为： 00 ( , ) ( , )tritri ( , ) i g H H H 沿轴的OTF截面图如下图如朱。由 1/8 ( 300,0)1/2 1/4 H ，可知截止频率为 1 0 600mm 。 (2) 对于出瞳为正方形，边长为l，2 i df，则其截止频率为： 0 2 i ll df 已知50mmf ， 3 0.6 10 mm ， 1 0 600mm ，则可得 36mml (3) 若物面光强分布改为 1 ( )1cos(900 ) 6 I xx 其对应的输入光强频谱为： 11 ( , ) ( )( , )(450, )(450, ) 1212 g HF I x 已知系统光学传递函数为： ( , ) ( , )tritri ( , )600600 i g H H H 则系统输出光强频谱为： 16 ( , )( , )( , ) 11 ( , )(450, )(450, ) tritri 1212600600 ig HHH 参考上图，因为( 450,0)1/4H ，所以 11 ( , )( , )(450, )(450, ) 4848 i H 忽略系统总体衰减，对应的输出光强分布为： 1 1 ( , )( , )1cos 900 24 ii IFHx 6.14 如下图所示，它表示非相干成像系统的出瞳是由大量无规分布的小孔所组成。小孔直径 都为2a，出瞳到像面距离为 i d，光波长为，这种系统可用来实现非相干低通滤波。系统的 截止频率近似为多大？ 解：可用式(6.4.48)来作一般的分析，首先，由于出瞳上的小圆孔是随机排列的，因此无论沿 哪个方向移动出瞳计算重叠面积，其结果都一样，即系统的截止频率在任何方向上均相同。 其次，作为近似估计，只考每个小孔自身的重叠情况，而不计及和其它小孔的重叠。 这时N 个小孔的重叠面积除以N个小孔的总面积，其结果与单个小孔的重叠情况是一样的，即截止 频率约为2 / i ad，由于2a很小，所以系统实现了低通滤波。 更详细的解答如下。系统的光瞳函数为： 22 1 ( , )circ*(,) m nn n xy P x yxy a 式中假定小孔的数量为m个，(,) nn 表示小孔的中心位置。则非相干脉冲响函数为： 17 22 i2()2 1 , 1 22 1 1 2 22 1 11 J (2) ( ,) | ( , )|e J (2) cos 2()isin 2() J (2) cos 2()sin 2() nn ii ii m Iiixy n dd m nnnn n mm nnnn nn aa h x yF P x y aa aa 2 1 ,1() J (2) 2cos 2()() m ijij i jij aa m 因为这些小孔是无规则分布，则 ,1() cos 2()()0 m ijij i jij 于上一式最终简化为 2 1 J (2) ( ,) Iii aa h x ym 式中： 22 22ii i xy d 。脉冲响应是单孔衍射图样强度的m倍。 归一化的光学