数理统计(1.概率部分复习.pptVIP

数理统计(工科研究生课程) 主要内容: 概 率 论 基 本 内 容 复 习 (2学时) 数 理 统 计 基 本 概 念 (4学时) 参 数 估 计 (4学时) 假 设 检 验 (6学时) 回 归 分 析 (8学时) 方 差 分 析 (6学时) 试验设计初步（4学时） Date1 目的和要求 l学习并掌握数理统计的基本内容, 理论和方法 l学会用相应的统计方法分析和解决 实际问题 l了解和掌握一些常用的统计工具 Date2 1.概率的计算与性质 2.常见的概率分布及其问题背景 3.大数定律与中心极限定理 第部分: 概率论基本内容 Date3 1.概率的计算与性质 概率的计算途径通常有以下几种: 古典概率计算 几何概率计算 利用频率（统计定义） 主观概率 Date4 1.1 古典概率计算 计算公式: 注意: 1.使用该公式计算概率要求样本空间具有等可 能的有限个样本点. 2. n 和m 的计算通常需要利用排列组合知识. Date5 经典古典概率问题主要有: 德.梅尔(掷骰子)问题 生日问题(分房问题) 抽球问题 产品抽样 等等 Date6 1.2 几何概率计算 计算公式: 注意: 1.使用该公式计算概率要求样本空间中的样本点具有等 可能性且充满一个几何体. 2. 分别表示相应几何体的度量. Date7 1.3 利用频率 用作为概率P(A)的近似值. 注意: 1.使用该公式得到的值只是概率的近似值,因此 通常用于对随机现象没有更多了解时的情况. 2. 频率与试验次数n有关.但是频率和概率不具备 普通极限意义上的收敛关系,而是依概率收敛(大 数定律). Date8 1.4 主观概率 目前一个非常值得注意的研究方向,其 哲学理念可以表述为”概率是人们对事 件发生可能性的一种判断,与人们的主 观意念有关”. 对于随机现象不能重复试验的问题,可 以利用专家经验并根据对问题的观察判 断给出事件发生可能性的估计. Date9 1.5 概率的性质及常用公式 前苏联数学家柯尔莫哥洛夫1933年给 出了概率的公理化定义,由此可以得到 概率的诸多性质:如不可能事件的概率 为零,有限可加性,逆事件的概率,单调性 等等. 在复杂事件的概率计算中,常用到加法 公式,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式 等等. Date10 2.常见的概率分布及其问题背景 常用的概率分布有: 二项分布 泊松分布 均匀分布 指数分布 正态分布 Date11 2.1 二项分布 二项分布的实际背景是伯努利概型 ,即:每次试验只有两个结果A与 , 且 P(A)=p, 进行n次独立重复的试验,考 虑事件A发生k次的概率. Date12 一般来说,可以首先设 则 服从二项分布. 这样做的好处在于把二项分布变量分解为 n个两点分布变量的独立和,在许多场合可 以使得问题变得简单. Date13 例 某计算机主机有100个终端,每个终端有 80%的时间被使用.若每个终端是否被使用是 独立的,求至少有15个终端空闲的概率. 设 则100个终端被使用的数目是 由中心极限定理,至多有85个终端被使用的概率 是 Date14 2.2 泊松分布 泊松分布主要用于描述单位时间内某种事件发 生次数比较稀少的情况. l某地区一年内重大自然灾害发生的次数; l某商店在一周内销售的某种贵重商品数量; l某电话总机一分钟内接到的呼叫次数; l某种放射性物质在一秒钟内放射出的粒子数; 等等 另外应注意,二项分布问题当n很大,p比较 小时,可以利用泊松分布来近似计算概率. Date15 2.3 均匀分布 l均匀分布的实际背景是几何概率问题, 要求的条件是随机变量的取值充满一个 几何空间,且取值其每一点的可能性相 同.体现了”均匀”的性质. l这是连续型分布中比较简单的一种分布 ,也是一种基本的分布,许多分布都可以 由均匀分布利用一些变换和中心极限定 理得到. Date16 2.4 指数分布 指数分布主要用于描述寿命问题,如电子 产品的使用寿命,某些生物的寿命,服务 台的等待时间等问题,有着广泛的应用. 注意:指数分布与其他分布的关系,如 分布 ,泊松分布,正态分布等. Date17 2.5 正态分布 正态分布是所有分布中最为重要的一个分 布, l实际背景极为广泛,如成绩分布,身高(某个 年龄)分布,测量误差分布等等. l在满足一定条件下是许多分布的极限分布 (中心极限定理). l密度函数具有很好的性质,概率计算最终 归结为查表. Date18 3. 大数定律与中心极限定理 大数定律主要揭示满足一定条件的随机 变量序列,其平均 的渐近性质. 中心极限定理描述了满足一定条件的随 机变量,其独立和 的极限分布. Date19 3.1 大数定律 贝努利大数定律: 设 为n重贝努利试验中事件A发生的次 数, p为每次试验中A出现的概率,则对 任意的 ,有 其意义是:频率将以概率收敛与概率. Date20 3.2 中心极限定理 林德贝格-勒维中心极限定理: 设 是独立同分布的随机变量序列,且 则对任意实数y,有 Date21 隶莫夫-拉普拉斯中心极限定理: 设 为n重贝努利试验中事件A发生的次 数, p为每次试验中A出现的概率,则对 任意实数y,有 Date22 练习题 1.已知某产品的合格率是98%,现有一检 查系统,它对合格品能以0.98的概率判 断正确,对不合格品检查时,有0.05的概 率会判错.求该系统错判的概率. Date23 2.一学生接连参加同一课程的两次考试.第 一次及格的概率是p,若第一次及格则第二 次及格的概率也为p; 若第一次不及格则 第二次及格的概率为p/2. (1)如果至少有一次及格他就能获得某种资 格,求他取得该资格的概率. (2)如果已知他第二次已经及格,求他第一次 及格的概率. Date24 3.有一大批产品,其验收方案如下:先作第一次检 验,从中任取10件产品,经检验无次品接受这批 产品,次品数大于2拒收;否则作第二次检验,其 做法是再从中任取5件产品,仅当其中无次品时 接收.若产品的次品率是10%,求 (1)这批产品经第一次检验就能接收的概率. (2)需做第二次检验的概率. (3)这批产品若按第二次检验的标准能被接收的 概率. (4)产品在第一次检验未能作出决定且第二次检 验时通过的概率. (5)这批产品被接收的概率. Date25 4.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X(以分计)服从指数分布,密度函数为 Fx(x)=0.2exp(-x/5) (x0) 某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟, 他就离开.他一个月要到银行5次,以Y表 示一个月内他未等到服务而离开窗口的 次数.写出Y的分布律并求P(Y1). Date26 5.一家公司在招收职员时,首先要通过两项能 力测试,在A项测试中,平均分是100分,标准差 是15分;在B项测试中,平均分是400分,标准差 是50分.一位应试者在A项测试得分115分,B项 得分425分,问他的哪一项成绩更好一些? 注意:这类问题要转化为标准分才可以比较. A项的标准分为1分,B项的标准分为0.5分.故A项成绩要好一些. Date27 6.某公司决定给职员发放“销售代表奖”, 计划根据过去一段时期内的销售状况对 月销售额最高的5%的职员发放奖金.已 知这段时期职员的月销售额服从均值 40000,方差360000的正态分布.问应 把“销售代表奖”的最低发放标准定为多 少元?(相当于划分数线) Date28 7.某中外合资公司准备通过考试招工200 名，其中180名正式工,，20名临时工. 报考人数为1684名，考试满分为300 分. 阅卷后人事部门公布了如下信息： 平均成绩是178分，270以上的高分有 32名. 考生小王成绩是233分，他能否被录取 ？如被录取能否是正式工？ Date29 8.电视台需作节目A 收视率的调查. 每天在 播电视的同时, 随机地向当地居民打电话询 问是否在看电视. 若在看电视, 再问是否在 看节目A. 设回答看电视的居民户数为 n. 若 要保证以 95%的概率使调查误差在10%之 内, n 应取多大？若使调查误差在1%之内, n 又取多大？ 每晚节目A 播出一小时, 调查需同时进行, 设每小时每人能调查20户, 每户居民每晚看 电视的概率为70%, 电视台需安排多少人作 调查. Date30 9.仓库有100件商品，市场需求服从