《高等数学电子教案》PPT课件.ppt

高等数学电子教案 武汉科技学院数理系 (定积分 ) 高等数学电子教案 武汉科技学院数理系 第五章 定 积 分 第一节 定积分的概念和性质 高等数学电子教案 武汉科技学院数理系 第五章 定 积分 定积分问题举例 1,曲边梯形面积 第一节 定积分概念与性质 设y=f(x)是闭区间a,b上 的连续函数,且f(x)0.由 直线x=a,x=b和x轴,y=f(x) 曲线构成的图形称为曲 边梯形. y y=f(x) a A c b x B 高等数学电子教案 武汉科技学院数理系 y y=f(x) A x xixi+1 分割,取点,求和,取极限是求面积的主要方法 B 它的面积为 y y=f(x) 高等数学电子教案 武汉科技学院数理系 二 定 积 分 的 定 义 定义 设函数f(x)在区间a,b上有界,在a,b内任意 插入(n-1)个分点 将a,b分成n个小区间 为各区间的长度,在每一个小区间上取一点 令 令 高等数学电子教案 武汉科技学院数理系 如果极限存在 y=f(x) x a b xixi-1 Ai 其中 f(x) 称为被积函数 , f(x)dx 称为被积表达式, x称为积分变量 . a,b 为积分区间, b为积分上限 ,a为积分下 限 为黎曼积分和 y 高等数学电子教案 武汉科技学院数理系 注意: (1)函数在区间上可积,要求区间 有限.函数在这区间内是有界的. (2)定义中对小区间的划分和选点是任意的 虽然在划分和选点是任意的,但其和式只有唯一的极 限.这样,对于 函数如果可积,则可用特殊的点和特殊的划分使问题 简单. (3)定积分和积分变量的字母的选取无关.例如 高等数学电子教案 武汉科技学院数理系 (4)定积分只与被积函数和积分区间有关.与区间的划分 和选点无关. 由积分定义,可知 以a,b上连续曲线y=f(x)0为曲边的曲边梯形的面积 如果(2)中的极限存在,我们称为函数f(x)在区间a,b内可积. 高等数学电子教案 武汉科技学院数理系 下面我们不加证明给出几个定理和推理。 定理1 若函数f(x)在a,b上可积,则f(x)在a,b上有界 定理2 若函数f(x)在a,b上连续,则f(x)在a,b上可积 定理3 若函数f(x)在a,b上有界,且又有有限个间断点,则 f(x)在a,b上可积. 高等数学电子教案 武汉科技学院数理系 推论1 在区间a,b上分段连续的函数f(x)在a,b可积. 推论2 若函数f(x)在a,b上可积,则f(x)在a,b上的定积 分等于它在(a,b),(a,b,或a,b)上的定积分. 对于这几种区间上的定积分,我们通常用闭区间a,b 作为代表来进行研究,并把它们统一作为 (2)当b0,则 这性质表示以f(x)0,为边的曲边梯形的面积非负. 推论(不等式) 如果在a,b上,f(x)g(x),则 性质6(绝对值不等式) 高等数学电子教案 武汉科技学院数理系 性质7(估计不等式) 设M与m分别是f(x)在区间a,b 是的最大值与最小值,则 这个性质用来计算不等式.具体做法是利用被积函数 的性质;如极值,单调性等得到在这区间中的最大值 M和最小值m. 高等数学电子教案 武汉科技学院数理系 性质8(定积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间 a,b上连续,则至少存在一点a,b,使得 几何意义是曲边梯形的面积等于 以(b-a)为底边, f()为高的矩形 面积 a b y=f(x) f() x y 高等数学电子教案 武汉科技学院数理系 例2 估计积分 的值之范围 先求极值: 高等数学电子教案 武汉科技学院数理系 积分中值定理可推广为: 若函数 f(x)与g(x)在a,b上连续,且g(x)不 变号,则存在a,b,使有 利用性质7 高等数学电子教案 武汉科技学院数理系 不等式的证明除了利用性质7外,还可利用定积分的几 何意义 例3 设f(x)在a,b上二次可微,且f(x)0. f “(x)0,试证 ox y A B C DE f(x) 高等数学电子教案 武汉科技学院数理系 证明:因为f(x)0,f ”(x)0 .所以f(x)在 a,b上递增,且是凹的. 显然f(x)的定积分是存在的.它等于