高中数学 （学习目标+合作探究+反思感悟）《22 直接证明与间接证明》学案（pdf）新人教A版选修1-2.pdf

推理与证明第二章 ! ! 学!习 札记! !运用!推理! ,+- 从上表发现了规律! “,*- “,*- $# *“ $ & # 1 # !( #$ & # 1 # (!( #) & # 1 # )!( #“3* * * * + : #3 * * + 3* *3* * + + + + k :3 * * + # $3 * * + %3 * * 综合法的思考过程是由因导果的顺序& 是从9推演达 到k的途径& 但由9推演出的中间结论未必唯一& 如:*:“* :#等& 可由:*:“*:#推演出的进一步的中间结论则可能更 多& 如*“*#*$*%等!最终& 能有一个, 或多个- 可推演 出结论k即可! 用分析法思考数学问题的顺序可表示为, 对于命题( 若 9则k) - * + + + + k *“:*5* *“*5* * * *5* * + :5* #* + 5* + + + + :9 *5* * + # :5* $3* * + :5* %3* * 分析法的思考顺序是执果索因的顺序& 是从k上溯寻 其论据& 如*“*#等& 再寻求*“*#的论据& 如:*:“* :#*:$*:%等& 继而寻求:*:“*:#*:$*:%的论据& 如果其中 之一, 或多个- 的论据恰为已知条件& 于是命题得证! 用分析法与综合法来叙述证明& 语气之间也应当有区 别!在综合法中& 每个推理都必须是正确的& 每个论断都应当 是前面一个论断的必然结果& 因此所用语气必须是肯定的& 而在分析法中& 就应当用假定的语气& 习惯上常用这样一类 语句! 假如要9成立& 就需先:成立“ 如要有:成立& 又只需 有成立& & 这样从结论一直推到已知条件! 问题“!综合法与分析法的综合应用! 议一议! 有时解题& 需一边分析& 一边综合& 称之为分 析综合法& 或称两头凑法!两头凑法充分表明分析与综合 之间互为前提* 互相渗透* 互相转化的辩证统一关系& 分 析的终点是综合的起点& 综合的终点又成为进一 步 分 析 的起点 “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “! 新新学案高中数学选修! $ “ 人教实验%版# “ *! 学 习 札记 例#!设(* &是正实数& 且(9&! 求证! ( $ & $) ( # &( & #! 图#/#/# 例&!如 图#/#/#& 已 知9 :& k 相交于 点o&/9 o= /: k o&9 m$ : n& 求证! m$k n! 分 析 分析题目特点! 分别用分析 法 综合法进行证明! 并注意二者的联 系与区别! !跟踪练习#! 求 证! 对 于 任 意 实 数#*%& 有# %( “ # # % , #%- #! 反思感悟 “!在证明问题时& 通常把综合法与分析法结合起来使 用& 即由! ! ! !找 到 问 题 的 证 明 思 路 或 方 法& 然 后 用 !将证明过程写出来! #!在解答客观题时&!是一种简捷有效的方法& 应用!时要注意语言叙述的形式! $!综合法证明不等式常用的结论! ,“- ( # & #(# ( &, 当且仅当($&时取($) -! ,#- (& # (槡( &,(*&)1& 当且仅当($&时取($) -! ,$- ( #(1& (1& ,(p&- #(1! ,%- & ( ( & (#,(*&同号且(/&91- “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ ! “ ! “ ! “ !反证法 学习目标 “!认识间接证明中的一种基本方法# # #反证法& 了解反 证法的思维过程和思维特点! #!学会运用反证法证明有关的数学命题! $!掌握反证法的步骤与方法! 情境创设 请同学们看下面的故事! 一个心脏病患者梦见刮台风& 自己从楼上跌下来& 接着 整个房子塌了& 并压在他身上& 他害怕极了& 于是心脏病发 作& 死在了床上!请同学们判断上面的故事描述的事情是真 还是假+ 合作探究 探究一!反证法 问题!情境创设中描述的事情是真还是假+ 议一议! 情境创设中描述的事情& 如果我们从正面进行 推理& 那么很难说清故事的真假!但是& 如果我们从它的反面 进行推理& 则比较容易说清故事的虚假性!假设故事是真的& 由于故事是在梦中发生的& 除了做梦的人谁也不知道& 因此 故事情节只能由做梦者说出来& 而做梦者又死在梦中& 由死 者说出梦中的情节显然与常理不符!所以假设不成立& 因此 故事是虚假的! 提升总结! 一般地& 假设原命题不成立, 即在原命题的条 件下& 结论不成立- & 经过正确的推理& 最后得出矛盾!因此说 明假设错误& 从而证明了原命题成立& 这样的证明方法叫做反 证法! 思考! 反证法证明问题的基本思路是什么+ 提升总结! 用反证法证明结论是:的命题& 其思路是! 假定:不成立& 则:的反面成立& 然后从:的反面成立的假 定出发& 利用一些公理* 定理* 定义等作出一系列正确的推 理& 最后推出矛盾的结果& 若同时承认这个结果与题设条件& 则与学过的公理* 定理或定义矛盾& 这矛盾只能来自(:的反 面成立) 这个假设& 因此:必定成立!可见反证法的步骤是! 否定结论3推出矛盾3否定假设3肯定结论& 其中推出矛盾 是证明的关键! 思考“! 反证法证明的问题类型一般有哪些+ 数学中的一些基础命题都是数学中我们经常运用的明 显事实& 它们的判定方法极少& 宜用反证法证明!正难则反是 应用反证法证明的原则& 即一个命题的结论如果难以直接证 明& 那么可考虑用反证法! 另外& 宜用反证法证明的题型还有! ,“- 一些基本命题 “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ * 推理与证明第二章 “ ! 学!习 札记! 基本定理“ ,#- 易导出与已知矛盾的命题“ ,$- ( 否定性) 命题“ ,%- ( 唯一性) 命题“ ,+- ( 必然性) 命题“ ,*- ( 至多) ( 至少) 类的 命题“ ,0- 涉及( 无限) 结论的命题等! 思考#! 应用反证法证明数学问题& 一般需要几个步骤+ 提升总结! 第一步! 分清命题( c3d) 的条件和结论“ 第二步! 作出与命题结论d相矛盾的假定d“ 第三步! 由c和d出发& 应用正确的推理方法& 推出矛 盾结果“ 第四步! 断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假定 d不真& 于是原结论d成立& 从而间接地证明了命题c3d 为真! 例!给 定实数(&(91且(9“& 设函数%$ #,“ ( #,“ 其中#,)& 且#9“ ,- ( & 证明! 经过这个函数图象上任意两 个不同点的直线不平行于#轴! 分 析 % 不平行& 的否定是% 平行& ! 假设% 平行& 后得出矛 盾! 从而推翻假设! 跟踪练习! ,# 1 “ 1/广东模拟- 用反证法证明命题! ( (& &,(-&( &可被+整除& 那么(*&中至少有一个能被+整除) 时& 假设的内容应为,!- &!(*&都能被+整除 !(*&都不能被+整除 (!(*&不都能被+整除 )!(*&不能被+整除 跟踪练习“! 否定! ( 自然数(& &1中恰有一个偶数) 时正 确的反设为,!- &!(&1都是偶数 !(&1都是奇数 (!(&1中至少有两个偶数 )!(&1都是奇数或至少有两个偶数 探究二!反证法的应用 应用反证法证明问题时应注意以下两点! ,“- 要想得到与原命题相反的判断& 必须先弄清原命题 的含义& 即原命题包含哪几个结论, 不能缩小也不能扩大- & 然后避开问题给的条件考虑可能得到的各种结论& 从这些结 论中把原命题所含的结论剔除& 就得到原命题的相反判断& 如( 是) 的反面是( 不是) & ( 有) 的反面是( 没有) & ( 等) 的反面 是( 不等) & ( 成立) 的反面是( 不成立) & ( 有限) 的反面是( 无 限) & 以上这些都是相互否定的字眼& 较为易找& 应注意以下 的否定! ( 都是) 的反面为( 不都是) & 即( 至少有一个不是) , 不 是( 都不是) - “ ( 都有) 的反面为( 不都有) & 即( 至少一个没有) , 不是( 都没有) - “ ( 都不是) 的反面为( 部分是或全部是) & 即 ( 至少有一个是) , 不是( 都是) - “ ( 都没有) 的反面为( 部分有 或全部有) & 即( 至少一个有) , 不是( 都有) -! ,#- 间接论证的应用有一定困难& 因为在间接证明过程 中& 不得不暂时离开所讨论的论题& 引进许多补充的材料, 如 结论的反面等- & 致使全部考察过程复杂化!但这种方法我们 务必要学会!因为在实际生活以及数学和其他学科中& 时常 会遇到这样的命题& 当时并无直接证明它的论据& 必须用间 接法来证明它的真实性! 例“!若(& &1均为实数& 且($# #,# % % # & &$% #, #q % $ & 1$q #,# # % * & 求证! (&1中至少有一个大于1! 例#!已知函数=,#-$( #,# #“ , ()“-! 用反证法证明方程=, #-$1没有负数根! 分 析 本题要求用反证法证明! 首先否定结论! 再把否定 了的结论当成已知条件! 找到矛盾即可! 跟踪练习#! 设0 (*1 是公比为d的等比数列&“*是它的 前*项和! ,“- 求证! 数列0“*1 不是等比数列! ,#- 数列0“*1 是等差数列吗+ 为什么 “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ + 新新学案高中数学选修! $ “ 人教实验%版# “ “! 学 习 札记 跟踪练习&! 若函数=, #- 在区间2(&3 上是增函数& 那么 方程=, #-$1在区间2(&3 上至多有一个实根! 反思感悟 “!反证法的一般步骤! !反设# # #假设命题的结论不成立& 即假定原结论的反 面为真“ “归谬# # #从反设和已知条件出发& 经过一系列正确的 逻辑推理& 得出矛盾结果“ #存真# # #由矛盾结果& 断定反设不真& 从而肯定原结 论成立! #!反证法得出矛盾的方法!与已知矛盾“与定义* 定 理* 公理矛盾“#自相矛盾! $!常见的( 结论词) 与( 反设词) 列表如下! 原结论词反设词原结论词反设词 至少有一个一个也没有对所有#成立存在某个#不成立 至多有一个至少有两个对任意#不成立存在某个#成立 至少有*个 至多有*,“个 c或dc且d 至多有*个 至少有*“个 c且dc或d “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ 全全 程程 优优 化化 复复 习习 回顾概括 * + + + + + + 推 理 与 证 明 * + + + + + 推理 合情 * + + + + 推理 * + + + 归纳 实验* * 观察 概括* * + + + 推广 * + + + + 猜测一般性结论 * + + + 类比 观察* * 比较 联想* * + + + 类比 * + + + + + 猜测新的结论 演绎 * + + + 推理 *大前提 * + + + 小前提 *+ + + + + + 结论 * + + + 证明 * + 直接证明 * + 综合法从条件入手 * + + + 分析法从结论入手 * 间接证明反证法 专题盘点 专题一!推理与证明 !合情推理与演绎推理 推理包括合情推理与演绎推理& 其中合情推理包括归纳 推理与类比推理& 演绎推理是由一般到特殊的推理!合情推 理是一种重要的归纳* 猜想的推理& 它是发现问题和继续推 理的基础& 逻辑思维能力主要体现在对演绎推理的考查!试 卷中考查演绎推理的试题的比例比较大& 既有选择题* 填空 题& 也有解答题* 证明题& 立体几何是考查演绎推理的最好 素材! 合情推理 归纳推理类比推理 演绎推理 过程 由 部 分 到 整 体*个 别 到 一般 由 特 殊 到 特殊 由一般到特殊 结论 不一定正确& 有待证明 不一定正确& 有待证明 在前提和推理形式都正确 的前提下& 结