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11.3角平分线的性质 尺规作角的平分线 A A 画法： 以为圆心，适当 长为半径作弧，交于 ，交于 分别以，为 圆心大于 1/2 的长 为半径作弧两弧在 的内部交于 作射线OC 射线即为所求 探究折纸图 将AOB对折,在折出一个直角三角形(使第一条 折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三 条折痕,你能得出什么结论? 可以看一看,第一条折痕是AOB的平分线OC,第 二次折叠形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上 一点到AOB两边的距离,这两个距离相等. 折一折 . 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 角的平分线的性质: O C B 1 A 2 P D E PDOA，PEOB OC是AOB的平分线 PDPE 用数学语言表述： 证明: QDOA，QEOB（已知）， QDOQEO90（垂直的定义） 在RtQDO和RtQEO中 QOQO（公共边） QD=QE RtQDORtQEO（HL） QODQOE 点Q在AOB的平分线上 已知：如图,QDOA，QEOB， 点D、E为垂足，QDQE 求证：点Q在AOB的平分线上 在角的内部，到角的两边的距离 相等的点在角的平分线上。 QDOA，QEOB，QDQE 点Q在AOB的平分线上 用数学语言表示为： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上 QDQE 例例 已知：如图，已知：如图，ABCABC的角平分线的角平分线BMBM、CNCN相交于相交于 点点P.P. 求证：点求证：点P P到三边到三边ABAB、BCBC、CACA的距离相等的距离相等. . 证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、 BC、CA，垂足为D、E、F BM是ABC的角平分线，点P在BM上 PD=PE （在角平分线上的点到角的两边的距离相等） 同理 PE=PF. PD=PE=PF. 即点P到边AB、BC、 CA的距离相等 D E F A BC P M N 练习与思考： 1.要在区建一个集贸市场，使它到公 路，铁路距离相等且离公路，铁路的交 叉处米，应建在何处？（比例尺 1：20 000） 公路 铁路 2.如图，在ABC中，D是BC的中点， DEAB，DFAC，垂足分别是E，F，且 BECF。 求证：AD是ABC的角平分线。 A BC E F D 3.如图，的的外角的平分线 与的外角的平分线相交于点 求证：点到三边， 所在直线的距离相等 F G H 拓展与延伸 直线表示三条相互交叉的公路,现要建一 个货物中转站,要求它到三条公路的距离 相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处 分析:由于没有限制在 何处选址,故要求的地 址共有四处。 1：画一个已知角的角平分线； 及画一条已知直线的垂线； 2：
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