理论力学运动学复习同济大学.pdf

学复学复运动运动学复学复习习 韋林教授 $2-1 点的运动$2-1 点的运动 一、直角坐标法一、直角坐标法 x=f1(t) ； z=f3(t) 。y=f2(t) ； k z j y i xr dddd ；k t j t y i tt v dddd 222 vvvv ; v cos v cos; v cos z y x ； zyx vvvv .; v cos v cos; v cos ；k v j v i vv a d d dd z y x ；k t j t i tt a dddd ; a “ a “; a “ z y x coscoscos ； 22 aaaa 2 .; aa ; a coscoscos ；aaaa zyx ; a tan S = f(t) 二、 自然法二、 自然法 ,vv vv 2 d vv 2 d ; a n tan ；n v t v aaa n d d ;) v () t v (a 22 d d 例例63： 销钉销钉A由导杆由导杆B带动沿固定圆弧槽运动。导杆带动沿固定圆弧槽运动。导杆B沿轴螺沿轴螺 旋立柱以不变的速度旋立柱以不变的速度v0=2m/s向上运动向上运动。试计算当试计算当=300时时，销销旋立柱以不变的速度旋立柱以不变的速度v02m/s向上运动向上运动。试计算当试计算当 30 时时，销销 钉钉A的切向和法向加速度。的切向和法向加速度。 解解: 建立弧坐标建立弧坐标s和直角坐标和直角坐标0xy如图如图。解解: 建立弧坐标建立弧坐标s和直角坐标和直角坐标0xy如图如图。 因：因：s=R,Rsv 故：故： coscos 0 R v R y ,cosRy 又：又：sin,将上式对时间求导，将上式对时间求导， 00 vRv coscosRR 将上式代入将上式代入v 的表达式中。的表达式中。 coscos 00 R v 销钉销钉A的加速度为的加速度为 22 ,12.32m/s Rcos sinv cos sinv va 2 3 2 0 2 0 ,21.33m/s Rcos v R v a 2 2 2 0 2 n $2-2 刚体的基本运动$2-2 刚体的基本运动 一、刚体的移(平)动一、刚体的移(平)动 ,vv BA ,aa BA 二、 定轴转动二、 定轴转动 =f(t): 转动方程转动方程 角速度角速度: =d /dt =f (t) ； 角加度角加度角加角加速速度度: =d /dt =f “(t) ； t td t 0 0 d tt tdtdt 00 00 例例71：已知图示平行四边形已知图示平行四边形 机构的 机构的 杆以匀杆以匀 角速度角速度绕绕轴转动轴转动求求的速度与加速度值的速度与加速度值（二者方向要在二者方向要在角速度角速度绕绕 轴转动 轴转动，求求的速度与加速度值的速度与加速度值。（二者方向要在二者方向要在 图上画出）。图上画出）。 解解 ABD物体是做平动物体是做平动， a 解解 : ABD物体是做平动物体是做平动， 则则v v ， a a a ， ， a a a。 例例72：垂直起降机的转动方程垂直起降机的转动方程 = ,鼓轮半径鼓轮半径R=20cm,求：求： 当当时重物的速度时重物的速度加速度加速度鼓轮的角速度鼓轮的角速度角加速度角加速度 2 2 5 594t.t 当当t=4s时重物的速度时重物的速度、加速度加速度，鼓轮的角速度鼓轮的角速度、角加速度角加速度。 解解 3 解解: tt1910 2 1915 2 1 t P v t=4s时； 时； =4 rad /s, =11 rad /s2； ； a v R 2 320/ 2 a =R =220 cm /s2； v=R =80 cm/s； 222 cm/s380220320 a an=R 2 =320 cm/s2； a =R =220 cm /s2； ,.6880 11 tan 50340 c/s38003 0a ,.6880 4 tan 2 重物的加速度重物的加速度:a =220 cm /s2。 5034 轮系传动比轮系传动比 1.皮带轮传动皮带轮传动 v1 v2 v =v=v v 2 r2 n2 n1 r1 v1=v=v2 v1=r1 1; v2=r2 2; 2 1 2 1 1 2 n n r r i 2.齿轮传动齿轮传动 r1 1= r2 2; r2 r1 r1 1= r2 2; 1 2 1 2 2 1 2 1 12 z z r r n n i $2-3刚体的平面运动刚体的平面运动 平行于固定平面的运动。平行于固定平面的运动。 一一平面图形上点的速度平面图形上点的速度加速度加速度一一、 平面图形上点的速度平面图形上点的速度，加速度加速度 1、基点法、基点法(合成法合成法) ;vvv ABAB 2、投影法、投影法 vAAB=vBAB; 3、3、瞬时瞬时速速度中度中心法(心法(瞬瞬心法)心法)瞬时度中瞬时度中瞬瞬 法法法法 二、 平面图形上点的速度，加速度二、 平面图形上点的速度，加速度 基点基点法法(合成合成法法) 242 AB 2n ABAB AB)(a)(aa ;aaa ABAB ABABAB AB)(a)(aa ;aaaaaa n ABAB n AA n BB vA ;vvv ABAB vB vA 速度矢量图速度矢量图 vAB AB aAn aA aB a n n aAB 加速度矢量图加速度矢量图aBn aABn 加速度矢量图加速度矢量图 ;aaaaaa n ABAB n AA n BB 例例86：园轮在曲面做纯滚动，园轮在曲面做纯滚动，0A杆做匀速转动，巳知杆做匀速转动，巳知:s, 0A=r=10cm AB=l=40cm R=20cm 求求:园轮园轮 杆杆AB的角加速度的角加速度0A=r=10cm,AB=l=40cm, R=20cm,求求:园轮园轮,杆杆AB的角加速度的角加速度。 解解: vA= vB=10A vA B r B= vB/r= 9680 1040 22 aAn aBAn vB B=0 0 r ;.9680 40 cos ;.250 4 1 sin aAn aBn aB aBA aBAn= 0 B 4aA aAn= 2r=1000 aBn= v B2/(R+r)=333.3 AB n i n i R AB: aB cos aBnsin aAn sin ； 172 B a y: aBn= aAB cos +aAn ；aAB = ； ； B= aB r= 17.2 1/s2; AB= aAB l= 17.2 1/s2; ;aaaaaa n ABAB n AA n BB 例例87：图示连杆机构，图示连杆机构，01A以匀角速度以匀角速度rad/s转动转动,並带动滑並带动滑 块运动块运动,巳知巳知: 01A = 02B=CD=20cm ,AB=0102=40cm, 求求:CD杆中点杆中点 D 块运动块运动,巳知巳知: 01A 02B CD 20cm ,AB 0102 40cm, 求求:CD杆中点杆中点 E速度速度,加速度。加速度。 解解: P 1:求速度求速度 E D解解: vD P CD vA=20 A B E 600 vA vA=vC vB vC vD C A vC cm/s;vv32030cos 0 CE 600 01 02 CD=vC/CPrad/s x 例例87A： rad/s, 01A = 02B=CD=20cm ,AB=0102 =40cm, 求求:aE。 D 解解: aCn aDC aAn= aCncm/s2 a n= 40cm/s2 2:求加速度求加速度 a n= 80cm/s2 x A B E 600 aD aCn aEC 求求E加速度有三个未知量加速度有三个未知量aEC ，aE大小大小,方向方向。 aEC 40cm/s aDCn= 80cm/s2 A B C 600 n aCn x: aCncos600aDCncos600aDC cos300=0 先求先求D点；点； D点点: 600 aAn aDC =0; E点点: n: a n a ncos600+an=80cm/s2; DC=0; ;aaa n EEE 01 02 E点点: n: aEaCcos600+aEC=80cm/s ; : aE aCncos300+aEC =69.2cm/s2; 0 840; a tan E 840.; a tan n E E 是否可从是否可从D点求点求E;/)a()a(a 222n scm8105 是否可从是否可从D点求点求E 点的加速度点的加速度? ;/.)a()a(a EEE scm8105 例例89：在平面机构中，已知：在平面机构中，已知：.，.， 0.4；在图示瞬时，杆；在图示瞬时，杆和和处于铅垂位置，处于铅垂位置，、 在同铅垂线上在同铅垂线上dd2转向转向、在同在同一一铅垂线上铅垂线上， rad， rad2转向转向 如图。试求此瞬时 杆的角速度如图。试求此瞬时 杆的角速度C； 直角三角板； 直角三角板 的角加速度的角加速度. v 的角加速度的角加速度. 解解:有有v 0.2 三角形三角形作瞬时平动作瞬时平动故故 ： vD 三角形三角形作瞬时平动作瞬时平动，故故 ：DB。 v v ， ， / )2( 1.2v D d v aDB /s),2( 0.6DC D c rad 取点取点为基点，则有为基点，则有D点加速度点加速度 C vB a a a a a y: a a a cos 得得 : a ) CD v AB(2 2 D 2 故故:),(rad/s DB a 2 DB 12 DB , )/(. 2 284sm 例例89A：在平面机构中，已知：在平面机构中，已知：.，.， 0.4；在图示瞬时，杆；在图示瞬时，杆和和处于铅垂位置，处于铅垂位置，、 在同一铅垂线上，在同一铅垂线上， rad， rad2转向如图。 试求此瞬时 直角三角板顶点 转向如图。 试求此瞬时 直角三角板顶点的加速度。的加速度。 解解: 又取点又取点为基点，则有为基点，则有E点加速度点加速度 a a a a 将上式向将上式向，轴投影轴投影: aDB 得：得：a a a DB BEAB .2 , a y a 2 AB aE=8 8 2 2 方向为方向为tan.，.。 a a a ； ；aE 8 8. .2 2 $2-4 点的合成运动$2-4 点的合成运动 一、 速度合成定理一、 速度合成定理 ;vvv era 二、 加速度合成定理二、 加速度合成定理 ； c n r r n e e n aa aaaaaaa ； crea aaaa ac= 2vr=2 vrsin ； crreeaa ； crea 动点动点动点动点 牵连运动牵连运动 动系动系 静系静系 动点的牵连运动动点的牵连运动 该瞬时动系中该瞬时动系中 与动点相重与动点相重 动点的牵连运动动点的牵连运动 与动点相重与动点相重 合点的速度合点的速度。 v ;vvv era va ve 速度矢量图速度矢量图 vr aC r aen ae aa a n a n ar 加速度矢量图加速度矢量图aanarn加速度矢量图加速度矢量图 ； c n r r n e e n aa aaaaaaa ； crea aaaa 例例93：曲曲柄绕柄绕0转动转动，並通过，並通过滑块滑块M带动滑槽绕带动滑槽绕0 摆动 摆动，y例例柄绕柄绕 转动转动滑块滑块带动滑槽绕带动滑槽绕摆动摆动 求求:摆动到摆动到300时的角速度时的角速度1。 绝对 。 绝对:转动；转动； 动点取动点取M； y 解：解：相对相对:斜线；牵连斜线；牵连:摆动；摆动； Mr 0 x: vasin 300= ve; 300 va v =v sin300= r 0 x 1 该瞬时动系中 与 该瞬时动系中 与动点动点相重相重 ve=vasin300= ; 2 ; v e y: vr=vacos300; 0 动点动点 合点的速度合点的速度。 ; 42 1 r y: vrvacos30; 如动点为 摆杆上一点 如动点为 摆杆上一点 2 3 r 2 例例98：曲柄绕曲柄绕0转动，並通过滑块转动，並通过滑块M带动滑槽绕带动滑槽绕0 摆动， 摆动， 求求 摆动到摆动到300时的角加速度时的角加速度 y 求求:摆动到摆动到300时的角加速度时的角加速度 1。 解：解： y 从例从例93已知得：已知得： 1=; 4 aan= 2r; 2 3 r rv r 0 M aa =0; 4 2 ;rva r 4 3 2 2 1c 300 va aen=; 8 r2 : aancos300= acae ; 3 2 x 1 1 ;ra 4 3 2 e / a 22 1 3 0 ;s/ M a e22 1 1 8 3 0 例例99：将例将例58滑槽改变为图示牛头刨床机构，滑槽改变为图示牛头刨床机构，MA=2r, 求求 刨床刨刀的速度刨床刨刀的速度加速度加速度求求:刨床刨刀的速度刨床刨刀的速度，加速度加速度。 解：解：va从上例已知得：从上例已知得： 1=; 4 A ;s/ 22 1 1 8 3 4 4 r 0 r2 动点取动点取A； ve= 14r= r; r 0 M ;rvv 330cos 0 Aa ; rv v a 300 : aacos300= ac+ae =2 1vr+ 14r; ;v 32 r 0 1 1 .raa 3 2 2 Aa 例例94：偏心园盘绕偏心园盘绕0匀速度转动，並推动直杆上、下运动，已匀速度转动，並推动直杆上、下运动，已 知知: ，求求: 转到转到600时直杆的速度时直杆的速度v。知知: ，求求: 转到转到60 时直杆的速度时直杆的速度v。 解：解： 绝对绝对:直线； 动点取 直线； 动点取M； 相对相对:园周；牵连园周；牵连:摆动；摆动； va 0 R M 0 x: vevrsin =0; y: va=vrcos ; x y e 0 y: vavrcos ; 2e=R ; t0 /R va=vectan = M0 can = e; ve vr=va/cos = R。 如动点为园盘上一点如动点为园盘上一点, 动系在直杆上。动系在直杆上。 = R。 3 2 例例910：偏心园盘绕偏心园盘绕0转动，並推动直杆上、下运动，转动，並推动直杆上、下运动， 求求: 转到转到600时直杆的加速度时直杆的加速度a。求求: 转到转到60 时直杆的加速度时直杆的加速度a。 解：解： 从例从例94得：得：vr= R; aa 0 R x y M : aacos300= acaencos600arn; 0 e 0 ;va rc 2 e;3a 2n e va . e a 3 2 a arn=vr2/R; a 如动点为园盘上一点如动点为园盘上一点, 动系在直杆上动系在直杆上动系在直杆上动系在直杆上。 例例95：曲柄滑道机构，曲柄滑道机构，0A=01A=r=10cm, =300, =4 ,求求: 转到转到300时直杆的加速度时直杆的加速度 转到转到300时直杆的加速度时直杆的加速度a。 解：解： vr va 绝对绝对:园周；动点取园周；动点取A； ve 相对相对:园周；牵连园周；牵连:直线；直线； 速度速度 y: vacos300=vrcos300; 速度速度 = ae a aa r va= r=40 ;vr= va= r=40 ， 加速度加速度 e anr 300 an a a= a r=0； an=an= 2r =160 2； ； 加速度加速度 ana x: anacos300= anrcos300ae; a a a r r160 ； 2 a 2 1603 3 1602ae1603 2 1602 ae=a。； r n re n aaaaa 例例915 机构如图，销钉机构如图，销钉能在能在杆的竖直槽内滑动，又能在杆的竖直槽内滑动，又能在杆槽内 滑动，现 杆槽内 滑动，现以匀速度以匀速度v cm向右平动。向右平动。杆以匀角速度杆以匀角速度 2 解解以销钉以销钉为动点为动点为动系为动系 A D 2 rad转动。当转动。当时，时，点运动到图示位置，点运动到图示位置，cm。试求此 瞬时销钉 。试求此 瞬时销钉的绝对速度。的绝对速度。 解解 : : 以销钉以销钉为动点为动点，为动系为动系； 从图有：从图有： D M ;vvv reM11 再以销钉为动点，为动系； 速度有： 再以销钉为动点，为动系； 速度有： M L ;vvvvv rereM2211 ;vvv reM22 在在轴投影， 得 轴投影， 得v v 1 1cos cos v 1 1cos cos； E 0 B v rereM2211 有：有：v 1 ； ； 得得：v 5 22 vr1 ve1 vr2 ve2 得得：v 5 2 r1 2 e1 vv； 方向为： ； 方向为： arctan（ arctan（v v ）18.4； ）18.4； M e2 x 讨论这是二个自由度问题，应分别用两组不同动点、动系求讨论这是二个自由度问题，应分别用两组不同动点、动系求的绝对速度。的绝对速度。 例例915 机构如图，销钉机构如图，销钉能在能在杆的竖直槽内滑动，又能在杆的竖直槽内滑动，又能在杆槽 内滑动，现 杆槽 内滑动，现以匀速度以匀速度v cm向右平动。向右平动。杆以匀角速度杆以匀角速度 rad转动。当转动。当时，时，点运动到图示位置，点运动到图示位置，cm。 试求此瞬时销钉 。 试求此瞬时销钉的绝对加速度。的绝对加速度。 解解以销钉以销钉为动点为动点为动系为动系 2 A D 解解 : : 以销钉以销钉为动点为动点，为动系为动系； M L ;aaaa cr n eM 11 再以销钉为动点，为动系；再以销钉为动点，为动系； 加速度有加速度有： 0 ;aaa reM22 ;aaaaa recr n e2211 加速度有加速度有 在在轴投影得：轴投影得： a a cos45 a r cos45； ； 有有40 140 1 aM E 0 B v ; recre2211 有有： a ； a vr r 4040. .1 1 ； 得得 a 40 40 。 。2ar1 xar2 ae2 a 方向与图 方向与图 a 方向相同。 方向相同。 得得： a a 40 40 。 。 2 ane1 M aC 讨论这是二个自由度问题，应分别用两组不同动点、动系求讨论这是二个自由度问题，应分别用两组不同动点、动系求的绝对加速度。的绝对加速度。 例例917：图示半径图示半径R=0.2m园盘作纯滚动，使杆园盘作纯滚动，使杆0A绕绕0轴绕动轴绕动,巳巳 知知: vC= 0.8m/s; aC=0.2m/s2,0A=0.4m, 求求:0A杆的角速度杆的角速度,角加速度角加速度。 600 0 0 知知: vC 0.8m/s; aC0.2m/s ,0A 0.4m, 求求:0A杆的角速度杆的角速度,角加速度角加速度。 解解: y vA ve= vC; va= vA; 取取A为动点为动点,园盘为动系；园盘为动系； ve= vC= 0.8m/s; 600 A 300 vC A vr vr= vCsin600=0.69m/s; v =v =v cos600=0 4m/s; e C ; vc ac 30 x C va=vA=vCcos600=0.4m/s; =vA/0A=1 rad/s; 牵连运动为平动牵连运动为平动,加速度式；加速度式； ae= ac=0.2 m/s2; ;aaaaa n rre n aa aa aan y arn= v r/R=2.4m/s2 ; a an= 0A=0.4m/s2; i 300 ; rreaa ac arn 600 x:aa = acsin300+arn;aa =2.5 m/s2; 0A= a 6 25 1/s2; x 0A aa6.25 1/s ; 例例918：曲柄绕曲柄绕0匀速转动，已知匀速转动，已知: , AB=BD =L,0A=r, 求求: 。 解解解解:速度 速度:B A B vA vA= vB= vD =r ， 0 300 B 0 600 vB i 600i 600 ;vvvv Drea D vr vD ve= vDsin600=r sin600， ， v = v sin300=r sin600 ve vr= vDsin30 =r sin60 ， 0LD x = ve/D0， ， 00 sin120sin30 0LD 3 0 0 0 sin60 sin30 sin60 0 rL D 4 3 1 解解 例例918A：曲柄绕曲柄绕0匀速转动，已知匀速转动，已知: , AB=BD =L,0A=r, 求求: 。 A 解解: anA a AB anA= r; anAB= ; aaa ABA B 0 300 B 0 600 aB an AB 2 raAB ;aaa n ABAB n A ABA B D n:0= anAa BAcos300=r L cos300， anA a DAane aC 0 AB 30cosLL AB 加速度加速度:D ABA， anA a e C ar ;aaaa nn ;aaaaa n aC=2vr A a DA=2L x ;aaaa DADAA D ;aaaaa Cree D anAsin300 a DAcos300=a eaC, r2r2 ; 2 r a e ; L r 2 2 1 例919：例919：在示平面机构中，在示平面机构中，ACAC杆在导轨中以匀速杆在导轨中以匀速v v平动，通过铰链平动，通过铰链A A带动带动ABAB杆 沿导套 杆 沿导套O O运动，导套运动，导套O O与杆与杆ACAC的距离为的距离为l。图示瞬时。图示瞬时ABAB杆与杆与ACAC杆的夹角杆的夹角 为为求此瞬时求此瞬时ABAB杆的角速度及角加速度杆的角速度及角加速度 C v 解：解：1. 求求AB杆的角速度。杆的角速度。 v ve 为为， 求此瞬时求此瞬时ABAB杆的角速度及角加速度杆的角速度及角加速度。 A C 60 v va vr 动系固连于动系固连于导套导套O。动点。动点A点点。静系固连机座。静系固连机座。 绝对运动绝对运动A点以匀速点以匀速v 沿沿AC方向的运动。方向的运动。 O AB 相对运动相对运动A点沿导套点沿导套O的直线运动。 牵连运动导套 的直线运动。 牵连运动导套O绕定轴的转动。绕定轴的转动。 B 由速度合成定理由速度合成定理 各速度矢如图所示。各速度矢如图所示。 vv a其中其中 rea vvv 其中其中 由于杆由于杆在导套在导套 中滑动中滑动因此杆因此杆与导套与导套 具有相同的角速度及角加速度具有相同的角速度及角加速度 vvv 2 3 60sin ae 2 60cos ar v vv 从而求得从而求得 rea 由于杆由于杆AB在导套在导套O中滑动中滑动，因此杆因此杆AB与导套与导套O具有相同的角速度及角加速度具有相同的角速度及角加速度。 其角速度 。 其角速度 l v AO v AB 4 3 e （逆时针转向）（逆时针转向） lAO4 例例919A：2. 求求AB杆的角加速度。杆的角加速度。 动点动点动系与静系的选取与上相同动系与静系的选取与上相同 a ar r 由于由于A点为匀速直线运动，故其绝对加速度为点为匀速直线运动，故其绝对加速度为 动点动点、动系与静系的选取与上相同动系与静系的选取与上相同。 A C 60 a aC C 零。零。A点的相对运动为沿导套点的相对运动为沿导套O的直线运动，因此其 相对加速度 的直线运动，因此其 相对加速度ar沿杆沿杆AB方向，故由方向，故由加速度合成加速度合成定理有定理有 AB AB C C 式中式中绝对加速度绝对加速度哥氏加速度哥氏加速度 O ABAB ;aaaaa Cr n eea 式中式中，绝对加速度绝对加速度aa = 0，哥氏加速度哥氏加速度 l v va 4 3 2 2 reC v3 2 B l4 v -aa 3 C t e 将上式将上式投影投影到到 ate方向得方向得 从而求得从而求得AB杆的杆的角加速度角加速度大小为大小为从而求得从而求得AB杆的杆的角加速度角加速度大小为大小为 8lAO 2 2t e 33va AB （顺时针转向）（顺时针转向） 8lAO 补补2-1 图所示平面机构中，曲柄图所示平面机构中，曲柄OA=r，以匀角速度，以匀角速度0 转动，转动， 套筒套筒A可沿可沿BC杆滑动杆滑动，已知已知BC=DE，且且BD=CE=l，求求：图示位图示位套筒套筒A可沿可沿BC杆滑动杆滑动，已知已知BC DE，且且BD CE l，求求：图示位图示位 置时，杆置时，杆BD的角速度和角加速度。的角速度和角加速度。 解解 点点块块 y y D D E E 60 解：解： 动系动系Cxy，固连于杆，固连于杆BC。 动点动点 滑 滑块块A 。 A A B B C C O O 60 30 绝对运动绝对运动以以O为圆为圆心心的圆周运动的圆周运动。 x x 定系固连于机座。定系固连于机座。 30 0 0 绝对运动绝对运动以以 为圆的圆周运动为圆的圆周运动 牵连牵连运运动动平平动动。 相对运动沿杆 。 相对运动沿杆BC直线运动。直线运动。v vB B v ve e v va a 牵连动牵连动平平动动 应用速度合成定理应用速度合成定理应用速度合成定理应用速度合成定理 rea vvv 可得可得可得可得 rvvv o are 因而杆因而杆因而杆因而杆BDBD的角速度大小为的角速度大小为的角速度大小为的角速度大小为 l r l v l v OB e D D E E aen= aBn = 2l =o 2r2 / l A A B B D D E E 60 a a 根据加速度合成定理根据加速度合成定理根据加速度合成定理根据加速度合成定理 nt 60 B B C C O O 30 0 0 a aa a a ar r 上式两端向上式两端向上式两端向上式两端向 y y 轴投影得轴投影得轴投影得轴投影得 r n e t erea aaaaaa 30 y y 30sin30cos30sin n e t ea aaa 解得解得解得解得解得解得解得解得 l rlaa a o 3 3 30cos 30sin 2n ea t e 所以杆所以杆所以杆所以杆BDBD的角加速度的角加速度的角加速度的角加速度 2 2t e 3 )(3 l rlr l a o 补补2-2 杆杆 BE作平面运动，可先求出套筒作平面运动，可先求出套筒B的速度和加速度。套筒 在 的速度和加速度。套筒 在OA杆上滑动，并带动杆杆上滑动，并带动杆OA转动，巳知速度转动，巳知速度v，可按复合运动可按复合运动 方法求解杆方法求解杆的角速度和加角速度的角速度和加角速度方法求解杆方法求解杆OA的角速度和加角速度的角速度和加角速度。 A由由由由v v及及及及v vB B方向可知此瞬时点方向可知此瞬时点方向可知此瞬时点方向可知此瞬时点O O为为为为BEBE杆的杆的杆的杆的 1. 1. 求求求求B B点点点点 的速度。的速度。的速度。的速度。 解：解： B D B B 速度瞬心，所以有速度瞬心，所以有速度瞬心，所以有速度瞬心，所以有v vB B a aB B l v OE v BE vOBv BEB l 45 以以以以E E为基点，为基点，为基点，为基点，B B点的加速度为点的加速度为点的加速度为点的加速度为 2. 2. 求求求求B B点的加速度。点的加速度。点的加速度。点的加速度。 lOE l OA v v nt BEBEEB aaaa 沿沿沿沿BEBE方向投影上式，得方向投影上式，得方向投影上式，得方向投影上式，得 O E E l OA 从而求得从而求得从而求得从而求得 l va a BE B 2n 2 45cos n 45cos BEB aa l 由于滑块由于滑块由于滑块由于滑块E E作匀速直线运动，故作匀速直线运动，故作匀速直线运动，故作匀速直线运动，故a aE E=0=0。 a an n的大小为的大小为的大小为的大小为 2 2 l45cos a an nBE BE的大小为 的大小为的大小为的大小为 l v BEa BEBE 2 2n 2 3. 3. 求求求求OAOA杆的角速度。杆的角速度。杆的角速度。杆的角速度。上面用刚体平面运动方法求出了上面用刚体平面运动方法求出了上面用刚体平面运动方法求出了上面用刚体平面运动方法求出了B B点的速度和加点的速度和加点的速度和加点的速度和加 速度速度速度速度。由于由于由于由于B B 滑块可以在滑块可以在滑块可以在滑块可以在OAOA杆杆上上滑动杆滑动杆上上滑动滑动，因此可利用因此可利用因此可利用因此可利用 D A 速度速度速度速度由于由于由于由于滑块可以在滑块可以在滑块可以在滑块可以在杆滑动杆滑动杆滑动杆滑动，因此可利用因此可利用因此可利用因此可利用 点的复合运动方法求解杆点的复合运动方法求解杆点的复合运动方法求解杆点的复合运动方法求解杆OAOA的角速度和角加速度的角速度和角加速度。的角速度和角加速度的角速度和角加速度。 v vr r v v动点动点动点动点滑块滑块滑块滑块B B。 B 45 e e v va a 动系动系动系动系固连于固连于固连于固连于OAOA杆。杆。杆。杆。 定系定系定系定系固连机座。固连机座。固连机座。固连机座。 rea vvv l v v 应用速度合成定理应用速度合成定理 式中式中 应用速度合成定理应用速度合成定理 式中式中v va a= =v vB B；牵连速度；牵连速度；牵连速度；牵连速度v ve e其方向垂直于其方向垂直于其方向垂直于其方向垂直于OAOA，因此与因此与，因此与因此与v va a rea O E E OA v v 同向；相对速度同向；相对速度同向；相对速度同向；相对速度v vr r沿沿沿沿OAOA杆杆，即垂直于即垂直于杆杆，即垂直于即垂直于v va a。显然有显然有。显然有显然有 ,vv ,0 vvvv B e l , ea vv,0 r v Be vv 于是得杆于是得杆于是得杆于是得杆OAOA的角速度的角速度的角速度的角速度 （逆时针转向）（逆时针转向）（逆时针转向）（逆时针转向） l v OB v OA e 4. 4. 求杆求杆求杆求杆OAOA的角加速度。的角加速度。的角加速度。的角加速度。 B D A a aa a 应用