随机变量的密度函数.ppt

第三章 随机变量与概率分布 l随机变量及其种类 l概率分布 l正态分布 l二项分布 随机变量及其种类 l随机变量（random variable） 在一定范围内随机取值的变量 以一定的概率分布取值的变量 l分类 离散型(discrete)随机变量：只取有限个可能值 （通常为整数） 例：发病个体数，产仔数 连续型(continuous)随机变量：在一定范围内可 取无限个可能值（实数） 例：产奶量，体长，日增重 概率分布 l概率函数(probability function) 随机变量取某一特定值的概率函数（离 散型随机变量） l 概率密度函数(probability density function) 随机变量取某一特定值的密度函数（连 续型随机变量） l 概率分布函数(probability distribution function) 随机变量取值小于或等于某特定值的概 率 离散型随机变量的概率分布 l概率函数 X ：随机变量，x：该随机变量的某一可能取值 l概率分布函数 离散型随机变量的概率分布 l例1：掷一次骰子所得点数的概率函数 概率分布列 离散型随机变量的概率分布 l例2：掷二次骰子所得点数之和的概率分布 离散型随机变量的概率分布 概率分布图 离散型随机变量的概率分布 l随机变量的期望(expectation) - 总体平均 数 对于例1： 离散型随机变量的概率分布 l期望的性质 (a是常量)1. 2. 3. 4. （当X和Y彼此独立） 离散型随机变量的概率分布 l随机变量的函数的期望 设H(X)是随机变量X的某个函数 例： 对于例1： 离散型随机变量的概率分布 l随机变量的方差(variance) - 总体方差 对于例1： 离散型随机变量的概率分布 l方差的性质 1. Var(a) = 0 （a是常量） 2. Var(aX ) = a2Var(X ) 3. Var(X + Y ) = Var(X ) + Var(Y ) (X和Y彼此独立） 4. Var(XY ) = Var(X )Var(Y )/ 连续型随机变量的概率分布 l概率密度函数 满足以下条件的函数f (x)称为连续性随机 变量X的概率密度函数: (x是X的任一可能取值) 连续型随机变量的概率分布 l概率分布函数 l期望 l方差 连续型随机变量的概率分布 l正态分布（normal distribution） 具有如下概率密度函数的随机变量称为 正态分布随机变量： = 期望 2 = 方差 （可以证明这个函数满足概率密度函数的3个条件） 正态分布 l正态分布概率密度函数的几何表示 正态曲线 f (x) x 曲线下某区间的面积即为随机变量在该区间取值的概率 正态分布 l正态分布的特点 只有一个峰，峰值在x = 处 曲线关于x = 对称，因而平均数=众数= 中位数 x轴为曲线向左、右延伸的渐进线 由两个参数决定： 平均数 和 标准差 决定曲线在x 轴上的位置 决定曲线的形状 正态分布 平均数的影响 标准差的影响 正态分布 l标准正态分布(standard normal distribution) 令 Z服从正态分布标准正态分布 对于 标准化 正态分布 l标准正态分布的概率密度函数 0 正态分布 l标准正态分布的概率计算 附表1 (p. 274) 正态分布 (1) P( Z u) 或 P(Z -u) (u 0) 直接查表 正态分布 (2) P( Z -u) 或 P(Z u) 查表 正态分布 (3) P( a Z b) 或 例：设 Z N(0, 1)，求 (1) P(Z 0.64) (2) P(Z 1.53) (3) P(-2.12 Z -0.53) (4) P(-0.54 Z 0.84) 正态分布 正态分布 P( -1 Z 1) = 68.26% P( -2 Z 2) = 95.45% P( -3 Z 3) = 99.73% P( -1.96 Z 1.96) = 95% P( -2.58 Z 2.58) = 99% 几个特殊的标准正态分布概率 正态分布 68.3% 95.5% 99.7% 正态分布 l对于给定的两尾概率求标准正态分布在x 轴上的分位点 附表2 （p. 276） /2 /2 正态分布 用2 查附表2，可得一尾概率为 时的分位点u l对于给定的一尾概率求标准正态分布在x 轴上的分位点 正态分布 l一般正态分布的概率计算 转换为标准正态分布计算 例： 设 X N(30, 102)，求P(X 40) X N( , 2) 正态分布 P( - X + ) = 68.26% P( - 2 X + 2 ) = 95.45% P( - 3 X + 3 ) = 99.73% P( - 1.96 X + 1.96 ) = 95% P( - 2.58 X + 2.58 ) = 99% 几个特殊的一般正态分布概率 正态分布 -3 -2 - + +2 +3 x 68.3% 95.5% 99.7% 偏度与峭度 l偏度（skewness） 度量一个分布的对称性的指标 l峭度（kurtosis） 度量一个分布的尖峭或平坦程度的指标 （总体）（样本） （总体）（样本） 离散型随机变量的概率分布 l二项分布（binomial distribution） 假设：1. 在相同条件下进行了n次试验 2. 每次试验只有两种可能结果（1 或0） 3. 结果为1的概率为p，为0的概率 为1-p 4. 各次试验彼此间是独立的 在n次试验中，结果为1的次数（X = 0， 1，2，n）服从二项分布，表示为 离散型随机变量的概率分