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关于质心运动定理 ，动量守恒定律专题 1. 质心 抛手榴弹的过程 C O X Y 质点系的质 量中心，简称质 心。具有长度的 量纲，描述与质 点系有关的某一 空间点的位置。 质心运动反映了质点系的整体运动趋势。 对于N个质点组成的质点系： 直角坐标系中 质 心 对于质量连续分布的物体 分量形式 面分布 体分布 线分布 质 心 注意： 质心的位矢与参考系的选取有关。 刚体的质心相对自身位置确定不变。 质量均匀的规则物体的质心在几何中心。 质心与重心不一样，物体尺寸不十分大时， 质 心与重心位置重合。 质 心 例题3-7求腰长为a等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。 这个结果和熟知的三角形重心位置一致。 三角形质心坐标xc是 dx x O x y a 解 因为等腰直角三角形对于直角的平分线对称，所 以质心位于此分角线上。以此分角线为x轴，作坐标 轴如所示。 在离原点处取宽度为dx的面积元，由于 面积元的高度为2y，所以其面积为2ydx=2xdx。 设薄 板每单位面积的质量为 ，则此面积元的质量 质 心 例1：确定半径为R的均质半球的质心位置。 解：建立如图所示坐标 已知薄圆盘的质心位 于圆心，取厚度为dy的 薄圆盘为质量微元。 R X Y O dy 质 心 质心在距球 心3R/8处。 质 心 2. 质心运动定理 设有一个质点系，由 个质点组成，它的质心 的位矢是： 质心的速度为 质心的加速度为 由牛顿第二定律得 质心运动定理 质心运动定理 对于内力 质心运 动定理 表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力 作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是物体 的质量全部都集中于此，而且所有外力也都集中作 用其上的一个质点的运动一样。 3. 动量守恒定律 =常矢量 =常矢量 如果系统所受的外力之和为零（即 ）， 则系统的总动量保持不变。这个结论叫做动量守恒 定律。 条件 定律 动量守恒定律 直角坐标系下的分量形式 =常量 =常量 =常量 4. 火箭飞行 前苏联东方1号火箭 长征三号运载火箭 火箭发射 4. 火箭飞行 设在某一瞬时 ，火箭的 质量为 ，速度为 ，在其 后 到 时间内，火箭喷 出了质量为 的气体， 是 质量 在 时间内的增量， 喷出的气体相对于火箭的速 度为 ，使火箭的速度增加 了 。 喷气前总动量为： 喷气后火箭的动量为： 所喷出燃气的动量为： M t时刻 t+dt时刻 M-dm dm 由于火箭不受外力的作用，系统的总动量保持不变 。根据动量受恒定律 设燃气相对于火箭的喷气速度是一常量 化简 火箭飞行 设火箭开始飞行的速度为零，质量为 ，燃 料烧尽时，火箭剩下的质量为 ，此时火箭能达 到的速度是 火箭的 质量比 多级火箭 第i级火箭喷气速率 第i级火箭质量比 火箭飞行 第一宇宙速度 人造卫星 星下点轨迹 人造卫星 多颗卫星组成的全球定位系统（GPS) 人造卫星 例题3-8 如图所示,设炮车以仰角 发射一炮弹，炮车 和炮弹的质量分别为M和m，炮弹的出口速度为v，求 炮车的反冲速度V。炮车与地面间的摩擦力不计。 解 把炮车和炮弹看成一个系统。发炮前系统在竖 直方向上的外力有重力 和地面支持力 ，而且 ，在发射过程中 并不成立（想一想为什 么？），系统所受的外力矢量和不为零，所以这一 系统的总动量不守恒。 v m M 动量守恒定律 它的水平分量为 于是，炮弹在水平方向的动量为m(vcos -V)，而 炮车在水平方向的动量为-MV。根据动量守恒定理 有 经分析，对地面参考系而言，炮弹相对地面的速 度 ，按速度变换定理为 由此得炮车的反冲速度为 动量守恒定律 解 物体的动量原等于零，炸裂时爆炸力是物体内力， 它远大于重力，故在爆炸中，可认为动量守恒。由此 可知，物体分裂成三块后，这三块碎片的动量之和仍 等于零，即 例题3-9 一个静止物体炸成三块，其中两块质量相等 ，且以相同速度30m/s沿相互垂直的方向飞开，第三 块的质量恰好等于这两块质量的总和。试求第三块的 速度（大小和方向）。 所以，这三个动量必处于 同一平面内，且第三块的动量 必和第一、第二块的合动量大 小相等方向相反，如图所示。 因为v1和v2相互垂直所以 m3v3 m2v2 m1v1 动量守恒定律 由于 和 所成角由下式决定： 因所以 即 和 及 都成 且三者都在同一平面内 由于 ,所以 的大小为 动量守恒定律 例题3-10 质量为m1 和m2的两个小孩，在光滑水平冰面 上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为l。问他们将在 何处相遇？ 解 把两个小孩和绳看作一个系统，水平方向不 受外力，此方向的动量守恒。 建立如图坐标系。以两个小孩的中点为原点，向右 为x轴为正方向。设开始时质量为m1 的小孩坐标为x10, 质量为m2的小孩坐标为x20，他们在任意时刻的速度分 别v1为v2，相应坐标为x1和x2，由运动学公式得 C m2 m1 x10x20 x O 动量守恒定律 (1) (2) 在相遇时，x1=x2=xc，于是有 即(3) 因动量守恒，所以 m1v1+ m2v2=0代入式（3）得 动量守恒定律 代入式（1）,并令x1=xc得 (4) 两小孩在纯内力作用下，将在他们共同的质心 相遇。上述结果也可直接由质心运动定律求出。 动量守恒定律 例 一质量 的人站在一条质量为 ， 长度 的船的船头上。开始时船静止，试求当人走 到船尾时船移动的距离。（假定水的阻力不计。） 解 ： 设 表示 船本身的质心 动量守恒定律 当人站在船的左端时 当人站