电路基础课件-第6章非正弦周期信号电路.ppt

电路基础 芜湖职业技术学院电气系 第6章 非正弦周期信号电路 6.1 非正弦周期信号及分解 6.2 非正弦周期信号的频谱 6.3 非正弦周期信号的有效值 、 平均值和平均功率 6.4 非正弦周期电路的计算 小 结 电路基础 芜湖职业技术学院电气系 6.1 非正弦周期信号及分解 6.1.1 非正弦周期信号 几种常见的非正弦波 图6.1几种常见的非正弦波 （a） 尖脉冲电流； （b） 矩形波电压; （c） 锯齿波电压 电路基础 芜湖职业技术学院电气系 6.1.2 非正弦周期信号的分解 在介绍非正弦周期信号的分解之前, 我们先讨论几个不同频 率的正弦波的合成。 设有一个正弦电压u1=U1msint, 其波形如图 6.2（a）所示。 显然这一波形与同频率矩形波相差甚远。 如果在 这个波形上面加上第二个正弦电压波形, 其频率是u1的3倍, 而振 幅为u1的1/3, 则表示式为 其波形如图6.2（b）所示。 如果再加上第三个正弦电压波形, 其 频率为u1的5倍, 振幅为u1的1/5, 其表示式为 其波形如图6.2（c）所示。 照这样继续下去, 如果叠加的正弦项 是无穷多个, 那么它们的合成波形就会与图6.2（d）的矩形波一样 。 电路基础 芜湖职业技术学院电气系 图6.2 矩形波的合成 由此可以看出,几个不同频率的正弦波可以合成一个非正弦的 周期波。 反之, 一个非正弦的周期波可以分解成许多不同频率的 正弦波之和。 电路基础 芜湖职业技术学院电气系 由数学知识可知, 如果一个函数是周期性的, 且满足狄里赫利 条件, 那么它可以展开成一个收敛级数, 即付里叶级数。 电工技术 中所遇到的周期函数一般都能满足这个条件。 设给定的周期函数 f（t）的周期为T, 角频率2/T, 则 f（t）的付里叶级数展开式 为 （6 1） 利用三角函数公式, 还可以把式（6 1）写成另一种形式: （6 2） 电路基础 芜湖职业技术学院电气系 式中, a0, ak, bk称为付里叶系数,可由下列积分求得: (6 3) 式（6 1）和式（6 2）各系数之间存在如下关系: (6 4) 电路基础 芜湖职业技术学院电气系 例 6.1 已知矩形周期电压的波形如图6.3所示。 求u（t）的 付里叶级数。 解 图示矩形周期电压 在一个周期内的表示式为 (6 5) 图 6.3 例 6.1 图 由式（63）可知: 电路基础 芜湖职业技术学院电气系 电路基础 芜湖职业技术学院电气系 当k为奇数时, 当k为偶数时, 由此可得 电路基础 芜湖职业技术学院电气系 例 6.2 求图6.4所示周期信号的付里叶级数展开式。 解 i (t)在一个周期内的表示式为 图 6.4 例 6.2 图 电路基础 芜湖职业技术学院电气系 利用分步积分法及 ,得 电路基础 芜湖职业技术学院电气系 利用函数的对称性质, 可使系数a0,ak,bk的确定得到简化。 (1) 如果周期函数的波形对称于横轴。 即在一个周期内, 横轴 上方的正面积与横轴下方的负面积互相抵消, 就不存在直流分量。 如图6.3所示。 (2) 如果周期函数的波形对称于坐标原点, 即f（t）f（t） 为奇函数。 如图6.4所示。其付里叶级数展开式将不含直流分量和 余弦项, 只含正弦项。 (3) 如果周期函数的波形对称于纵轴, 即f（t）f（t）为偶函 数。 如图6.5所示。 将它分解成付里叶级数时, 将不含正弦项, 只含 有直流分量和余弦项。 (4) 如果函数的波形是镜像对称, 即f(t)=f(t+T/2)。 也就是在 任一周期内把第二个半波的波形向前移动 i(t) 的付里叶级数展开式为 电路基础 芜湖职业技术学院电气系 图 6.5 偶函数波形图6.6 镜像对称波形成 作业：P181页 （3） P194页 6.1 电路基础 芜湖职业技术学院电气系 6.2 非正弦周期信号的频谱 1. 振幅频谱图的作法 图 6.9 振幅频谱图 电路基础 芜湖职业技术学院电气系 画出一个直角坐标, 以谐波角频率k为横坐标, 在各谐波角 频率所对应的点上, 作出一条条垂直的线叫做谱线。 如果每条谱 线的高度代表该频率谐波的振幅, 这样画出的图形称为振幅频谱 图, 如图6.9所示。 将各谱线的顶点连接起来的曲线（一般用虚线 表示）称为振幅包络线。 例6.3 图6.10（a）为电视机和示波器扫描电路中常用的锯齿 波, 试画出其振幅频 谱图。 解 查表6.1, 可得锯齿波电压的付里叶级数展开式为 图 6.10 例 6.3 图 电路基础 芜湖职业技术学院电气系 根据上式可以画出其频谱图如图6.10（b）所示。 例 6.4 图6.11给出了矩形脉冲电压的波形, 它是无线电技术 中一种很重要的信号。 其中脉冲幅度为 Um , 脉冲的持续时间为, 脉冲的周期为, 试画出其频谱图。 图 6.11 例 6.4 图 电路基础 芜湖职业技术学院电气系 解 该信号在一个周期的数学表达式为 由于此信号对称于纵轴, 因此, bk, 付里叶级数不含正弦分 量, 只含直流分量和余弦 分量。 电路基础 芜湖职业技术学院电气系 若令T3, 则其频谱图如图6.11(b)所示。 2. 周期信号的频谱特性。 (1) 频谱是由一系列不连续的谱线组成。 (2) 相临两条谱线之间的间隔是基波频率, 谱线的这种 矩形脉冲的付里叶级数展开式为 电路基础 芜湖职业技术学院电气系 性质称为谱波性。 (3) 各谱线的高度 ，总的趋势是逐渐减小的。 (4) 如果脉冲的周期T不变, 脉冲的持续时间减小, 也就是脉 冲变窄。 此时, 振幅频谱的收敛速度将变慢。 如图6.12（b）所 示, 此图的=/2, T=6。 与图6.12(a)比较（T=3）, 收敛速度明 显变慢了。 (5) 如果脉冲的持续时间不变, 周期T增大时, 谱线将变密。 如图6.12（c）所示, 此图的T=6。 作业：P195页 6.2 电路基础 芜湖职业技术学院电气系 6.3 非正弦周期信号的有效值、 平均值和平均功率 6.3.1 有效值 (6 6) 下面我们讨论非正弦周期信号的有效值与各次谐波有效值的 关系。 若将电流 i 分解成付里叶级数, 电路基础 芜湖职业技术学院电气系 将上式积分号内直流分量与各次谐波之和的平方展开, 结果有以 下四种类型: 将该表达式代入式（66）得 电路基础 芜湖职业技术学院电气系 因此, 电流 i 的有效值可按下式计算: 同理, 非正弦周期电压的有效值为 (6 7) (6 8) 所以, 非正弦周期电流和电压的有效值等于各次谐波有效值平 方和的平方根。 各次谐波有效值与最大值之间的关系为 电路基础 芜湖职业技术学院电气系 例 6.5 已知周期电流的付里叶级数展开式为 i=10063.7 sin t31.8 sin 2t21.2 sin 3t A 求其有效值。 解 所以 电流i的有效值为112.9 A 。 电路基础 芜湖职业技术学院电气系 6.3.2 平均值 实践中还会用到平均值的概念。 以电流为例, 其定义为 (6 9) 即非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对值的平均值。 式（6 9）也称为整流平均值, 它相当于正弦电流经全波整流后的平均值。 例如, 当 i=I m sin t 时, 其平均值为 电路基础 芜湖职业技术学院电气系 比较式（6 3）, （6 6）, （69）可以看出, 非正弦交流电 路中 的直流分量, 有效值和平均值是三个不同的概念, 应加以区分。 6.3.3 平均功率 设有一个二端网络, 在非正弦周期电压u的作用下产生非正弦周 期电流 i, 若选择电压和电流的方向一致(如图6.14所示), 此二端网 络吸收的瞬时功率和平均功率为 同理, 电压平均值的表示式为 (6 10) 图 6.14 平均功率用图 电路基础 芜湖职业技术学院电气系 将电压和电流展开成付里叶级数, 有 二端网络吸收的平均功率为 将上式积分号内两个积数的乘积展开, 分别计算各乘积项在一 个周期内的平均值, 有以下五种类型项: 电路基础 芜湖职业技术学院电气系 因此, 二端网络吸收的平均功率可按下式计算： (6 11) 其中, , 是k次谐波的平均功率 。 电路基础 芜湖职业技术学院电气系 必须注意, 只有同频率的谐波电压和电流才能构成平均功率, 不同频率的谐波电压和电流不能构成平均功率, 也不等于端口电 压的有效值与端口电流有效值的乘积。 例 6.6 流过10 电阻的电流为i=10+28.28 cos t+14.14 cos 2t A 求其平均功率。 解 例 6.7 某二端网络的电压和电流分别为 u=100 sin (t+30)+50 sin (3t+60)+25 sin 5t V i=10 sin (t30)+5 sin (3t+30)+2 sin (5t30) A 求二端网络吸收的功率。 电路基础 芜湖职业技术学院电气系 解 基波功率 三次谐波功率 五次谐波功率 作业：P195页 6.4 6.6 因此, 总的平均功率为 电路基础 芜湖职业技术学院电气系 6.4 非正弦周期电路的计算 把付里叶级数, 直流电路, 交流电路的分析和计算方法以及叠 加原理应用于非正弦的周期电路中, 就可以对其电路进行分析和 计算。 其具体步骤如下: (1) 把给定的非正弦输入信号分解成直流分量和各次谐波分 量, 并根据精度的具体要求取前几项。 (2) 分别计算各谐波分量单独作用于电路时的电压和电流。 但要注意电容和电感对各次谐波表现出来的感抗和容抗的不同, 对于k次谐波有 (3) 应用线性电路的叠加原理, 将各次谐波作用下的电压或电 流的瞬时值进行叠加。 应注意的是, 由于各次谐波的频率不同, 不 能用相量形式进行叠加。 电路基础 芜湖职业技术学院电气系 例 6.8 如图6.15（a）所示的矩形脉冲作用于图6.15（b） 所示的RLC串联电路,其中矩形脉冲的幅度为100 V , 周期为 1ms , 电阻 R10 , 电感 L10 mH , 电容C5 F , 求电路中的电流 i 及平均功率。 解 查表6.1可得矩形脉冲电压的付里叶级数表达式为 其中基波频率 , 若取前三项就有图6.15（c） 所求的等效电路。 图 6.15 例 6.8 图 电路基础 芜湖职业技术学院电气系 (1) 求直流分量。 当U050V 的直流电压作用于电路时, 电 感相当于短路, 电容相当于开路, 故I 00。 (2) 求基波分量。 电路基础 芜湖职业技术学院电气系 (3) 求三次谐波分量 电路基础 芜湖职业技术学院电气系 (4) 将各次谐波分量的瞬时值叠加得 电路中的平均功率为 电路基础 芜湖职业技术学院电气系 例 6.9 如图6.16所示的电路, R3 , L0.4 H , C1000 F , u45180 sin 10t60 sin 30t V 。 求电流i及其有效值。 解 (1) 求直流分量: (2) 求基波分量: 电路基础 芜湖职业技术学院电气系 (3) 求三次谐波分量: (4) 叠加后可得电流 i为 (5) 电流 i的有效值为 电路基础 芜湖职业技术学院电气系 例 6.10 为了减小整流器输出电压的纹波, 使其更接近直流 。 常在整流的输出端与负载电阻R间接有LC滤波器, 其电路如图 6.17(a)所示。 若已知 R=1 k , L=5 H , C=30 F , 输入电压u的 波形如图6.17(b)所示, 其中振幅Um =157 V , 基波角频率= 314 rad/s , 求输出电压u R 。 图 6.17 例 6.10 图 电路基础 芜湖职业技术学院电气系 解 查表6.1, 可得电压u 的付里叶级数为 取到四次谐波, 并代入U m =157 V 得 (1) 求直流分量。 对于直流分量, 电感相当于短路, 电容相当 于开路, 故U0R=100 V 。 (2) 求二次谐波分量: 电路基础 芜湖职业技术学院电气系 电路基础 芜湖职业技术学院电气系 (3) 求四次谐波分量: (4) 输出电压为 电路基础 芜湖职业技术学院电气系 比较本例题的输入电压和输出电压, 可看到， 二次谐波分量 由原本占直流分量的 66.7% 减小到1.15%, 四次谐波分量由原本 占直流分量的13.3%减小到0.056% 。 因此, 输入电压u经过LC滤 波后, 高次谐波分量受到抑制, 负载两端得到较平稳的输出电压。 作业： P195页 6.8 6.9 6.10 6.11 电路基础 芜湖职业技术学院电气系 小 结 (1) 非正弦的周期信号, 在满足狄里赫利条件的情况下可以分 解成付里叶级数。 付里叶级数一般包含有直流分量、 基波分量 和高次谐波分量。 它有两种表示式: 两种形式的系数之间的对应关系为 一般都是先求ak、 bk后, 再利用上式求出A k和k。 电路基础 芜湖职业技术学院电气系 (2) 非正弦周期信号还可以用频谱图来表示。 所谓频谱图, 就 是用谱线表示各次谐波的振幅和相位, 然后把这些线段由高到低依 次排列起来。 非正弦周期信号的频谱有以下特点: 频谱的离散性; 频谱的谱波性; 频谱的收敛性; 脉宽与频宽成反比。 (3) 非正弦周期信号有效值的定义与正弦信号有效值的定义相 同。 即 电路基础 芜湖职业技术学院电气系 与各次谐波分量有效值的关系为 非正弦交流电路的平均值指一个周期内函数绝对值的平均值。 其定义为 非正弦交