复数及复变函数1.ppt

复变函数与积分变换 教材:复变函数与积分变换 朱传喜 刘二根 主编 ,江西高校出版社 参考教材：1. 复变函数, 西安交通大学高等数学教研室 编著,高等教育出版社 2. 复变函数与拉普拉斯变换,金忆丹编著,浙江大学出版 社 3. 复变函数与积分变换,马柏林等编 复旦大学出版社 复变函数与积分变换 课程性质:考查 平时成绩占总评 100% 平时成绩构成: 考勤 20% 作业 10% 学习态度 10% 测验 60% 最后一周的上课时考查 注:上届 48 人不及格 第一章 复数及复变函数 1.1 复数及其运算 1.2 复平面的几何表示 1.3 复数的乘幂与方根 1.4 复平面上的点集 1.5 复变函数 1.6 复变函数的极限与连续 1.1复数及其运算 一、复数的概念 二、复数的四则运算 三、复数的共轭运算 5 一、复数的概念 1. 虚数单位: 对虚数单位的规定: 6 虚数单位的特性: 7 2.复数: 8 两复数相等当且仅当它们的实部和虚 部分别相等. 复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部 同时等于0. 说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的 大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就 是说, 复数不能比较大小. 9 二、复数的四则运算 1. 两复数的和: 2. 两复数的积: 3. 两复数的商: 10 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两 个复数称为共轭复数. 例2 解 三、复数的共轭运算 11 5. 共轭复数的性质: 以上各式证明略. 12 例1 解 1.2 复数的集合表示 一、复平面 二、复球面与无穷远点 14 一、 复平面 1. 复平面的定义 15 2. 复数的模(或绝对值) 显然下列各式成立 16 3. 复数的辐角 说明 辐角不确定. 17 辐角主值的定义: 18 4. 利用平行四边形法求复数的和差 两个复数的加减法运算与相应的向量的加 减法运算一致. 19 5. 复数和差的模的性质 20 利用直角坐标与极坐标的关系 复数可以表示成 复数的三角表示式 再利用欧拉公式 复数可以表示成 复数的指数表示式 欧拉介绍 6.复数的三角表示和指数表示 21 例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式: 解 故三角表示式为 指数表示式为 22 故三角表示式为 指数表示式为 下面例子表明, 很多平面图形能用复数形式的 方程(或不等式)来表示; 也可以由给定的复数形式 的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形. 23 例2 解 所以它的复数形式的参数方程为 24 所以它的复数形式的参数方程为 异 常 重 要 25 例3求下列方程所表示的曲线: 解 方法二： 26 化简后得 27 二 复球面与无穷远点 1. 南极、北极的定义 28 球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的 点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球 面上的点来表示复数. 我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复 平面上的无穷远点相对应, 记作. 因而球面上 的北极 N 就是复数无穷大的几何表示. 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对 应, 这样的球面称为复球面. 2. 复球面的定义 29 3. 扩充复平面的定义 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面. 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面. 对于复数来说, 实部,虚部,辐角等概念均无意 义, 它的模规定为正无穷大. 复球面的优越处: 能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来. 30 31 注意：为了用球面上的点来表示复数，引入了 无穷远点无穷远点与无穷大这个复数相对应, 所谓无穷大是指模为正无穷大（辐角无意义） 的唯一的一个复数，不要与实数中的无穷大或 正、负无穷大混为一谈 1.3 复数的乘幂与方根 一、乘积与商 二、乘幂与方根 33 一、乘积与商 定理一 两个复数乘积的模等于它们的模的乘 积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和. 证 34 两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加. 从几何上看, 两复数对应的向量分别为 证毕 35 说明 由于辐角的多值性, 两端都是无穷多个数构成的两个数集. 对于左端的任一值, 右端必有值与它相对应. 例如， 36 由此可将结论推广到 n 个复数相乘的情况: 37 定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商; 两 个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差. 证按照商的定义, 证毕 38 1. n次幂: 二、乘幂与方根 39 棣莫佛公式 棣莫佛介绍 推导过程如下: 2.棣莫佛公式 40 根据棣莫佛公式, 41 当k以其他整数值代入时, 这些根又重复出现. 42 从几何上看, 43 例1 解 44 即 1.4 复平面上的点集 一、开集与闭集 二、区域 三、曲线 46 一、区域的概念 1. 邻域: 说明 47 2.去心邻域: 说明 48 3.内点: 4.开集: 如果 G 内每一点都是它的内点,那末G 称 为开集. 49 5.区域: 如果平面点集D满足以下两个条件,则称它 为一个区域. (1) D是一个开集； (2) D是连通的,就是说D中任何两点都可以用 完全属于D的一条折线连结起来. 6.边界点、边界: 设D是复平面内的一个区域,如果点 P 不 属于D, 但在 P 的任意小的邻域内总有D中的 点,这样的 P 点我们称为D的边界点. 50 D的所有边界点组成D的边界. 说明 (1) 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立 的点所组成的. (2) 区域D与它的边界一起构成闭区域 51 以上基 本概念 的图示 区域 邻域 边界点 边界 7.有界区域和无界区域: 52 (1) 圆环域: 课堂练习 判断下列区域是否有界? (2) 上半平面: (3) 角形域: (4) 带形域: 答案(1)有界; (2) (3) (4)无界. 53 二、单连通域与多连通域 1. 连续曲线: 平面曲线的复数表示: 54 2. 光滑曲线: 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为按段光滑曲线. 55 3. 简单曲线: 没有重点的曲线 C 称为简单曲线(或若尔 当曲线). 56 换句话说, 简单曲线自身不相交. 简单闭曲线的性质: 任意一条简单 闭曲线 C 将复平面 唯一地分成三个互 不相交的点集. 内部 外部 边界 57 课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线? 答 案 简 单 闭 简 单 不 闭 不 简 单 闭 不 简 单 不 闭 58 4. 单连通域与多连通域的定义: 复平面上的一个区域B, 如果在其中任作一 条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于B, 就称为 单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称为 多连通域. 单连通域多连通域 59 三、典型例题 例1 指明下列不等式所确定的区域, 是有界的还 是无界的,单连通的还是多连通的. 解 无界的单连通域(如图). 60 是角形域, 无界的单连通域(如图). 无界的多连通域. 61 表示到1, 1的距离之 和为定值4的点的轨迹, 是椭圆, 有界的单连通域. 62 有界的多连通域. 63 例2 解 满足下列条件的点集是什么, 如果是区域, 指出是单连通域还是多连通域? 是一条平行于实轴的直线, 不是区域. 单连通域. 64 是多连通域. 不是区域. 65 66 单连通域. 67 三、小结与思考 本课学习了复数的有关概念、性质及其运 算;复数的模、辐角;复数的各种表示法. 并且介绍 了复平面.重点掌握复数的运算, 它是本节课的重 点. 棣莫佛(de Moivre)公式 68 思考题 2. 是否任意复数都有确定的辐角? 1. 复数为什么不能比较大小？ 69 思考题1答案 由此可见, 在复数中无法定义大小关系. 70 思考题2答案 否. 它的模为零而辐角不确定. 放映结束，按Esc退出. 71 例1 解 更多参考例子 72 例2 解 73 例6 解 74 例3 证 75 例4 解 (三角式) (指数式) 76 例5 解 77 例6 证 78 两边同时开方得 79 例7 证 80 两边平方, 并化简得 81 例8 证 82 两边同时平方, 83 例9 解 84 例10 解如图所示, 85 86 例11 解 87 88 例12 解 即 89 90 例13 解 故原方程可写成 91 故原方程的根为 92 例14 证 利用复数相等可知: 93 等式得证. 94 Leonhard Euler Born: 15 April 1707 in Basel, Switzerland Died: 18 Sept 1783 in St Petersbur