高三数学苏教版创新设计一轮复习课件：6.3基本不等式.ppt

1了解基本不等式的证明过程 2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 第3课时 基本不等式 (a0，b0) 1基本不等式是不等式中的重要内容，也是历历年高考的重点，它应应用范围较围较 广，几 乎可以涉及高中数学的所有章节节，且常考常新，内容无外乎就是大小判断、求最值值、 求取值值范围围等 2基本不等式在每年的高考题题中几乎都有所体现现，特别别是在求有关最值值中，往往和 应应用题结题结 合，同时时常在基本不等式的使用条件上设设置一些问题问题 ，应谨应谨 慎处处理 【命题预测】 1利用基本不等式证证明其他不等式时时，一是要创设创设 一个应应用基本不等式的情境， 二是选择选择 恰当的公式及其变变形形式，如a2b22ab(a，bR),2(a2b2)(ab)2，(a b)24ab， ，同时时也要从整体上把握基本不等 式 【应试对策】 2用基本不等式求函数的最值时值时 ，关键键在于将函数变变形为为两项项的和或积积，使这这 两项项的和或积积或平方和为为定值值，然后利用基本不等式求出最值值在求解最值时值时 ，一种方法是消元，转转化为为函数的最值值；另一种方法是将要求最值值的表达式进进行 变变形，然后用基本不等式使要求最值值的表达式放缩为缩为 一个定值值在用基本不等式 时时都必须须要验证验证 等号成立的条件 3利用基本不等式求最值时值时 ，必须满须满 足三个条件：一正二定三相等，也就是先 满满足是正数，然后有定值值(和定积积最大，积积定和最小)，三是要看能不能取等号“ 当且仅仅当xy时时等号成立”有两层层意思：一是当xy时时，取“”；二是取到“” 时时，必有xy.所以，在运用此定理解题时题时 一定要重视这视这 一点 1证证明：不等式a3b3c33abc(a、b、c均为为正数) 证明：a3b3c33abc(ab)3c33a2b3ab23abc (abc)(ab)2(ab)cc23ab(abc) (abc)(a2b2c2abbcca) (abc)(ab)2(bc)2(ca)20， a3b3c33abc 很显显然，当且仅仅当abc时时取“”号 推论：如果a，b，c为为正实实数，那么 (当且仅仅当abc时时，取“”号) 【知识拓展】 1算术平均数与几何平均数 对于正数a，b，我们把 称为a，b的算术平均数， 称为a，b 的几何 平均数 2基本不等式 (1)基本不等式成立的条件： . (2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号 (3)结论：两个正数a，b的算术平均数 其几何平均数 思考：你能用数列的知识解释 (a0，b0)的意义吗？ 提示：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项 a0，b0 ab 不小于 3几个重要的不等式 (1)a2b2 (a，bR)(2) (a，b同号) (3)ab (a，bR) 4运用基本不等式求函数的最大值、最小值 对于非负数a，b， (1)和ab一定时，积ab有最 ，用基本不等式的变形式 ； (2)积ab一定时，和ab有最 ，用基本不等式的变形式 . 2ab 2 大值 小值 1(2010江苏通州市高三素质检测)已知a，b(0，)，ab1， 则则ab的最大值为值为 _ 答案： 2设设x，y为为正数，则则(xy)( )的最小值为值为 _ 解析：(xy)( )5 (x0，y0)5229， 当且仅当y2x时取 得最小值9. 答案：9 3已知 1(x0，y0)，则则xy的最小值为值为 _ 解析：1 2 ， ，xy60. 当且仅当 ，即x10，y6时，xy有最小值60. 答案：60 4函数yx 的值值域为为_ 解析：当x0时，x 2；当x0，b0，ab1，求证证： 4.(2)证证明：a4b4c4d44abcd. 思路点拨：(1)利用ab1将要证不等式中的1代换，即可得证 (2)利用a2b22ab两两结合即可求证但需两次利用不等式，注意等号成立 的条件 证明：(1)a0，b0，ab1， 4.原不等式成立 (2)a4b4c4d42a2b22c2d22(a2b2c2d2)22abcd4abcd. 故原不等式得证证，等号成立的条件是a2b2且c2d2且a2b2c2d2. 变式1：已知a，b(0，)且ab1，求证证： (1) 16；(2)a2b2 ；(3)(1 )(1 )9； (4) 2. 应应用基本不等式求最值应值应 注意： (1)合理拆分项项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标标在于使等号成立，每项项 为为正值值，必要时时需出现积为现积为 定值值或和为为定值值 (2)当多次使用基本不等式时时，一定要注意每次是否能保证证等号成立，并且要注意 取等号的条件的一致性，否则则就会出错错，因此在利用基本不等式处处理问题时问题时 ，列 出等号成立的条件不仅仅是解题题的必要步骤骤，而且也是检验转换检验转换 是否有误误的一种方 法 【例2】(1)已知x0，y0，lgxlgy1，求z 的最小值值 (2)已知x0， y4x2 3231， 当且仅仅当54x 即x1时时，上式等号成立当x1时时，y取得 最大值1. 变式2：已知x0，y0，且xy1，则则的最小值值是_ 解析：由已知，得 2 1 3， 当且仅当 且x0，y0，即xy 时，取等号 答案：3 3x0， f(x) 1，当且仅仅当 3x，即x1时时，等号成立故f(x)的最大值为值为 1. 有关基本不等式的实际应实际应 用问题问题 ，在利用基本不等式求有关代数式的最值值的过过 程中，要注意相应应的前提条件是否具备备，否则则就会得出错误错误 的结结果 【例3】某村计计划建造一个室内面积为积为 800 m2的矩形蔬菜温室在温室内，沿左、 右两侧侧与后侧侧内墙墙各保留1 m宽宽的通道，沿前侧侧内墙墙保留3 m宽宽的空地 当矩形温室的边长边长 各为为多少时时，蔬菜的种植面积积最大？最大种植面积积是多少？ 思路点拨：本题主要思路是把实际问题抽象为数学问题，灵活地应用不等式等 基础知识和方法解决问题. 解：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则ab800. 蔬菜的种植面积是S(a4)(b2)ab4b2a88082(a2b)， 所以S8084 648(m2)当a2b，即a40(m)，b20(m)时， S最大值648(m2) 所以，当矩形温室的左侧边长为40 m、后侧边长为20 m时，蔬菜的种植面积最 大，最大种植面积为648 m2. 池的深度一定，池的外圈周壁建造单单价为为每米400元，中间间一条隔壁建造单单 价为为每米100元，池底建造单单价每平方米60元(池壁厚忽略不计计) (1)污污水处处理池的长设计为长设计为 多少米时时，可使总总造价最低； (2)如果受地形限制，污污水处处理池的长长，宽宽都不能超过过14.5米，那么此时污时污 水处处 理 池的长设计为长设计为 多少米时时，可使总总造价最低 变式4：某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池， 解：(1)设污水处理池的长为x米，则宽为 米总造价f(x) 400(2x2 ) 100 60200800(x )12 000 1 600 12 00036 000(元)， 当且仅当x (x0)，即x15时等号成立 (2)记g(x)x (0x14.5)，显然是减函数，x14.5时，g(x)有最小值， 相应造价f(x)有最小值，此时宽也不超过14.5米 【规律方法总结】 1a2b22ab成立的条件是a，bR，而 成立，则要求a0且b0. 使用时，要明确定理成立的前提条件 2在运用基本不等式时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不 等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为一定值 )、“等”(等号取得的条件)的条件 3注意掌握基本不等式的逆用，变化形式特点 4不等式的应用主要有三方面：一是能转化为求解不等式(组)的有关问题(如求 函数的定义域、讨论一元二次方程根的分布等)；二是能转化为不等式 证明的有关问题(如证明函数的单调性等)；三是能利用两个重要不等式的极端情 形解决的最值问题. 【例4】 函数yx (x1)的值值域是_ 【错因分析】 应用基本不等式 时，易忽视a、b同为非负数这一条件而出错，如本 题易出现：由yx 13，得出 y3，)这一错误结果 【答题模板】 解：当x1时时，yx 13， 当且仅仅当x1 即x2时时等号成立； 当x0)的特殊情况，在应应用均 值值不等式求函数最值时值时 ，一定要注意ax， 的符号，必要