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第九章 重积分习题课 (二) 三 重 积 分 一、三重积分的概念 1定义: 2物理意义: 的空间物体 的质量。 表示体密度为 二、三重积分的性质 1.线性性质： 2.可加性： 4. 单调性：若 在上， ，则 5估值性质： 的体积，则在 上至少存在一点 ，使得 3. 的体积： 7. 中值定理：设函数 在闭区域 上连续， 是 , 则 三、三重积分的计算方法 1利用直角坐标计算 (1) “先一后二”法 则 (2) “先二后一”法 其中 是竖坐标为 的平面截 闭区域所得到的一个 平面闭区域，则 若 为 在 面上的投影区域 若 2利用柱面坐标计算 若 则 3利用球面坐标计算 若 则 四、三重积分的应用 (1)质量 (2)质心 ， ， (3)转动惯量 1几何应用 2物理应用 空间立体 的体积 五、三重积分的解题方法 计算三重积分主要应用直角坐标、柱面坐标和球面坐标 三种坐标计算。通常要判别被积函数 和积分区域 所具有的特点。如果被积函数 积分区域 的投影是圆域，则利用球面坐标计算；如果 被积函数 ，则可采用先二后一法计算；如果 被积函数 ，积分区域 为柱或 的投影 是圆域，则利用柱面坐标计算；若以上三种特征都不具备， 则采用直角坐标计算。三重积分计算的解题方法流程图如下： 利用球面极坐标计算 先一后二的方法 Yes No No Yes 转化为三次积分 先二后一的方法 求D1及截面面积 求 确定 上顶曲面 下顶曲面 为柱 或 投影为圆域 投影为圆域 利用柱面坐标计算 确定 上顶曲面 下顶曲面 利用直角坐标计算 YesNo 1 2 3 1112 解题方法流程图 分析 由于积分区域是由四个平面所围成的四面体，故本题应 考虑虑利用直角坐标计标计 算；即按照框图图中线线路1 11的方法计算。 解: （如图）在平面 上的投影域 . 的上顶曲面 为 ， 即 ： 。 【例1】 计算三重积分 。其中 为平面 ， ， ， ，所围成的四面体。 下顶曲面 为 。 于是，得 六、典型例题 【例2】 计算三重积分 。其中 是由曲面 与平面 ， 及 所围成的闭区域。 分析 由于积分区域和被积函数不具有利用“先二后一”、 柱面 坐标和球面坐标计算的特点，所以，本题考虑利用直角坐标 来计算，即按照框图中线路1 11的方法计算。 解: (1) 求 （如图）在平面 上的投影区域为 (2) 确定上顶曲面 及下顶曲面 。 (3) 转化为先对 后对 的三次积分计算： 因为当 时满足 ， , 。因此 【例3】 计算三重积分 。其中 是由曲面 及平面 所围成的闭区域。 分析 由于积分区域 在 坐标面上的投影区域为圆域 且被积函数中含有 ，所以可采用柱面 坐标计算，即按照框图中线路1 12的方法计算比较简单。 解：积分区域 的如图所示。在柱面坐标下 故有 【例4】计算三重积分 . 其中 是由锥面 与平面 所围成的闭区域。 被竖坐标为 的平面所截的平面闭区域为圆域 故本题利用直角坐标系中“先二后一”的方法，即按照框图中 面上的投影区域为圆域 ， 所以本题也可采用柱面坐标计算，即 按框图中线路1 12的方法计算。 解法1：利用“先二后一”方法计算。 由于 ， 线路3的方法来计算比较简便；考虑到积分区域 在 坐标 分析 由于被积函数 只与变量 有关，且积分区域 其中 ，故 解法2：利用柱面坐标计算。 在柱面坐标下 故有 注：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法 来计算，但“先二后一”法相对简便。 【例5】求 ，其中 是由球面 所限定的球域。 分析 由于积分区域 是由球面所围成的球域，且被积函数 线路2的方法计算比较简单。 在球面坐标标系下， 中含有 ，故本题利用球面坐标计算，即框图中 解：积分区域 的图形如图。 故有 【例6】设 ，计算 ， 分析 由于积分区域 关于 面对称，而函数 关于变量 为奇函数，所以 ，又 ， 故本题可利用对称性及积分的性质计算。 解： 【例7】* 设 连续， ，其中 ， 。求 ， 。 分析 本题是三重积分的计算、变上限积分求导和求极限的 综合题目。由于积分区域 为圆柱体, 故应首先利用柱面坐标 将三重积分 转化成积分变上限的函数，然后求导，最后 再利用洛必达法则求极限。 解: 由柱面坐标得 从而有 ；于是 型 【例8】设有一物体，占有空间闭区域 在点 处 的密度为 ，计算该物体的质量。 分析 由三重积分的物理意义，可得所求物体的质量为 。故只需计算三重积分即可。而积分 区域为立体，故可考虑利用直角坐标计算。 解: 由三重积分的物理意义，可得所求物体的质量为 【例9】一均匀物体(密度 为常量)占有的闭区域是由曲面 和平面 所围成. （1）求其体积积；（2）求物体的重心；（3）求物体关于 轴的转动惯量 . 【1】计算三重积分 其中 是由圆锥面 与上半球面 所围成的闭区域。 分析 同上题题的分析，本题题可考虑虑用直角坐标标系中的“先二 后一”法和柱面坐标方法进行计算。 解法1：利用“先二后一”方法计算。 因 由于当 时， ； 而当 时， 。 故需用平面 将积分区域 划分为两部分： 其中 于是，得 解法2：利用柱面坐标计算。 在柱面坐标下 故有 注：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法 来计算，但利用柱面坐标计算相对简便。 【2】计算三重积分 其中 是由球面 和平面 所确定的闭区域。 分析 由于积分区域 是由两个球面及平面所围成的球壳体，故 本题利用球面坐标计算，即框图中线路2的方法计算比较简单。 解：积分区域 的图形如图。 在球面坐标系下 故有 【3】 计算三重积分 。其中是 两个球体 及 的公共部分。 分析 由于 在 平面上的投影区域为圆域（如图），且 的边界曲面是球面，故很容易联想到用球面坐标和柱面坐标 计算，即框图中线路2和线路112的计算方法。但由于被积 函数 而 的截面面积 又非常容易求, 因此， 又满足框图中线路3的条件，故亦可用“先二后一”法来求解。 解法1：利用球面坐标计标计 算。 用圆锥面 将 分成两部分 其中 于是，得 解法2：利用柱面坐标计算。 由于 在 平面的投影区域 ； 故在柱面坐标下， 于是有 解法3：用“先二后一”法计算。 用平面 将积分区域 划分为两部分： ，其中 于是，得 注：从上面三种解法的计算过程中不难发现，虽然此题可用 三种方法来求解， 但其中的“先二后一”法最为简便。 【1】计算三重积分 。其中 为： 分析 由于被积函数中含有绝对值，所以应首先考虑如何去掉 绝对值注意到积分区域 关于三个坐标面均对称，同时被积 可将所求的三重积分简化为如下积分 其中 为 在第一卦限内的区域。而积