随机信号的相关知识.ppt

第六章 随机信号分析 6.1 随机信号的数字特征随机信号的数字特征 6.2 相关函数和协方差相关函数和协方差 6.3 功率谱估计功率谱估计 6.4 传递函数估计传递函数估计 6.5 相干函数相干函数 6.6 窗函数窗函数 6.7 时谱分析时谱分析 1 随机信号是一种不能用确定的数学关系式 来 描述的、无法预测未来时刻精确值的信号，也 无 法用实验的方法重复再现。 换言之，随机信号是指不能用确定性的时 间 函数来描述，只能用统计方法研究的信号。 其统计特性：概率分布函数、概率密度函数。 统计平均：均值、方差、相关。 随机信号分为平稳和非平稳两大类。平稳 随 机信号又分为各态历经和非各态历经。 各态历经信号指无限个样本在某时刻所 历经的状态，等同于某个样本在无限时间里 所经历的状态的信号。 2 平稳随机信号其均值和相关不随时间变化 。 Note：各态历经信号一定是平稳随机信号，反之 不然。 工程上的随机信号一般均按各态历经平稳随 机过程来处理。 仅在离散时间点上给出定义的随机信号称为 离散时间随机信号，即随机信号序列。 平稳随机过程在时间上是无始无终的，即它 的能量是无限的，只能用功率谱密度函数来描述 随机信号的频域特性。 3 6.1 随机信号的数字特征 在研究无限长信号时，总是取某段有限长 信 号作分析。这一有限长信号称为一个样本（或 称 子集），而无限长信号x(t)、x（n）称为随机 信 号总体（或称集）。各态历经的平稳随机过程 一 个样本的时间均值和集平均值相等，因此一个 样 本统计特征可以代表随机信号的总体，从而使 研 究大大简化。 常用的数字特征是各种平均特性及相关函 数 等。 4 6.1.1 均值、均方值、方差 若连续随机信号x(t)是各态历经的，则随机 信号x(t)的均值可表示为 ： 均值描述了随机信号的静态分量（直流）。 随机信号x(t)的均方值表达式为： 表示信号的强度或功率。 5 随机信号x(t)的均方根值表示为： 也是信号能量的一种描述。 随机信号x(t)的方差表达式为： 是信号的幅值相对于均值分散程度的一种 表 示，也是信号纯波动分量（交流）大小的反映 。 6 随机信号x(t)的均方差（标准差）可表示为： 它和 意义相同。 平稳随机过程统计特征的计算要求信号 x(t) 无限长，而实际上只能用一个样本即有限长序 列 来计算。因此所得的计算值不是随机信号真正 的 统计值，而仅仅是一种估计。 7 6.1.2 离散随机信号 若x(n)是离散的各态历经的平稳随机信号 序 列，类似连续随机信号，则其数字特征可用下 面 式子来计算： 均值： 均方值： 方差： 8 6.1.3 估 计 以上计算中，都是对无限长信号而言。而工 程实际中所取的信号是有限长的，计算中均无法 取 或 。 对于有限长模拟随机信号，可用下式计算均值： 这里，均值 仅是一种对 的估计。当T足够长 ， 均值估计 能精确逼近真实均值 。对于周期信 号，常取T为一个周期，估计均值 就能完全代 表真实均值 。 9 对于有限长随机信号序列，可用下式计算其均 值 估计 ： 当序列长度足够时， 能精确逼近真实值 。 类似地，可以写出均方值和方差估计表达式。 在MATLAB工具箱中，没有专门函数用来计 算 均值、均方值和方差。但随机信号的统计数字 特 征值计算都可以通过MATLAB编程实现。 （P214) 例例6. 6.1 1 10 函数STD调用格式为： s=std(x)；s=std(x,flag) 式中，x为向量或矩阵；s是标准差； flag是控制符，用来控制标准算法。 当flag=0（或缺省）时，按下式计算无偏标准差 ： 当flag=1时，按下式计算有偏标准差： 11 6.2 相关函数和协方差 相关函数：即在时刻n、m的相关性。 自相关函数（一个随机信号） 互相关函数（两个随机信号） 协方差：与相关函数有确定关系的函数。 自协方差函数 互协方差函数 12 6.2.1 自相关函数和自协方差 对于随机信号x(t)，自相关函数为： 式中，为时移。 若去掉x(t)的均值部分，则相应的自相关函数 称 自协方差： 13 对于离散随机信号序列，x(n)的自相关函数和 自 协方差为 ： 式中m为延迟。 14 6.2.2 互相关函数和互协方差 对于两个不同随机信号x(t)，互相关函数为： 互协方差为： 15 对于离散随机序列x(n)和y(n)，互相关函数和 互协方差为 ： 注意，在上面公式中t(或N)。而工程 中 信号是有限长，因此只能得到相关函数和协方 差 的估计值，当t（或N）足够长时，估计值能精 确 地逼近真实值。 16 6.2.3 MATLAB函数 MATLAB信号处理工具箱提供计算随机信号 相关函数的函数XCORR和协方差的函数XCOV。 函数XCORR用于计算随机序列自相关和互相 关函数。调用格式为： c=xcorr(x,y) c=xcorr(x,y,option) c=xcorr(x,y,maxlags,option) c,lags=xcorr(x,y,maxlags,option) 式中，x，y为两个独立的随机信号序列，长度N； c为x，y的互相关函数估计；17 option缺省时，函数xcorr计算非归一化行相关 。 option为选项： biased， 计算有偏互相关函数估计； unbiased，计算无偏互相关函数估计； coeff， 使零延迟的自相关函数为1 ； none， 缺省情况。 maxlags为x和y之间的最大延迟。 若该项缺省时，函数返回值c长度是2N-1； 若不缺省时，函数返回值c长度是2*maxlags+1。 18 该函数也可用于求一个随机信号序列x(n)的自 相 关函数，调用格式为： c=xcorr(x) c=xcorr(x,maxlags) （P217) 含有周期成分和干扰噪声信号的自相关函数在=0 时 具有最大值，且在较大时仍具有明显周期性，且频率 和周期成分的频率相同；而不含周期成分纯噪声信号在 =0时也具有最大值，但在稍大时明显衰减至零。自 相关函数的这一性质被用来识别随机信号中是否含有周 期信号成分和它们的频率。 例例6. 6.2 2 19 （P218) 两个均值为零且具有相同频率的周期信号 ，其互相关函数Rxy()保留原信号频率、相 位差和幅值信息。 若信号x(t)和信号y(t)是同类信号且有时移 ， 用互相关函数可以准确地计算出两个信号时移 大 小。这种特性使得互相关函数广泛的应用于测 量 技术中。 （P220) 例例6. 6.3 3 例例6. 6.4 4 20 6.3 功率谱估计 功率谱估计目的是根据有限数据组寻 找信号、随机过程或系统的频率成分的描 述。上节所述的相关分析是时域内在噪声 背景下提取有用信息的途径，而功率谱是 频域内提取在噪声淹没下信号的有用信息 。 功率谱又称功率谱密度，定义为自相 关函数的傅里叶变换。 21 6.3.1 功率谱密度 假如随机信号x(t)的自相关函数为Rx()， Rx()的傅里叶变换为： 则定义Sx(f)为x(t)的自功率谱密度或称为 自功率谱。 自功率谱Sx(f)包含Rx()的全部信息。 22 若随机信号x(t)的自功率谱为Sx(f)，则 两个随机信号x(t)和y(t)的相互关系 的频率特性可用互功率谱密度来描述，互 功率谱密度和互相关函数也是一组傅里叶 变换对： 23 对于离散随机序列x(n)，自功率谱密 度Sx(f)和自相关函数Rx(m)的关系为： 对于离散随机序列x(n)和y(n)，互功 率谱密度Sxy(f)和互相关函数Rxy(m)关系为 ： 24 且有： 实际工程中随机序列长度均为有限长 ， 因此利用有限长随机序列计算的自功率谱 密度和互功率谱密度只是真实值的估计。 功率谱估计方法一般可分两类： 参 数 估计和非参数估计。 功率谱密度非参数 估 计方法有：Welch法，MTM法，MUSIC法； 参 数估计方法有：MEM法。 25 6.3.2 周期图法（Welch法） 周期图法是直接将信号的采样数据x(n) 进行傅里叶变换求取功率谱密度。 一、基本方法 假设有限长随机信号序列x(m)。其傅 里叶变换和功率变密度估计存在下面关系 ： 26 式中，N为随机信号序列x(n)长度，在离 散 的频率点 ，可得： 由于DFTx(n)的周期为N，求得的功 率 谱估计也是以N为周期，故这种方法称为 周 期图法。 （P222) 例例6. 6.5 5 27 用有限长样本序列的DFT来表示随机 序列的功率谱只是一种估计或近似，不可 避免存在误差。为了减小误差，使功率谱 估计更加平滑，可采用以下方法加以改进 。 二、分段平均周期图法 将信号序列x(n)，0nN-1，分成互 不重叠的P个小段，每小段有m个采样值， 则mP=N。对每小段信号序列进行功率谱估 计，然后求它们的平均值，作为整个序列 x(n)的功率谱估计。 28 平均周期图法还可以对信号x(n)进行 重叠分段，一般效果会好些。 （P224) 平均周期图法功率谱估计较之基本DFT法 具 有明显改进效果。 分段平均周期法功率谱估计可以减小 估计误差和波动，但由于这种方法将长信 号分段成短信号从而使谱分辨率下降。下 面的加窗平均周期法可以克服这一不足。 例例6. 6.6 6 29 三、加窗平均周期图法 加窗平均周期图法是对分段平均周期 图法的改进。在信号序列x(n)分段后，用 非矩形窗口对每一小段信号序列进行预处 理，再采用前述分段平均周期法进行整个 信号序列x(n)的功率谱估计。 采用合适的非矩形窗口对信号进行处 理可减小“频率泄漏”，同时可增加频峰 的 宽度，从而提高频谱分辨率。 （P226) 例例6. 6.7 7 30 四、Welch法估计及MATLAB函数 Welch功率谱密度就是用改进的平均 周 期图法来求取随机信号的功率谱密度估计 的。Welch法采用信号重叠分段，加窗函 数 和FFT算法等计算一个信号序列的自功率 谱 估计（PSD）和两个信号序列的互功率谱 估 计（CSD）。 MATLAB信号处理工具箱提供专门函数 PSD和CSD自动实现Welch法估计。 31 （1）函数PSD利用welch法估计一个信号 自 功率谱密度。函数调用格式为： Pxx=psd(x) Pxx=psd(x, Nfft) Pxx=psd(x, Nfft, Fs) Pxx=psd(x, Nfft, Fs, window) Pxx=psd(x,Nfft,Fs,window,Noverlap) Pxx=psd(x, dflag) 其中， x 为信号序列； Nfft 为采用的FFT长度； Fs 为采样频率； 32 window 定义窗函数和x分段序列的长度； Noverlap 为分段序列重叠的采样点数； dflag 为去除信号趋势分量的选择项。 linear，去除直线趋势分量 mean， 去除均值分量 none， 不作去除趋势处理 Pxx 为信号x的自功率谱密度估计。 在Pxx=psd(x)调用格式中，缺省值为： Nfft = min(256, length(x) Fs= 2 Hz window = hanning(Nfft) noverlap = 0 33 若x是实序列，函数psd仅计算频率为正的 功 率谱估计。 函数输出Pxx长度；当Nfft为偶数时，Nfft/2+1 ； Nfft为奇数时，(Nfft+1)/2 。 若x是复序列，函数psd计算正负频率的功率谱 估 计。 函数的另一种调用格式为： Pxx,f=psd(x,Nfft,Fs,window,Noverlap) 其中，f为返回的频率向量，它和Pxx 一一对应 。 利用plot(f,Pxx)可方便地绘出功率谱密度曲线 。 （P229) 例例6. 6.8 8 34 函数psd还有一种缺省返回值的调用格式， 用于直接绘制信号序列x的功率谱估计曲线。 psd(x,) 函数还可以计算带有置信区间的功率谱估计 ， 调用格式为： Pxx, Pxxc, f = psd( x, Nfft, Fs, window, Noverlap, p ) 其中，p为置信度区间，0p1。 （P231) 例例6. 6.9 9 35 （2）函数CSD利用welch法估计两个信号的互功 率谱密度。函数调用格式为： Pxy=csd(x, y) Pxy=csd(x, y, Nfft) Pxy=csd(x, y, Nfft, Fs, window) Pxy=csd(x, y, Nfft, Fs, window, noverlap) Pxy=csd(x, y, dflag) Pxy,f=csd(x, y, Nfft, Fs, window, noverlap) csd (x,y,) Pxy, Pxyc,f=csd(x, y, Nfft, Fs, window, noverlap, p) 其中，x,y 为两个信号序列； Pxy 为x,y的互功率谱估计； 其他参数的意义同自功率谱函数psd。 36 6.3.3 多窗口法（MTM法） 多窗口法（multitaper method 简称MTM法 ） 利用多个正交窗口（tapers）获得各自独立 的近似功率谱估计，然后综合这些估计最 终得到的一个序列的功率谱估计。 MTM法简单地采用一个参数：时间带宽 积（time-bandwidth product）NW，这个 参数用以定义计算功率谱所用窗的数目为 2*NW-1。 37 MATLAB信号处理工具箱中函数PMTM 就是采用MTM法估计功率谱密度。 函数调用格式： Pxx=pmtm(x) Pxx=pmtm(x, nw) Pxx=pmtm(x, nw, Nfft) Pxx, f=pmtm(x, nw, Nfft, Fs) 其中， x 为信号序列； nw 为时间带宽积，缺省值=4； Nfft 为FFT长度； Fs 为采样频率。 38 函数的基本用法和函数psd和csd相似 。 函数还可以计算带有置信区间的功率谱 估计。 若调用格式为： pmtm (x, nw, Nfft, Fs, option, p) 则绘制带置信区间的功率谱密度估计曲线， p为置信度区间， 0p1。 （P233)例例6. 6.10 10 39 6.3.4 最大熵法（MEM法） 最大熵功率谱估计的目的是最大限 度 地保留截断后丢失的“窗口”以外的信号的 信息，使估计谱的熵最大。主要方法是以 已知的自相关序列rxx(0), rxx(1), rxx(p) 为基础外推自相关序列 rxx(p+1), rxx(p+2), rxx(p+3), ，保证信息熵最大。 最大熵功率谱估计法假定随机过程是 平稳高斯过程。 40 MATLAB信号处理工具箱提供最大熵功率谱 估计函数PMEM，其调用格式为： Pxx, f=pmem(x, p) Pxx, f=pmem(x, p, Nfft, Fs,corr) Pxx, f, a=pmem(x, p, Nfft, Fs,corr) 其中，x 为输入信号序列或输入相关矩阵； p 为全极点滤波器阶次； a 为全极点滤波器模型系数向量； corr把x认为是相关矩阵； 其他参数和函数psd基本相同。 （P234) 例例6. 6.11 11 41 6.3.5 特征值向量法（MUSIC法） MATLAB信号处理工具箱还提供另一 种功率谱估计函数PMUSIC，该函数执行 两种相关的频谱分析方法： 多信号分类法 （MUSIC法-Multiple Slgnal Classification） 特征向量法 （EV法-EigenVector） 42 MUSIC法和EV法原理完全相同。 MUSIC法按下式计算功率谱密度： EV法按下式计算功率谱密度： 式中，e(f)为复正弦向量；v为输入信号相关矩阵 的 特征向量；H为共轭转置；k为特