次函数错题分析.ppt

二次函数的错误分 析 南浔区长超中学 费玉方 n中学数学教材中，二次函数占有重要的地位， 不管在代数中，解析几何中，利用此函数的机 会特别多；同时各种数学思想如函数的思想， 数形结合的思想，分类讨论的思想，等价转换 的思想利用二次函数作为载体，展现的最为充 分。学好二次函数十分重要，对学生来说熟练 掌握二次函数和解决有关二次函数的问题也是 有一定的难度。 二 次 函 数 的 错 误 分 析 例1、求二次函数 的顶点坐标 错解： ，所以顶点坐标（-2，8） 一、 在书写过程中，步骤的不规范和计 算基本功欠缺影响运算的准确性 剖析：此题学生用配方法求顶点坐标，错误就 发生在配方过程中，没有详细地书写过程，在 提取公因数2的时候一次项没提出来，这是因 为学生心算的过程多急于求成才产生的错误。 正解： 得顶点坐标（-1，-2）。 二 次 函 数 的 错 误 分 析 l 例2、如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（-1，0）、 （0， ），点B在x轴上。已知某二次函数的图象经过A、B、C三点 ，且它的对称轴为直线x=1，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一 个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F。 （1）求该二次函数的解析式； （2）若设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段PF的长。（3 ）求PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标。 X=1 O A C P FB 剖析：此题学生在解的过程中由于把A、C两 点的坐标代入函数解析式时，没有统一书写 格式，导致在用加减法解方程组时，符号错 了。当然有些同学由于计算能力不过关，在 格式统一成 的情况下，也犯了以上的错误。 总结与思考(一) n 每次作业或考试之后总会发现：有部分学生甚至是成 绩比较优秀的学生，因为不注意书写格式的规范性和解题 步骤的完整性，出现这样那样的错误。有的学生在比较重 要的考试中解最后一题的压轴题时，因解题步骤不完整， 导致失分；有的由于第1小题书写不规范，导致错误，有 的同学在做后面的小题时，因抄错而不得分，留下了多少 遗憾和痛心疾首。所以作为教师，我们在平时的教学中应 该讲清楚每一题中每一步的评分标准，要舍得化时间让学 生在课堂上把一道题解答完整，并认真批改，及时纠错； 而最重要的就是要严格要求每一次作业中的书写过程，认 为不过关的坚决要求重写，慢慢养成习惯，杜绝平时因时 间不够而重答案轻过程。在中考复习阶段对学生的书写格 式更要重视和强调。 二、思想上的忽视而引起 的知识性错误 n1、忽视二次项系数出错 n例3 当m为何值时， 是关于x的二次 函数？ n错解：根据二次函数的概念，得 得 ： 剖析：根据二次函数的定义，要使 ， 是二次函数，m必须满足两个条件：（1） ， （2） 两者缺一不可 正解：根据题意，得 解得m=3 所以当m=3时， 是二次函数 2、忽视二次函数增减性的范围出错 n例4 已知点 ，在函数 的图象上，则 的大小关系是（ ） 剖析：对于函数的增减性应按x2和x2来分类讨论，当x2时，y随 x的增大而减小，因为 -5 y 2对于对称轴两侧的x值 ，应根据它到对称轴的距离来比较函数值的大小因为-5-2 y1 y 2 正解：故选B v例5 已知 ，当（2x5）时，求它的最大值与最小 值 v错解：因为函数的图象开口向上，顶点坐标是（0，1），所 以函数的最小值为1，此函数没有最大值 v剖析：函数 与函数 （ 2x5）的图象不同 ，函数 （2x5）的图象是函数 图象的一部 分 对于 ，自变量的取值是全体实数，它的函数 有最小值，没有最大值，当自变量的取值限定在一定的范围 内时，函数的最值可能要发生一定的变化 v正解：因为当x0时，y随x的增大而增大，所以 （ 2x5）中，当x=2时，函数的最小值为5；当x=5时，函数 的最大值为26 3、忽视自变量的取值范围产生错误 v例6 某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和 销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查。调 查发现这种水产品的每千克售价y（元）与销售月份 x（月）满足关系式 ，而每千克成本 y2（元）与销售月份x（月）满足关系如图所示。(1)试确 定b、c的值；（2）求出这种水产品每千克的利润与销售 月份（月）之间的函数关系式；（3）“五一”之前，几月 份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？ 3 4 25 24 错解：第3小题在第1、2小题求得函数的基础上配方得函数 ， ，当x=6时函数y有最大值，即6月份出这种水产品每千克的利润最 大，最大利润是11元。 剖析：此题学生因不重视 “五一”之前这一句话，以至于没考虑到这里隐含着自 变量的取值范围：x5。学生在做题时，看到最大值或最小值的时候，直接从顶 点式中找最值，走入了误区。 正解： ，在x6时， y随x的增大而增大，而x5在此范围内， 所以当x取整数4时y值越大，即4月份出售这种水产品每千克的利润最大，最大 利润是10.5元。 总结与思考(二) v 学生在思想上的忽视反映了学生对基础 知识的掌握不够扎实，由此产生的运算错误 的原因常常是概念模糊，公式、法则遗忘、 混淆及运用呆板的结果。数学基础知识是数 学能力发展的基础，“无知者无能”，没有数学 知识的人不可能有数学能力。所以，帮助学 生准确理解和掌握基础知识是培养学生运算 能力和掌握数学技能的基础。 三、在解题技巧上因数学思想意识缺乏而导致解 题错误 l例6 、心理学家发现，学生对概念的接受能力y与接受时间x（分）存在关系 式 ，其中y的值越大，表示接受能力越强。（1 ）当x在什么范围内时，学生的接受能力逐步提高？ l（2）当x在什么范围内时，学生的接受能力逐步降低？ l错解：a= -0.10 l当x13时，学生的接受能力逐步提高； l当x13时，学生的接受能力逐步降低。 l剖析：此题中的自变量x本身有一定范围限制， l讨论函数值变化的情况要考虑对称轴和开口方向，还需要结合图象找到准确 的范围。此题如果不运用数形结合思想，画出抛物线的图示，回答正确的难 度较大。很多学生都干脆不去考虑这个自变量取值范围。 l正解：当0x 13时学生的接受能力逐步提高；13x 30 学生的接受能力逐 步降低。 二 次 函 数 的 错 误 分 析 30 59.9 43 y x 13 例7 在平面直角坐标系中，如果抛物线y=x2不动，将x轴、y轴分 别向上、向右平移两个单位长度，那么在新坐标系下抛物线的解析 式是（ ） A、 B、 C、 D、 错解：选（A） 剖析：写出平移后得到的函数关系式的关键是确定函数图象的顶点坐标， 因为函数 的顶点坐标是（0，0），将X轴、Y轴分别向上、向右平 移两个单位长度，根据运动的相对性，可以把这题的条件转化成抛物线分 别向下和向左平移两个单位长度，根据二次函数的平移规律，得到的函数 图象的顶点坐标是（-2，-2），由于平移前后函数图象的开口大小和方向 不变，所以得到的二次函数的关系式为 学生往往由 于审题不清或者经验主义和思维定势，误将题目看成是抛物线的平移，有 些同学即使看到了不同也因为缺少了转化思想，不知所措，无从下手。 正解：选（B） v例8已知抛物线 观点的顶点在坐标轴上,试求 a的值. 错解:抛物线 顶点坐标为(a,16-a2)， 由题意可知16-a2=0，则a=4 剖析：坐标轴包括x轴和y轴，错解只考虑了一种情况，解答此 题需分两种情况进行分类讨论，显然学生分类思想完整性不足 。 正解： 顶点坐标为(a,16-a2)，当顶点在x轴上时16-a2 = 0 a=4。 当顶点在y轴上时，a=0 a=4或a=0 v 要使学生形成与发展数学运算能力，除了理解、掌握有关概念、公 式、法则外，还要进行科学系统的技能训练。技能训练是通过课内外的 数学练习来进行的。要使训练科学、合理、有效，在组织学生练习时， 一般应注意以下几个方面： v（1）训练必须有序：运算技能的训练应经过三个阶段：第一，模仿练 习阶段；这一阶段，教师所选的习题难度不要太高，变化不大，要求学 生按照习得的步骤和法则进行运算；第二变式练习阶段，习题难度适当 提高，习题形式应该变化。第三，综合练习阶段，此时可选择具有一定 难度的综合题，训练学生确定运算方向、灵活运用法则的能力。 v（2）训练时间、训练量必须适中，教师应根据