直线和平面垂直的判定和性质(习题.ppt

直线和平面垂直的判 定和性质（习题课） 一、概念回顾： 1、直线和平面垂直的定义：如果直线和平面内的所有 直线都垂直，则就说这条直线和这个平面垂直。 2、直线和平面垂直的判定：如果直线和平面内的两条 相交直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。 3、直线和平面垂直的性质： （1）如果直线和平面垂直，则这条直线和这个平面内 的所有直线都垂直。 （2）垂直于同一平面的两条直线互相平行。 4、唯一性定理： （1）过一点有且只有一条直线与已知平面垂直。 （2）过一点有且只有一个平面与已知直线垂直。 例1、已知直角ABC所在平面外有一点P，且 PA=PB=PC，D是斜边AB的中点， 求证：PD平面ABC. A B C P D 证明：PA=PB，D为AB中点 PDAB，连接CD， D为RtABC斜边的中点 CD=AD, 又PAPC,PD=PD PADPCD 而PDAB PDCD, CDAB = D PD平面ABC 例2、如图 平面、相交于PQ， 线段OA、OB分别垂直平面、， 求证：PQAB P Q O A B 证明：OA PQ OAPQ OB, PQ OBPQ 又OAOB=0 PQ平面OAB 而AB 平面OAB PQAB 例3、如图 空间四边形ABCD中， CDBD 、CDAD ，ABC的 平面内有一点P，过P在平面ABC 内画一直线与CD垂直，应如何画 ？说明理由. A B C D P 解：过P作EFAB即可， 由已知可证CD平面ABD 而AB 平面ABD， CDAB， 又EFAB EFCD 例4、PA平面ABCD，ABCD为矩形，M、N分别是 AB、PC的中点. 求证：ABMN A P B C D M N O 证明：连AC，取AC中点O， 连MO和NO ABCD是矩形 ABMO 又PA平面ABCD AB 平面ABCD PAAB 又由NOPA ABNO AB平面MON 又MN 平面MON ABMN 例5、正方体AC1的棱长为a （1）求证：BD平面ACC1A1 （2）设P为D1D中点，求P到平面ACC1A1的距离. AB C D C1 B1 A1 D1 P 证明：（1）AA1AB AA1AD ABAD=A AA1平面ABCD 又BD 平面ABCD AA1BD 又ACBD AA1AC=A BD平面ACC1A1 (2)DD1AA1 DD1平面AA1CC1， AA1 平面AA1CC1 DD1平面AA1CC1 P到平面ACC1A1的距离即为直线DD1到面ACC1A1的距 离, 也就是D到平面ACC1A1的距离，设ACBD=O，则即 为DO的长度，P到平面ACC1A1的距离为 例6、如图：ABCD是矩形，AB=a，BC=b（ab）， 沿对角线AC把ADC折起，使ADBC （1）求证：BD是异面直线AD与BC的公垂线 （2）求BD的长 A B CD A B C D 证明: (1)ADCD，ADBC CDBC=C， AD平面BCD ADBD 且ADBD=D 同理可证：BCBD 又BCBD=B， BD是AD与BC的公垂线. (2)AD=b, AB=a, 在 RtABD中， BD= 例7、如图，在四棱锥PABCD中，侧面PCD是边长 等于2cm的等边三角形，底面ABCD是面积为2 cm2 的菱形，ADC是锐角. 求证：PACD A B C D P 证明：设ADC=， 则：由SABCD=2 , CD=BC=A