江苏省南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学试题含答案.pdf

1 南京清江花苑严老师 南京市南京市 2018 届高三年级第三次模拟考试届高三年级第三次模拟考试 数数 学学 2018.05 注意事项：注意事项： 1本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题第 14 题） 、解答题（第 15 题第 20 题）两部分本试卷满 分为 160 分，考试时间为 120 分钟 2答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内试题的答案写在答题 纸 上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题纸 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，计分，计 70 分分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位 置上）置上） 1集合 Ax| x2x60，Bx| x240，则 AB=_ 2已知复数 z 的共轭复数是z 若 z(2i)5，其中 i 为虚数单位，则z 的模为_ 3某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了 500 名学生，他们的每天在校平均开销 都不低于 20 元且不超过 60 元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在50，60元的 学生人数为_ 4根据如图所示的伪代码，可知输出 S 的值为_ 5 已知A， B， C三人分别在连续三天中值班， 每人值班一天， 那么A与B在相邻两天值班的概率为_ 6若实数 x，y 满足 xy30， x2y50， y20， 则y x的取值范围为 _ 7. 已知 ， 是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，有如下四个命题： 若 l，l，则 ； 若 l，则 l； 若 l，l，则 ； 若 l，则 l 其中真命题为_（填所有真命题的序号） S1 I1 While I8 SS2 II3 End While Print S (第 3 题图) (第 4 题图) 2 南京清江花苑严老师 8在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的一个焦点到一条渐近线的距离为 2a，则 该双曲线的离心率为_ 9若等比数列an的前 n 项和为 Sn，nN*，且 a1=1，S6=3S3，则 a7的值为_ 10若 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的函数，且 f(x) x2xa，0x2， 6x18，2x3， 则 f(a+1)的值为_ 11在平面直角坐标系 xOy 中，圆 M：x2y26x4y80 与 x 轴的两个交点分别为 A，B，其中 A 在 B 的右侧，以 AB 为直径的圆记为圆 N，过点 A 作直线 l 与圆 M，圆 N 分别交于 C，D 两点若 D 为线 段 AC 的中点，则直线 l 的方程为_ 12在ABC 中，AB=3，AC=2，D 为边 BC 上一点若AB AD5， AC AD2 3，则 AB AC的值为 _ 13若正数 a，b，c 成等差数列，则 c 2ab b a2c的最小值为 _ 14已知 a，bR，e 为自然对数的底数若存在 b3e，e2，使得函数 f (x)exaxb 在1，3上 存在零点，则 a 的取值范围为_ 二、解答题（二、解答题（本大题共本大题共 6 小题，计小题，计 90 分分.解答应写出必要的解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写 在答题卡的指定区域内）在答题卡的指定区域内） 15(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，锐角 ， 的顶点为坐标原点 O，始边为 x 轴的正半轴，终边与单位圆 O 的交点分别为 P，Q已知点 P 的横坐标为2 7 7 ，点 Q 的纵坐标为3 3 14 （1）求 cos2 的值； （2）求 2 的值. P O (第 15 题图) Q x 3 南京清江花苑严老师 16.（本小题满分 14 分） 如图，在三棱锥 PABC 中，PA 6，其余棱长均为 2，M 是棱 PC 上的一点，D，E 分别为棱 AB， BC 的中点 （1）求证: 平面 PBC平面 ABC； （2）若 PD平面 AEM，求 PM 的长 17(本小题满分 14 分) 如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段 AB，AC 和以 BC 为直径的半圆弧BC 组成，其中 AC 为 2 百米，ACBC，A 为 3若在半圆弧BC ，线段 AC，线段 AB 上各建一个观赏亭 D，E，F，再修两 条栈道 DE，DF，使 DEAB，DFAC. 记CBD（ 3 2） （1）试用 表示 BD 的长； （2）试确定点 E 的位置，使两条栈道长度之和最大. 18(本小题满分 16 分) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)经过点 P( 8 5， 3 5)，离心率为 3 2 . 已知过 点 M(2 5，0)的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）试问 x 轴上是否存在定点 N，使得 NA NB为定值若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请 说明理由. A B C D F E (第 17 题图) (第 16 题图) A C B M D E P x y O (第 18 题图) M B A 4 南京清江花苑严老师 19(本小题满分 16 分) 已知函数 f (x)2x33ax23a2（a0） ，记 f(x)为 f(x)的导函数 （1）若 f (x)的极大值为 0，求实数 a 的值； （2）若函数 g (x)f (x)6x，求 g (x)在0，1上取到最大值时 x 的值； （3）若关于 x 的不等式 f(x)f(x)在a 2， a+2 2 上有解，求满足条件的正整数 a 的集合 20(本小题满分 16 分) 若数列an满足：对于任意 nN*，an|an1an2|均为数列an中的项，则称数列an为“T 数列” （1）若数列an的前 n 项和 Sn2n2，nN*，求证：数列an为“T 数列”； （2）若公差为 d 的等差数列an为“T 数列”，求 d 的取值范围； （3）若数列an为“T 数列”，a11，且对于任意 nN*，均有 ana 2 n1a2nan1，求数列an的通 项公式 5 南京清江花苑严老师 南京市南京市 2018 届高三届高三年级第年级第三三次模拟考试次模拟考试 数学附加题数学附加题 2018.05 注意事项注意事项： 1附加题供选修物理的考生使用 2本试卷共 40 分，考试时间 30 分钟 3答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内试题的答案写在答 题纸 上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题纸 21 【选做题】在 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做四小题中只能选做 2 题，每小题题，每小题 10 分，共计分，共计 20 分分请在请在答答 卷纸指定区域卷纸指定区域 内内 作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修选修 41：几何证明选讲几何证明选讲 在ABC 中， AC1 2AB，M 为边 AB 上一点，AMC 的外接圆交 BC 边于点 N，BN2AM， 求证：CM 是ACB 的平分线 B选修选修 42：矩阵与：矩阵与变换变换 已知矩阵 A 1 2 0 1 ，B 2 0 0 1 ，若直线 l: xy20 在矩阵 AB 对应的变换作用下得到直线 l1， 求直线 l1的方程 C选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P（2， 3） ，圆心 C 为直线sin( 3) 3与极轴的交点，求圆 C 的 极坐标方程 D选修选修 45：不等式选讲不等式选讲 已知 a，b，c(0，)，且 abc1，求 2ab 2bc 2ca的最大值 C A B M N (第 21A 题图) 6 南京清江花苑严老师 【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分分请在请在答答 卷卡指定区域内卷卡指定区域内 作答解答应写出作答解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤文字说明、证明过程或演算步骤 22(本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，点 A(1，a) (a0)是抛物线 C 上一 点，且 AF2 （1）求 p 的值； （2）若 M，N 为抛物线 C 上异于 A 的两点，且 AMAN记点 M，N 到直线 y2 的距离分别为 d1， d2，求 d1d2的值 23(本小题满分 10 分) 已知 fn(x) i1 n1Ani nx(x1)(xi1)，gn(x)A n nx(x1)(xn1)，其中 xR，nN*且 n2 （1）若 fn(1)7gn(1)，求 n 的值； （2）对于每一个给定的正整数 n，求关于 x 的方程 fn(x)gn(x)0 所有解的集合 F (第 22 题图) x y O A M N 7 南京清江花苑严老师 南京市南京市 2018 届高三年级第届高三年级第三三次模拟考试次模拟考试 数学参考答案数学参考答案 说明：说明： 1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准 制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视 影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的 错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数，填空题不给中间分数 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，计分，计 70 分分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位 置上）置上） 13，2，2 2 5 3150 47 52 3 6 2 11，2 7 8 5 94 102 11x2y40 123 132 5 9 14e2，4e 二、解答题（二、解答题（本大题共本大题共 6 小题，计小题，计 90 分分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写 在答题纸的指定区域内）在答题纸的指定区域内） 15(本小题满分 14 分) 解： （1）因为点 P 的横坐标为2 7 7 ，P 在单位圆上， 为锐角， 所以 cos2 7 7 ， 2 分 所以 cos22cos211 7 4 分 （2）因为点 Q 的纵坐标为3 3 14 ，所以 sin3 3 14 6 分 又因为 为锐角，所以 cos13 14 8 分 因为 cos2 7 7 ，且 为锐角，所以 sin 21 7 ， 因此 sin22sincos4 3 7 ， 10 分 所以 sin(2) 4 3 7 13 14 1 7 3 3 14 3 2 12 分 因为 为锐角，所以 02 8 南京清江花苑严老师 又 cos20，所以 02 2， 又 为锐角，所以 22 2，所以 2 3 14 分 16(本小题满分 14 分) （1）证明：如图 1，连结 PE 因为PBC 的边长为 2 的正三角形，E 为 BC 中点， 所以 PEBC， 2 分 且 PE 3，同理 AE 3 因为 PA 6，所以 PE2AE2PA2，所以 PEAE4 分 因为 PEBC，PEAE，BCAEE，AE，BC 平面 ABC， 所以 PE 平面 ABC 因为 PE平面 PBC， 所以平面 PBC平面 ABC 7 分 （2）解法一 如图 1，连接 CD 交 AE 于 O，连接 OM 因为 PD平面 AEM，PD平面 PDC，平面 AEM平面 PDCOM， 所以 PDOM， 9 分 所以PM PC DO DC 11 分 因为 D，E 分别为 AB，BC 的中点，CDAEO， 所以 O 为ABC 重心，所以DO DC 1 3， 所以 PM1 3PC 2 3 14 分 解法二 如图 2，取 BE 的中点 N，连接 PN 因为 D，N 分别为 AB，BE 的中点， 所以 DNAE 又 DN平面 AEM，AE平面 AEM， 所以 DN平面 AEM 又因为 PD平面 AEM，DN平面 PDN，PD平面 PDN，DNPDD， 所以平面 PDN平面 AEM 9 分 又因为平面 AEM平面 PBCME，平面 PDN平面 PBCPN， 所以 MEPN，所以PM PC NE NC 11 分 (图 2) P A C B M D E C B N (图 1) O C B P A C B M D E 9 南京清江花苑严老师 因为 E，N 分别为 BC，BE 的中点， 所以NE NC 1 3，所以 PM 1 3PC 2 3 14 分 17(本小题满分 14 分) 解： （1）连结 DC 在ABC 中，AC 为 2 百米，ACBC，A 为 3， 所以CBA 6，AB4，BC2 3 2 分 因为 BC 为直径，所以BDC 2， 所以 BDBC cos2 3cos 4 分 （2）在BDF 中，DBF 6，BFD 3，BD2 3cos， 所以 DF sin( 6) BF sin( 2) BD sinBFD， 所以 DF4cossin( 6)， 6 分 且 BF4cos2，所以 DEAF=44cos2， 8 分 所以 DEDF44cos24 cossin( 6)= 3sin2cos23 2 sin(2 6)3 12 分 因为 3 2，所以 2 2 6 5 6 ， 所以当 2 6 2，即 3时，DEDF 有最大值 5，此时 E 与 C 重合 13 分 答：当 E 与 C 重合时，两条栈道长度之和最大 14 分 18(本小题满分 16 分) 解（1）离心率 ec a 3 2 ，所以 c 3 2 a，b a2c21 2a， 2 分 所以椭圆 C 的方程为 x2 4b2 y2 b21 因为椭圆 C 经过点 P(8 5， 3 5)，所以 16 25b2 9 25b21， 所以 b21，所以椭圆 C 的方程为x 2 4y 21 4 分 （2）解法一 设 N(n，0)， 10 南京清江花苑严老师 当 l 斜率不存在时，A(2 5，y)，B( 2 5，y)，则 y 21( 2 5) 2 4 24 25， 则 NA NB(2 5n) 2y2(2 5n) 224 25n 24 5n 4 5， 6 分 当 l 经过左右顶点时， NA NB(2n)(2n)n24 令 n24 5n 4 5n 24，得 n4 8 分 下面证明当 N 为(4，0)时，对斜率为 k 的直线 l：yk(x2 5)，恒有 NA NB12 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 x2 4y 21， yk(x2 5)， 消去 y，得(4k21)x216 5 k2x16 25k 240， 所以 x1x2 16 5 k2 4k21，x1x2 16 25k 24 4k21 ， 10 分 所以 NA NB(x 14)(x24)y1y2 (x14)(x24)k2(x12 5)(x2 2 5) (k21)x1x2(42 5k 2)(x 1x2)16 4 25k 2 12 分 (k21) 16 25k 24 4k21 (42 5k 2) 16 5 k2 4k2116 4 25k 2 (k21)(16 25k 24)16 5 k2(42 5k 2)4 25k 2(4k21) 4k21 16 16k 24 4k21 1612 所以在 x 轴上存在定点 N(4，0)，使得 NA NB为定值 16 分 解法二 设 N(n，0)，当直线 l 斜率存在时，设 l：yk(x2 5)， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 x2 4y 21， yk(x2 5)， 消去 y，得(4k21)x216 5 k2x16 25k 240， 11 南京清江花苑严老师 所以 x1x2 16 5 k2 4k21，x1x2 16 25k 24 4k21 ， 6 分 所以 NA NB(x 1n)(x2n)y1y2(x1n)(x2n)k 2(x 12 5)(x2 2 5) (k21)x1x2(n2 5k 2)(x 1x2)n 24 25k 2 (k21) 16 25k 24 4k21 (n2 5k 2) 16 5 k2 4k21n 24 25k 2 8 分 (k21)(16 25k 24)16 5 k2(n2 5k 2)4 25k 2(4k21) 4k21 n2 (16 5 n16 5 )k24 4k21 n2 12 分 若 NA NB为常数，则( 16 5 n16 5 )k24 4k21 为常数，设 (16 5 n16 5 )k24 4k21 ， 为常数， 则(16 5 n16 5 )k244k2 对任意的实数 k 恒成立， 所以 16 5 n16 5 4， 4， 所以 n4，4， 此时 NA NB12 14 分 当直线 l 斜率不存在时，A(2 5，y)，B( 2 5，y)，则 y 21( 2 5) 2 4 24 25， 所以 NA NB(2 54) 2y2(2 54) 224 2512， 所以在 x 轴上存在定点 N(4，0)，使得 NA NB为定值 16 分 19(本小题满分 16 分) 解： （1）因为 f (x)2x33ax23a2（a0） ， 所以 f(x)6x26ax6x(xa) 令 f(x)0，得 x0 或 a 2 分 当 x(，0)时，f(x)0，f (x)单调递增； 当 x(0，a)时，f(x)0，f (x)单调递减； 当 x(a，)时，f(x)0，f (x)单调递增 故 f (x)极大值f (0)3a20，解得 a2 3 4 分 （2）g (x)f (x)6x2x33ax26x3a2（a0） ， 12 南京清江花苑严老师 则 g(x)6x26ax66(x2ax1)，x0，1 当 0a2 时， 36(a24)0， 所以 g(x)0 恒成立，g (x)在0，1上单调递增， 则 g (x)取得最大值时 x 的值为 1 6 分 当 a2 时，g(x)的对称轴 xa 21，且36(a 24)0，g(1)6(2a)0，g(0)60， 所以 g(x)在(0，1)上存在唯一零点 x0a a 24 2 当 x(0，x0)时，g(x)0，g (x)单调递增， 当 x(x0，1)时，g(x)0，g (x)单调递减， 则 g (x)取得最大值时 x 的值为 x0a a 24 2 8 分 综上，当 0a2 时，g (x)取得最大值时 x 的值为 1； 当 a2 时，g (x)取得最大值时 x 的值为a a 24 2 9 分 （3）设 h (x)f (x)f (x)2x33(a2)x26ax3a2， 则 h (x)0 在a 2， a2 2 有解 10 分 h(x)6x2(a2)xa6(xa2 2 )2a 24 4 ， 因为 h(x)在(a 2， a2 2 )上单调递减，所以 h(x)h(a 2) 3 2a 20， 所以 h (x)在(a 2， a2 2 )上单调递减， 所以 h(a 2)0，即 a 33a26a40 12 分 设 t (a)a33a26a4（a0） ，则 t (a)3a26a6， 当 a(0，1 2)时，t (a)0，t (a)单调递减； 当 a(1 2，)时，t (a)0，t(a)单调递增 因为 t (0)40，t (1)40，所以 t (a)存在一个零点 m(0，1)， 14 分 因为 t (4)40，t (5)240，所以 t (a)存在一个零点 n(4，5)， 所以 t (a)0 的解集为m，n， 故满足条件的正整数 a 的集合为1，2，3，4 16 分 20(本小题满分 16 分) 解： （1）当 n2 时，anSnSn12n22(n1)24n2， 又 a1S124 12，所以 an4n2 2 分 所以 an|an1an2|4n244(n1)2 为数列an的第 n1 项， 因此数列an为“T 数列” 4 分 （2）因为数列an是公差为 d 的等差数列， 13 南京清江花苑严老师 所以 an|an1an2|a1(n1) d|d| 因为数列an为“T 数列”， 所以任意 nN*，存在 mN*，使得 a1(n1) d|d|am，即有(mn) d|d|6 分 若 d0，则存在 mn1N*，使得(mn) d|d|， 若 d0，则 mn1 此时，当 n1 时，m0 不为正整数，所以 d0 不符合题意 综上，d0 8 分 （3）因为 anan1，所以 an|an1an2|anan2an1 又因为 ananan2an1an2(an1an)an2，且数列an为“T 数列”， 所以 anan2an1an1，即 anan22an1， 所以数列an为等差数列 10 分 设数列an的公差为 t(t0)，则有 an1(n1)t， 由 ana 2 n1a 2 nan1，得 1(n1)tt2(2n1)t1nt，12 分 整理得 n(2t2t)t23t1， n(t2t2)2tt21 若 2t2t0，取正整数 N0t 23t1 2t2t ， 则当 nN0时，n(2t2t)(2t2t) N0t23t1，与式对于任意 nN*恒成立相矛盾， 因此 2t2t0 同样根据式可得 t2t20， 所以 2t2t0又 t0，所以 t1 2 经检验当 t1 2时，两式对于任意 nN*恒成立， 所以数列an的通项公式为 an11 2(n1) n1 2 16 分 14 南京清江花苑严老师 南京市南京市 2018 届高三年级第届高三年级第三三次模拟考试次模拟考试 数学数学附加题附加题参考参考答案答案及评分标准及评分标准 2018.05 说明：说明： 1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准 制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视 影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错 误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数，填空题不给中间分数 21 【选做题】在 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做四小题中只能选做 2 题，每小题题，每小题 10 分，共计分，共计 20 分分请在请在答答 卷卡指定区域卷卡指定区域 内内 作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修选修 41：几何证明选讲几何证明选讲 证明：连结 MN，则BMNBCA， 2 分 又MBNCBA，因此MBNCBA 4 分 所以AB AC BN MN 6 分 又因为 AC1 2AB，所以 BN MN2，即 BN2MN 8 分 又因为 BN2AM，所以 AMMN， 所以 CM 是ACB 的平分线 10 分 B选修选修 42：矩阵与变换：矩阵与变换 解：因为 A 1 2 0 1 ，B 2 0 0 1 ，所以 AB 2 2 0 1 4 分 设点 P0(x0，y0)是 l 上任意一点，P0在矩阵 AB 对应的变换作用下得到 P(x，y) 因为 P0(x0，y0)在直线 l: xy20 上，所以 x0y020 由 AB x0 y0 x y ，即 2 2 0 1 x0 y0 x y ， 得 2 x02 y0x， y0y， 6 分 即 x01 2xy， y0y 将代入得 x4y40， 所以直线 l1的方程为 x4y40 10 分 15 南京清江花苑严老师 C选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 解：解法一 在直线sin( 3) 3中，令 0，得2. 所以圆 C 的圆心坐标为 C(2，0) 4 分 因为圆 C 经过点 P(2， 3)， 所以圆 C 的半径 PC22+222 2 2 cos 32， 6 分 所以圆 C 的极坐标方程4cos 10 分 解法二 以极点为坐标原点，极轴为 x 轴建立平面直角坐标系， 则直线方程为 y 3x2 3，P 的直角坐标为(1， 3)， 令 y0，得 x2，所以 C(2，0)， 4 分 所以圆 C 的半径 PC(21)2+(0 3)2=2， 6 分 所以圆 C 的方程为(x2)2(y0)24，即 x2y24x0， 8 分 所以圆 C 的极坐标方程4cos. 10 分 D选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 解：因为(121212)( 2ab)2(2bc)2( 2ca)2(1 2ab1 2bc1 2ca)2， 即( 2ab 2bc 2ca)29(abc) 4 分 因为 abc1，所以( 2ab 2bc 2ca)29， 6 分 所以 2ab 2bc 2ca3， 当且仅当 2ab 2bc 2ca，即 abc1 3时等号成立 所以 2ab 2bc 2ca的最大值为 3. 10 分 【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分分 22 （本小题满分 10 分） 解： （1）因为点 A(1，a) (a0)是抛物线 C 上一点，且 AF=2， 所以p 212，所以 p2. 3 分 （2）解法一 由(1)得抛物线方程为 y24x 因为点 A(1，a) (a0)是抛物线 C