线性代数-第一次课§.ppt

线性代数 1. 教师姓名: 王国联 2. 52学时，第17周结束 3. 期中考试(待定) 4. 作业：练习册 5. 平时成绩所占比例20%(作业、平时抽查、 期中考试(若有) 课程简介 代数中心课题-解方程 最简单的方程一元一次方程。 （1）一元n次方程 -多项式理论 （2） n元一次方程-线性代数 第一章 行列式 什么是行列式 行列式的定义、性质、计算 行列式的应用 能解决什么问题 1.1 二阶与三阶行列式 当(a11a22 a12a21) 0时, 用消元法解得: 由方程组的四个系数确定 一、二阶行列式 1.二阶行列式的引入 求解二元一次方程组 称其为二阶行列式。 令 a11 a12 a21 a22 由4个数排成二行二列的数表 a11 a12 a21 a22 2.二阶行列式的定义 定义：定义： 主对角线 副对角线 3.二阶行列式的计算对角线法则 a11a22 a12a21 =a11a22 a12a21 (1) (2)式称为由数表(1)所确定的二二阶行列式阶行列式. . 记 (2) .二阶行列式的应用 当(a11a22 a12a21) 0时, 解得: 分析： 例例1 1: : 解二元线性方程组解二元线性方程组 解: = 3 (4) = 7 0, 二、三阶行列式 求解三元线性方程： 用消元法解得 当时， 1.三阶行列式的引入 称为三阶行列式 (5)式称为由数表(4)所确定的三阶行列式三阶行列式. 2.三阶行列式的定义 定义定义: 设由9个数排成3行3列的数表 (5) (4) 记记 列标 行标 3.三阶行列式的计算 (1)对角线法则 (2)沙路法 即 即 当 时， 4.三阶行列式的应用 记 则 例例2:2: 计算三阶行列式 解解: : 二阶、三阶行列式是由解二元和三元线性方程组 引入的. 三、小结 类似的可以定义四阶、五阶 思考： 如何给出 n(n=1,2)阶行列式的一般定义？如 何计算？ n阶行列式的定义中要用到两个概念：全排列和逆 序数。 1.2 全排列及其逆序数 定义: 把 n 个不同的元素排成一列, 叫做这 n 个元素 的全排列(或排列). 解答： Pn = n (n1) (n2) 2 1 = n! 一、全排列 思考：n 个不同的元素的排列数是多少？ 通常用 Pn 表示n 个不同的元素的所有全排列 的种数, 称为排列数. 二、排列的逆序数 逆序: 在一个排列 i1 i2 is it in 中, 若数 isit,则称这两个 数组成一个逆序. 下面的例题及定义均以 n 个不同的自然数为例, 并规定 自然数由小到大为标准次序. 逆序数: 一个排列中所有逆序的总数,通常用t表示. 逆序数的计算方法: “前大法”或“后小法” 例如: 排列3142中, 3 1 4 2 逆序 逆序 逆序 3 2 5 1 4 31 故此排列的逆序数为t(32514)=0+1+0+3+1 = 5. 例1:求排列32514 的逆序数。 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 3 2 5 1 4 于是t(32514) = 2+1+2+0+0 = 5. 解:用“前大法”: 用“后小法”: 例2: 计算下列排列的逆序数, 并讨论其奇偶性. (1) n(n1)(n2) 21 解:用“前大法”: n (n1) (n2) 2 1 012(n1)(n2) t = 0+1+2+ +(n2)+(n1) 于是排列n(n1)(n2) 21的逆序数为: 此排列当 n=4k, 4k+1 时为偶排列; 当 n=4k+2, 4k+3 时为奇排列,其中为自然数. (2) (2k)1(2k1)2(2k2)3(2k3) (k1)(k +1)k. (2k) 1 (2k1) 2 (2k2) 3 (2k3) (k1) (k+1) k 解: 0121233(k1) (k1) k t = 0+1+1+2+2+ +(k1)+(k1)+k 于是排列(2k)1(2k1)2(2k2) (k1)(k +1)k的逆序数为: 此排列当 k 为偶数时为偶排列, 当 k为奇数时为奇 排列. 1.3 n 阶行列式的定义 一、 n 阶行列式 (1) 三阶行列式共有6=3!项. (2)不考虑每项的正负号, 每项是由位于不同行不同列的三个 元素的乘积. (3)将每项三个元素的行下标标准排列,每项的正负号由列下标 排列的逆序数决定. 三个本质特点： 1.概念的引入 t (123)=0, t (231)=2, t (312)=2, t (321)=3, t (132)=1, t (213)=1, 2.n 阶行列式的定义 定义: 设由 n2 个数排成一个 n 行 n 列的数表 称其为由数表(1)构成的n 阶行列式. 令 (1) 简记作 det(aij). 三个本质特征： （1）n 阶行列式是 n! 项的代数和; （2）不考虑每项的正负号, n 阶行列式的每项都是位于不同行, 不同列的n个元素的乘积. （3）行下标标准排列,每项的正负号都由列下标排列的逆序数 确定. 按定义一阶行列式的符号 | a | = a, 不要与绝对值符 号相混淆, 但一般不使用此符号. 例1: 解: 由行列式的本质特征(2)和(3), 写出四阶行列式中含有因子 的项。 因此,含有因子的项 n 阶行列式的每项都是位于不同行, 不同列的n 个元素的乘积再冠以规定的正负号构成. 例2: 计算对角行列式 解: 分析. 四阶行列式的通项为： 从而这个项为零, 同理可得: p2=3, p3=2, p4=1. 所以只能 p1=4; 若p14, 则 即行列式中非零的项为: (1) t (4321) a14 a23 a32 a41 即 例3: 计算上三角行列式 解: 分析 展开式中项的一般形式是 所以非零的项只可能是: a11 a22 ann . 从最后一行开始讨论非零项. 显然 pn=n, pn1=n1, pn2=n2, , p2=2, p1=1, 即 下三角行列式 对角行列式:主对角线上方和下方的元素全为零 反对角行列式:反对角线上方和下方的元素全为零. 思考：用行列式的定义计算 答案： 例4: 设 证明: D1=D2. 证: 由行列式定义有 由于 p1+ p2+ + pn= 1 + 2 + + n,所以 故 例5:已知多项式求 x3 的系数. 解:含 x3 的项有仅两项, 即 对应于 = x3+ (2x3) 故 x3 的系数为(1). (1)t(1234)a11a22a33a44+ (1)t(1243)a11a22a34a43 三、行列式的计算 背景： 仅用定义计算，计算量太大， 除非0