新北师大版数学八年级下册复习全解及培优.pdf

一、三角形 1、三角形的分类 三角形按边的关系分类如下： 角形底和腰不相等的等腰三 等边三角形 等腰三角形 不等边三角形 三角形 三角形按角的关系分类如下： 钝三角形 锐角三角形 斜三角形 直角三角形 三角形 把边和角联系在一起,我们又有一种特殊的三角形： 等腰直角三角形.它是两条直 角边相等的直角三角形. 2、三角形的三边关系定理及推论 （1）三角形三边关系定理： .第三边三角形的两边之差小于第三边三角形的两边之和大于 已知三角形的两条边长是 7 和 3，那么第三条边长可以取的范围是 一个三角形的三边长分别为cba,且0accbba，则该三角形必为 A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形 3、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理 内角任何一个和它不相邻的三角形的一个外角大于 角不相邻的外角角 角互余两个直角三角形 角角 .的和两个内等于和它形的一个三 锐的 180和等于形三个内三 注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角. 4、三角形的面积 三角形的面积=底高 全等三角形 1、全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 2、三角形全等的判定 三角形全等的判定定理： （1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成 “边角边”或“SAS”） （2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成 “角边角”或“ASA”） （3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或 “SSS”）. 直角三角形全等的判定： 对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有 HL 定理（斜边、直角边定理）： 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 （可简写成 “斜边、 直角边” 或“HL”） 如图，由1=2，BC=DC，AC=EC， 得ABCEDC 的根据是（） A、SASB、ASA C、AASD、SSS 如图 1，ABAC，CDAB，BEAC， 垂足分别为 D，E，则图中全等 三角形 的对数为（）A1 B2 C3 D4 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30,腰长为 a,则其腰上的高 是. 3、全等变换 只改变图形的位置,不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换. 全等变换包括一下三种： （1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换. （2）对称变换：将图形沿某直线翻折 180,这种变换叫做对称变换. （3） 旋转变换： 将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置,这种变换叫做旋转 变换. 如图 2 所示，ABC 为直角三角形， BC 为斜边，将ABP 绕点 A 逆时针旋 转后，能与 ACP重合如果 AP=3， 那么 PP的长等于（） A3B32C23D4 等腰三角形 1、等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的性质定理及推论： 定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） 推论 1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边.即等腰三角形的顶角 平分线、底边上的中线、底边上的高重合. 推论 2：等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于 60. 2、三角形中的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. （1）三角形共有三条中位线,并且它们又重新构成一个新的三角形. （2）要会区别三角形中线与中位线. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半. 三角形中位线定理的作用： 位置关系：可以证明两条直线平行. 数量关系：可以证明线段的倍分关系. 常用结论：任一个三角形都有三条中位线,由此有： 结论 1：三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半. 结论 2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形. 结论 3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形. 结论 4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分. 结论 5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶 角相等三角形中的中位线 4、角平分线 （1）角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定： 在一个角的内部， 且到角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。 （2）三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 （3）如何用尺规作图法作出角平分线 如图，AOP=BOP=15，PCOA， PDOA，若 PC=4，则 PD 的长为 ABCD 是一张长方形的纸片，折叠它的一边 AD，使点 D 落在 BC 边上的 F 点处， AB8cm，BC10cm，那么 EC 等于多少？ 如图，点 C 为线段 AB 上一点，ACM， CBN 是等边三角形，直线 AN，MC 交 于点 E,直线 BM、CN 交与 F 点。 (1)求证：AN=BM；(2)求证： CEF 为等边三角形； (3)将ACM 绕点 C 按逆时针方向旋转 900，其他条件不变，在图 2 中补出符合要 求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明） 在ABC 中，90A，AB=AC，ABC的 平分线 BD 交 AC 于 D，CEBD 的延 长线于点 E. 求证：BDCE 2 1 已知： 如图， ABC 中， ABC=45， DH 垂直平分 BC 交 AB 于点 D， BE 平分ABC， 且 BEAC 于 E，与 CD 相交于点 F （1）求证：BF=AC； （2）求证：BFCE 2 1 如图，把一个直角三角形 ACB（ACB=90）绕着顶点 B 顺时针旋转 60，使得 点 C 旋转到 AB 边上的一点 D，点 A 旋转到点 E 的位置F，G 分别是 BD，BE 上的 点，BF=BG，延长 CF 与 DG 交于点 H （1）求证：CF=DG；（2）求出FHG 的度数 如图，在ABC 中，D 是 BC 是中点，过点 D 的直线 GF 交 AC 于点 F，交 AC 的平 行线 BG 于点 G，DEDF 交 AB 于点 E，连接 EG、EF （1）求证：BG=CF；（2）求证：EG=EF； （3）请你判断 BE+CF 与 EF 的大小关系，并证明你的结 论 如图，已知在等边三角形 ABC 中，D 是 AC 的中点，E 为 BC 延长线上一点，且 CE CD，DMBC，垂足为 M。求证：M 是 BE 的中点。 A D 1 B M C E 一元一次不等式和一元一次不等式组 一.不等关系 1.一般地,用符号“”(或“”)连接的式子叫做不等式 2.要区别方程与不等式:方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的 关系. 不等式的基本性质 三.不等式的解集: 1.能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这 个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式. 2.不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不 同. 3.不等式的解集在数轴上的表示: 用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向: 边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈; 方向:大向右,小向左 四.一元一次不等式: 1.只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是 1.像这样的 不等式叫做一元一次不等式. 2.解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边 都乘以一个负数时,不等号要改变方向. 3.解一元一次不等式的步骤:去分母;去括号;移项;合并同类项;系数 化为 1(不等号的改变问题) 4.不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)列不等式解应用题基本步骤 与列方程解应用题相类似,即: 审:认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小 于”、“不大于”、“不小于”等含义; 设:设出适当的未知数; 列:根据题中的不等关系,列出不等式; 解:解出所列的不等式的解集; 答:写出答案,并检验答案是否符合题意 五.一元一次不等式与一次函数 六.一元一次不等式组 1.定义:由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一 元一次不等式组. 2.一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这 些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解.几个不等式解集的公共部 分,通常是利用数轴来确定. 3.解一元一次不等式组的步骤: (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集; (2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集. 两个一元一次不等式组的解集的四种情况(ba,为实数,且ba ) 328 212 x x 例题 (1)下面给出了 5 个式子：30，4x+3yO，x=3，x1，x+23，其 中不等式有（）A2 个B3 个C4 个D5 个 (2)不等式)2( 392xx的正整数解是 (3)不等式 2 23 1 2 7 xx 的负整数解有 (4)直线bkxy与两坐标轴的交点如图所示，当0y时, x的取值范围是（） A2xB2x C1xD1x (5)解下列不等式组： ) 1(46) 1(5 )3(62 xx xx 4 2 33 22 5 3 5 1 xxx xx xx xx 2 3 71 2 1 ) 1(325 (6)每年 3 月 12 日是植树节，某学校植树小组若干人植树，植树若干棵。若每人 植 4 棵， 则余 20 棵没人植， 若每人植 8 棵， 则有一人比其他人植的少(但有树植)， 问这个植树小组有多少人？共有多少棵树？ (7)在东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板， 经过市场考察得知，购买 1 台电脑和 2 台电子白板需要 3.5 万元，购进 2 台电脑 和 1 台电子白板需要 2.5 万元。 （1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元？ （2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共 30 台，总费用不超过 30 万元， 但不低于 28 万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低 三、分解因式 一、分解因式 1.把一个多项式化成几个整式的积的形式,也就是把这个多项式分解因式. 2.因式分解与整式乘法是互逆关系. 二.提公共因式法 1.如果一个多项式的各项含有公因式,根据乘法分配律的逆运算，就可以把这 个公因式提出来,将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做 提公因式法.是因式分解的最基本也是最常用的方法。 2.多项式的公因式的确定方法是： （1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。 （2） 系数和各项系数的最大公约数,公因式可以是数、 单项式， 也可以是多项式。 3.易错点点评: (1)注意项的符号与幂指数是否搞错; (2)公因式是否提“干净”; (3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉. 例题： （1） a xabxacxax mmmm2213 (2)a ababaab ba()()() 322 22 1368 987 521 1368 987 456 1368 987 268 1368 987 123(4)4121 32 qpp()() 不解方程组 23 532 xy xy ，求代数式()()()22332xyxyxxy的值 三.运用公式法 1.如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式 的方法叫做运用公式法. 2.主要公式: (1)平方差公式: (2)完全平方公式: (3)立方和、立方差公式:)()( 2233 babababa 补充：欧拉公式：)(3 222333 cabcabcbacbaabccba 1 2 222 ()()()() abcabbcca 注意：因式分解要分解到底. 例 222244 yxyxyx 3.因式分解的思路与解题步骤: (1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式; (2)再看能否使用公式法; (3)用分组分解法,由分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的; (4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解; (5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止. 例题：(1)把a abb 22 22 分解因式的结果是 (2)已知多项式2 32 xxm 有一个因式是2 1x ，求m的值 (3)已知cba、是ABC的三条边，且满足a bcabbcac 222 0 ，试判 断ABC的形状。 (4)分解因式： 3223 882xyyxyx_ (5)已知：3 2 1 2 2 1 1 2 1 mcmbma，求a abbaccbc 222 222 的值。 (6)若927 2233 yxyxyx，求 22 yx 的值 (7)若a bc， ， 是三角形的三条边，求证：a bcbc 222 20 (8)分解因式： （1）)2()2( 25 xyxyxx（2） 4322 )()(2)(yxyxayxa 四.十字相乘法: 1.对于二次三项式cbxax 2 将a和c分别分解成两个因数的乘积 21 aaa, 21 ccc且满足 1221 cacab,往往写成 22 11 ca ca 的形式,将二次三项式进行分解 2.二次三项式qpxx 2 的分解: bap,abq b a 1 1 bxaxqpxx 2 3.规律内涵: 理解:把qpxx 2 分解因式时,如果常数项q是正数,那么把它分解成两个同号 因数,它们的符号与一次项系数p的符号相同. 如果常数项q是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与 一次项系数p的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一 次项系数p. 注意:(1)十字相乘法在对系数分解时易出错;(2)分解的结果与原式不等,这时通 常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确. 结题方法：结题方法：1. 通过基本思路达到分解多项式的目的通过基本思路达到分解多项式的目的 2. 通过变形达到分解的目的通过变形达到分解的目的 3.配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法 例题(1)已知：x x 2 11240 ，求x的取值范围 (2)已知:长方形的长,宽为yx,周长 16cm,且满足022 22 yxyxyx， 求长方形的面积。 (3)把 22224 954yyxyx分解因式的结果是_ (4)在多项式321232321 222 xxxxxxxxx，中，哪些是 多项式92102 2 2 4 2 xxxx的因式 (5)分解因式 （ ） （ ） 131083108 233315 5432 22 xxxxx aaaa ()() （ ） （ ） 323352 476 22 3 xxyyxy xx （5）x x 32 34 6、将。果计算分解因式，并用分解结 2222222 4276)()1(aaaa 7、已知： 33 16yxxyyx，求：，的值 五、用分组分解法进行因式分解 分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使 用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步 能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组 是分组分解法的关键。 应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代 数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。 例题 (1)分解因式1 2345 xxxxx1) 1(2 242 aaaaa (2)求方程xyyx的整数解 (3)分解因式：14)1( 222 nmnnm (4)证明： 222 ) 1() 1()1 ()2)(2(baabbaabba 分式 分式 定义：（ 、 为整式， 中含有字母） 性质 通分： 约分： 分式方程 定义：分母含有未知数的方程。如 解法 思想：把分式方程转化为整式方程 方法：两边同乘以最简公分母 依据：等式的基本性质 注意：必须验根 应用：列分式方程解应用题及在其它学科中的应用 A B A B AM BM M A B AM BM M xx ABB () () 0 0 5 1 1 3 1. 分式的乘除法法则 a b c d ac bd ； a b c d a b d c ad bc 当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。 2. 分式的加减法 （1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。 求最简公分母是通分的关键，它的法则是： 取各分母系数的最小公倍数； 凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取； 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。 （2）同分母的分式加减法法则 a c b c ab c （3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然