《数学时空漫谈》PPT课件.ppt

数学时空漫谈 福建师范大学数学与计算机科学学院 钟怀杰 1 一.从陶哲轩(1975)获2006年菲尔兹奖说起 v中华民族有数学禀赋的新例证； v吴文俊先生称欧几里德的几何原本( 300多年) 和中国汉代( 200多年)的九章算术是人类数学思 想的两大源泉(东西方文明的交相辉映)； v微积分理论的创建者之一莱布尼兹(1646-1716)在亲 手创建罗马、柏林、维也纳、彼得堡等（数学）科学院 的前后，曾写信建议康熙皇帝在北京建立(数学)科学院； 2 v陶哲轩现象 给华夏子孙的启迪。 v数学教育者的沉思； v学数学、做数学者的启迪： （1）答采访者曰：“数学好玩儿、有趣。” “我还在做我的研究，我面对的新难题并不因为获奖就魔法 般地自动得到解决。” （2）谦虚合作的为人风范。 100多篇发表的论文中有30多篇是与他人合作。“他们帮我从这 个领域进入那个领域时，我总是非常地开心”、“他从来没有和 别人争执过，他想的都是怎么开开心心地和别人合作，而不是 互相指责、争权夺利” 、“他就像莫扎特，数学就像从他脑子里 流出来一样，不过他可没有莫扎特的人格问题，大家都非常喜欢 他”。3 陶哲轩的数学兴趣和成就横跨了多个数学分 支。在数论研究的新突破中他和英国的格林合 作，证明存在任意长的素数等差数列。 v无限现代数学时空观的基石； v素数无穷多精妙绝伦的简单证明方法 v伽利略的难题与康托尔(Cantor)的回答； v希尔伯特的旅馆。 4 二.认识当代数学的特点，更积极主动地学好数学 v世界数学年的口号：数学是人类发展的关键； v高中数学新课标数学的定义：数学是刻画自然规律 和社会规律的科学语言和有效工具； v当代数学是凌驾于各门科学之上的科学：为人类近现 代史上发生过的重大科学技术革命的全部进程所证实。 v钱学森多次表明：应该把数学从自然科学中分离出来， 成为与自然科学、社会科学并列的学科门类。 5 v社会发展与数学进步 从国家安全、医学技术到计算机软件、通讯和投资 决策，当今世界日益依赖于数学科学。不论是在证券 交易所里，还是在装配线上，越来越多的美国工人感 到若不具备数学技能就无法开展工作。没有强大的数 学科学资源，美国将不能保持其工业和商业优势。 v-美国国家科学基金委员会1998报告 6 v20世纪50年代开始，特别是计算机技术开始日渐成 熟的70年代以后，数学在社会的各个领域，在科学和 技术的各个方面的影响和应用日益广泛和深入，以至 于数学成为我们须臾不可离开的工具，同时数学又是 现代高技术的核心，任何数字化工程本质都是数学化 ，数学本身也是高技术。 因而国内外大学的许多数学系都与计算机系合称 数学与计算机科学学院，数学与信息学院等。 7 v数学是从数数、测量等人类生活的实际需要 中发展起来的。 v在计算机产生以前，数学的应用主要是通过 间接的方式。 v20世纪数学的进步是空前的（主要是在应用 领域），特别是最近50年，可以说是数学发展 的黄金时代。 v数学在20世纪最后50年的进步有三个主要方 面。 8 v（1）科学技术的发展，特别是以计算机为代 表的信息技术的发展，使数学从科学技术的幕 后走到了前台，数学在许多领域中已经成了一 项技术。 v1998年抗洪斗争“有限元素法”； v数字化电视小波技术； v汉字激光照排和方正集团，数学的成功。 v现代科学技术，特别是计算机信息技术的发展，使 数学的作用日益显现，更是改变了传统数学观，使得 我们对数学的认识从“思维的体操”、“科学的语言”， 进一步为“数学技术”。数学已经开始从科学技术的幕 后走到了前台。 9 v（2）随着社会经济和文化的发展，定量化研究使各个 学科对数学依赖程度越来越大，数学可以在各个学科，包 括社会科学的几乎所有领域中找到应用。数学对社会、经 济及科学推动作用前所未有地得到人们一致的肯定。 v过去：数学思想来自物理学，如牛顿的微积分来源就是 力学。近代：数学为物理学提供了支持：相对论。 v化学、医学领域以前是与数学不发生联系的，但是在20 世纪的后半叶，却在数学技术的帮助下，创造了奇迹。 v社会科学领域中，数学也是频频出现。自从1969年开 始颁发诺贝尔经济学奖以来，数学家获奖的比例居高下。 v在考古学、历史学和语言学的研究中，数学也不断有所 贡献。 10 v医学：X线层析摄影术(CT) ，核心是古典分析中的 积分变换方法拉东变换，以及计算机技术。 v从1969年起开始颁发的诺贝尔经济学奖，与数学有 关的工作占了很大一部分。 v经济是一种社会现象，经济过程十分复杂，现在数 学只能解决其中一部分问题。但是正是由于数学的介 入，使经济学从艺术变成了科学。数学在现代经济学 、金融学的研究中已经成为必备的工具和手段。 11 v1972年，一般经济平衡理论和福利理论做出开拓性 贡献。 v1975年，线性规划方法，为资源最优调拨做出贡献 。 v1980年，经济计量模型的建立和应用。 v1983年，运用抽象分析和纯数学模型证明了市场价 格“一般平衡理论的存在”。 v1990年，利用数学建立了证券组合投资和资本资产 定价理论。 v1995年，对策平衡模型在经济中的应用。 v1997年，著名的期权定价公式。 12 v（3）数学本身的发展同样受益于现代科学技术的 发展。计算机的普及使得计算（或者成为算法）这一 古老的数学分支重新焕发了生命的活力。同时数学理 论的证明在计算机上的实现，开创了数学机械证明这 一数学研究的全新领域。 v第一，电子计算机促进了算法和数学学科的发展。 计算速度仍然不够快，改进算法。气象预报，但 货郎担问题 ? 电子计算机延伸了人脑的工能，混沌理论、分形几 何、孤立子解、小波分析等数学热点，随着计算机的 发展而不断产生新的成果，并推动了数学的应用。 13 v第二，机器证明和数学实验。 机器证明：四色问题，初等几何证明。 数学实验：核试验；军事演习；波音777. v钱学森：“数学的发展关系到整个科学技术的 发展，而科学技术是第一生产力，所以数学的 发展是一件国家大事”。 v吴文俊：“21世纪是对制数权的争夺，那个国 家的数学高人一等，那个国家便可争霸天下” 14 无处不用数学，数学无处不用 v从“万物皆数”到“数字化地球”、“数字化电视” 、“数 字福建” 、“数字时代”。 v陈景润、华罗庚搞的数论，曾经被人誉为“最纯粹的 数学”。山东大学的数论专家们培养出世界一流的破译 密码群体，中国出现了世界一流的密码“超女”。 v哈代的故事：Hardy-Weinberg定律的意义远远超出 了群体遗传学研究的本身。证明了从超越时空的意义上 说，只有还不会用的数学，没有无用的数学。 v数学应用价值的超越时空性到了当时不予承认，无法 承认的地步，比爱恩斯坦的相对论不幸得多。例如非欧 几何，伽罗华理论等。 15 1998年初，美国总统和副总统等数百位政要人物 聆听当代著名物理学家霍金(HawKing Stenphen 1942- -)讲科学的未来。当时副总统戈尔还提是否承认第五种 力的问题。戈尔上台伊始就提出信息高速公路的设想， 没几年就成了现实。政治领袖能对科学和技术如此关系 和了解，代表了未来社会的走向。 16 三.漫谈“无限” 1.无限意识 v任何人都有无限意识。 v诗人说：“夕阳无限好，只是近黄昏”、“无边落木潇 潇下” 、“前不见古人，后不见来者；念天地之悠悠，独 怆然而涕下”。 v我们常说：无限感慨、无限悲哀、无限感激， “N多”，“没完没了”。 v哲学家说：宇宙是无限的，“把有限的生命，投入到 无限的为人民服务中去” 17 2.中学生接受无限，但是到了大学未必真懂“无限”。 v自然数是无限的，N是一个无限集开始正面进攻无限。 v 是无限循环小数， 和 是无限不循环小数 v小学生就会计算平行四边形的面积。课本里写：“两条直线 ，如果无限延长永远不相交，成为彼此平行”。 v问题，何谓“无限延长？”做不到，就无法检验。 答：“潜在的无限”。永远是现在进行时，每一步都在做， 但永远不会结束。只能靠人的直觉想象而完成的数学思维活动。 人脑具有很强的思维能动性，人人能凭直觉把握这种“潜无限”。 您听说过因为不懂无限延长而数学不及格的学生吗？ 18 但是，较起真来，认识无限可真的不简单 。 问题：0.9999991吗？ 一次大学生调查的结果： 意见A:永远小于1，只不过极限等于1罢了。 意见B:等于1。极限可以达到不能停留在潜无 限的认识上。 结论：现代数学的灵魂就是正确认识“无限” ，而正确认识无限就是超越时空。 19 v不仅数学的成果超越时空。 v而且数学的方法超越时空，现代数学的核心 研究对象之一就是无限维空间。 v数学的三次所谓“危机”都直接与“无限”的认 识有关。 20 两者“一样多”的定义 现代数学奠基人，集合论的创建者，德国数学家康托尔（ Cantor G.F. 1845-1918）的定义： 如果两个集合A和B的元素之间能建立起一个一对一 的对应关系，就说A和B的元素一样多，或者说A和B有相同的 势（基数），记作A B。也称A与B对等。 v完全平方数和自然数“一样多”. v奇数和自然数“一样多”。 和自然数对等的集合称为可数无限集，简称可数集。 那么还有无限集与有限集的如下有趣的特性： v一个有限集和一个可数集的并集还是可数集。 v两个（有限个）可数集的并集还是可数集。 21 分数排队-有理数集是可数集 在数轴上，整数稀稀落落，分数密密麻麻。在3和4之 间，4和5之间，n和n+1之间，就没有整数了。可在任意两个 分数ab之间，总还有分数，例如（ab）/2就是。 这么说，似乎分数比整数多。其实分数不过和整数一样 多。 要证明分数和整数一样多，根据上面康托尔的定义，只 要能把他们排成一排：第一个，第二个，排成了队，就能 和自然数一一对应（对等）。这就证明了分数是可数集，进而 证明了有理数是可数集。 22 斜回形针排队法 有理数是可数集 23 对角线法-实数比有理数多 要证明实数比有理数多并不难。 用反证法。假如有人声称实数和自然数一样多，也就 是他能把所有实数排成一队： 我们马上就能够推出矛盾。因为每个实数都可以写成一个整数 加上一个无穷小数： 24 现在我们构造一个实数： 现在问，A是队伍中的第几个？谁也不是！ 这就推出了矛盾。 25 超弦理论 超越现有时空的理论。 超越爱恩斯坦的新统一理论。 包罗万象的世界理论的宇宙探秘。 1996年8月22日，人民日报，光明日报发表文章： “美国科学家认为物理学领域第三次革命最重要的标 标志是一种全新的理论 弦理论的提出。” 26 弦理论玄吗？ 弦理论要回答：物质世界的本质是什么？ 从希腊时代德谟克里特创造了原子这个词来描写物质基本 单位，两千多年来，物理学家探求物质本源的努力没有中断过。 弦理论假设物质的基本单元由一些微小的、振动的弦所构成。所 有的质子、中子（各种粒子都由弦组成），从我们的身体到最遥 远的星体中的一切都概莫能外。没有人看到过这些弦（他们比质 子小一万亿亿倍）。 27 弦理论想干什么？ 1）四种力 v引力让太阳系结合在一起，将地球和行星保持在各自轨 道上，并阻止恒星爆炸的吸引力。 v电磁力让原子结合在一起（它也支配着化学定律） 以上两种力也叫长距力，另外还有只有在高能物理实验室 里才能