华中科技大学数理方程与特殊函数课后答案.pdf

习题一 习题一 2 9.0( , ) 11 0 cos , sin ( , )( cos , sin ), cossin; sincos. sin cos; s xxyy rrr rxy xy xr y laplaceuur uuu rr xr yr u x yu rr uuu ururu uuu r u += += = = = =+ = + = = 证明方程在极坐标下为 证明： sin cos; coscos in.sin. sin ()cos() sinsin coscos r xx xrr uu ryrr uu u xxrrx uu rrrr = +=+ = = 从而 222 2 222 222 222 sincossincossin cos sincossincossin . cos ()sin() sin yy uuuu rrrrrr uuu rrrr uu u yyrry =+ + =+ = 222 2 222 222 222 coscos sin sincossincoscos sin sincossincoscos . 1 xxyyrr uu rrrr uuuu rrrrrr uuu rrrr uuuu r + =+ + +=+ 所以 2 1 0. r u r += 华中科技大学数理 方程与特 殊函数课 后答案 习题二 习题二 2 1. (01,0), (0, )(1, )0, 1 ,0. (2) 2 ( ,0) 1 1,1, 2 ( ,0)(1); ttxx t ua uxt utut xx u x xx u xx x = = = =+ = () 2 2 ( , )( ) ( ). ( )( )0, ( )( )0. (0)( )0. ( )( )0, (0)( )0. 21 () ,( 2 nn u x tX x T t T ta T t X xX x XX l X xX x XX l n X l = += += = += = + = 解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得 由边界条件分离变量，得 求解固有值问题 得， () ()() ()()() 1 21 )sin(0,1,2,). 2 2121 ( )cossin(0,1,2,). 22 212121 ( , )(cossin)sin. 222 235 (3sin6sin 22 n nnn nn n n n xBxn l anan T tCtDtn ll anann u x tat btx lll xx a ll = + = + =+= + =+ =+ ? ? 代入另一常微分方程，得 则 其中 () 0 3,1; 21 )sin6,2; 2 0,12. 0. 3355 ( , )3cossin6cossin. 2222 l n n n xdxn ll n b aa u x ttxtx llll = + = = =+ 、 因此，所求定解问题的解为 3. 4(0,0), (2)(0, )0,( , )0, ( ,0)(). txx xx uuxl t utul t u xx lx = = = 求下列定解问题的解： 2 ( , )( ) ( ). ( )4( )0, ( )( )0. (0)( )0. ( )( )0, (0)( )0. () ,( ) nn u x tX x T t T tT t XxX x XXl XxX x XXl n XxA l = += += = += = = 解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得 由边界条件分离变量，得 求解固有值问题 得， 2 2 2 () 2 () 0 1 2 0 0 0 cos(0,1,2,). ( )(0,1,2,). 1 ( , )cos. 2 22 (). 6 2 ()cos n n t l nn n t l n n l l n n xn l T tD en n u x taa ex l l ax lx dx l n ax lxxd ll = = = =+ = = ? ? 代入另一常微分方程，得 则 其中 2 2 22 222 () 22 1 2 1( 1) . 2 1( 1) ( , )cos. 6 n nn t l n l x n lln u x tex nl = + = + =+ 因此，所求定解问题的解为 2 5. 11 0(01), ,0, (1, ) 0,. ,. rrr uuur rr A u A += = = = = = 解：由固有函数法 相应的固有函数系为 设方程的解为 并将 展为： ， 其中 2 2 2 () 0 2 332 1) . 2 1( 1) , (0)0. 2 ( )1( 1) 2 1( 1) 1. ( , n n nn n n a t t nl n n a t nl n aA uu ln u A uted n Al e na u x += = = = 代入原方程可得 得: 故所求的解为 2 2 332 1 2 )1( 1) 1sin. n a t nl n Aln tex nal = = () 2 2 11. 22 4sincos, (2)(0, )0, ( , )(0), ( ,0),( ,0)()(0). ( , )( , )( ). 22 4sincos, (0, )(0 ttxx t ttxx ua uxx ll utu l tBt B u xx u xx lxxl l u x tv x tw x vavwxx ll vtw =+ = = =+ =+ + 求下列问题的解 解：设问题的解为 将其代入上面的定解问题，得 2 2 22 2 )0, ( , )( ), ( ,0)( ),( ,0)(). 22 4sincos0, (0)0( ). 4 ( )sin. 8 (0, )0, ( , )0, ( ,0) t ttxx v l tw lB B v xw xx v xx lx l a wxx ll ww lB Bl w txx lal va v vtv l t v x =+= += + = = =+ = = = 化成下面两个问题： (1) ， 解得： (2) 1 2 2 22 0 22 3 4 0 ( ),( ,0)(). ( , )cossinsin. 0,4; 24 sinsin 8,4. 8 24 () sin t nn n l n l n B xw x v xx lx l n an an v x tatbtx lll n ln axxdx l lalln a nl bx lxxdx n aln = = =+ = = = 解得： 其中， () () () 4 3 2 2244 1 2 22 3 44 11 . 4 11 44 ( , )cossinsinsin. 8 44 ( , )( , )( )1 cossin 8 4 11 si n n n n a llan an v x ttxtx allnall Bla u x tv x tw xxtx lall l na = = + =+=+ + 则 因此，原问题的解为 1 nsin. n n an tx ll = 14 0, (2) (- )( ),(- )( ). 0( ). :0 xx XX XXXX X xAeBe AeBeAeBe AeBeAeBe AB + = = =+ =+ += 当时，方程的通解为 由边界条件，有 得 当时，方程的通解为 由边界条件，有 2 2 sincos; ( )0sin0 (1,2,);( )cossin. (0,1,2,), ( )cossin. nnnn n nnn B X x nnX xAnxBnx nn X xAnxBnx + = =+ = =+ ? ? 要不恒等于 ，则，得 故，固有值 固有函数 2 2 2 ( )( )0, (3) (1)( )0. ln , ( )0. 0( ). 0 0 : x y xxy xy yy e xex d y y d y xAeBeAxBx A B AeBe += = = +=