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第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 第一节 二维随机变量 第二节 边缘分布 第三节 条件分布 第四节 相互独立的随机变量 第五节 两个随机变量的函数的分布 l 二维随机变量：二维随机变量： 设E是一个随机变量,样本空间S=e, 设X=e 和Y=e是定义在S上的随机变量,向量(X,Y)叫做 二维随机变量. 1 1 二维随机变量二维随机变量 X(e) S e Y(e) 注:二维随机变量(X,Y)的性质 不仅与X 和Y有关,且 还依赖于 两者的相互关系. 设(X,Y)是二维随机变量, 对于任意实数x,y, 称F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数,或称为 随机变量X 和Y 的联合分布函数。 x y O (x,y) xO x1 y2 x2 y1 y 分布函数分布函数( (联合分布函数联合分布函数) ) 1) F(x,y)是变量 x 和 y 的不减函数,即 对任意固定的y, 当x2 x1时,有F(x2, y) F(x1 ,y); 对任意固定的x ,当y2 y1时,有F(x, y2) F(x ,y1). 2) 0 F(x,y) 1,且 F(-, y)=0, F(x, -)=0, F(-,-)=0, F(+,+)=1 . 3) F(x,y)关于 x右连续, 关于 y右连续, 4) 对于任意x1 y, 0 y y, 0 y 0， 若对于任意实数x，极限 存在，则称此极限值为在条件Y=y下随机变量X的 条件分布函数,记为 或 类似可定义 . 设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，概率密度f(x,y)在(x,y) 处连续，边缘概率密度fY(y) 连续， fy(y)0, 则 在条件Y=y的条件概率密度为: 类似可以定义 ，和 推导 (fY(y)0) (fX(x)0) 返 回 例例2 2 设(X,Y)的联合概率密度如下， 对于任意给定的值x (0 0 时,证证： A 亦即Z=X1+X2服从参数为1+2, 的分布 A的计算： 注 函数: 若X1,X2,Xn相互独立，且Xi服从参数为 i, (i=1,2,n)的的分布，则X1+X2+Xn服从参 数为1+2+.+n, 的分布. 一般结论：一般结论： 设X,Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函 数分别为FX(x),FY(y). 求 M=maxX,Y及 N=minX,Y 的分布函数. 二、最大值、最小值的分布 对任意实数z, 设X1,X2,Xn相互独立，其分布函数分别为FXi(xi)，则 M=maxX1,X2,Xn与N=minX1,X2,Xn的分布函数分别 为 uu推广推广： 特别，相互独立且具有相同的分布函数F (x)时，有 例例 5 5 设系统L由两个相互独立的子系统L组成,其寿命分别为X, Y 其概率密度分别为 其中0,0,. 试求联接方式为： (1) 串联，(2) 并联时 系统L的寿命Z的概率密度
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